王凤，郝向英

（武汉工程大学 光电信息与能源工程学院，湖北 武汉）

Matlab是一款应用十分广泛的数学分析软件[1]。Matlab以矩阵作为数据操作的基本形式，并且还提供了很多数值计算函数，使得运算变得非常简洁、方便。Matlab也提供了很多绘图命令，不仅可以绘制各种图形，还可以对图形进行修饰处理[2]。此外，Matlab还具有强大的符号计算功能、程序语言设计功能和工具箱的扩展功能。在很多高等学校，Matlab成为线性代数、自动控制理论、数字信号处理、动态系统仿真、图像处理等诸多课程的基本教学工具[3-5]。Matlab也是很多科学研究工作者进行理论数值模拟，实验数据分析的首选工具。熟练掌握Matlab语言特点和命令操作是学好Matlab的关键。由于Matlab基础语言较为简单，以往，对该部分的讲解侧重于命令的使用方法，并且花费很少的课程时间去讲解该部分。这种教学模式会使学生感到枯燥无味，并且无法理解每条命令的真正含义，从而导致学生学习兴趣和专注力的降低[6-7]。

对比手法是文学创作中常用的一种表现手法，可以将两种对应的事物对照比较，使形象更鲜明，感受更强烈。对比手法已经应用于一些文学类教学中[8-9]，并取得了较好的课堂效果。将对比手法应用于Matlab教学中，在对一些命令讲解时，除了讲解该命令的使用规则，还对比讲解该命令在数学上的求解过程，不仅使学生理解每条命令的具体含义，还帮助学生回顾其他课程的相关内容。据观察，学生往往对实用性强的课程表现出极大的兴趣。融入对比手法的Matlab课程讲授可突显Matlab软件在实际应用方面的便利和强大之处，从而调动学生的积极性和主观能动性。

（一） 矩阵的乘法

矩阵的乘法是Matlab的基本算术运算之一。其在《MATLAB程序设计与应用》[10]第2章第5小节中讲到。

首先，我们先讲在线性代数中，矩阵的乘法如何求解。对于两个矩阵A和B，若矩阵A为m行n列的矩阵，矩阵B为n行p列的矩阵，则矩阵C=A×B为m行p列的矩阵，矩阵C中各个元素为这里要注意的是矩阵A的列数要等于矩阵B的行数，矩阵A乘以矩阵B才得以运行。接着，举一个具体的实例。若矩阵则按照上述公式得到矩阵以矩阵C中第一行一列的元素为例，C(1,1)=A(1,1)×B(1,1)+A(1,2)×B(2,1)=1×1+2×4=9。

接下来，对比在Matlab软件中矩阵的乘法如何计算。在Matlab软件中，矩阵乘法用*这个命令，要得到两个矩阵A和B的乘积，需在命令行窗口输入A*B，并按Enter键，即可得到结果。以上述实例（一）中的矩阵A和B为例，具体命令如下：

>> A=[1,2;3,4];

>> B=[1,2,3;4,5,6];

>> C=A*B

C =

9 12 15

19 26 33

（二） 矩阵的逆

逆矩阵是矩阵理论中很重要的内容，逆矩阵的求法自然也是线性代数研究的重点内容之一。在《MATLAB程序设计与应用》[10]第3章第2小节中，讲到矩阵的逆：对于一个方阵A，若存在一个与其同阶的方阵B，使得为单位矩阵，则称B为A的逆矩阵，A也为B的逆矩阵。

首先，我们先讲解线性代数中矩阵的逆如何求解。对于任一二阶方阵其逆矩阵A*是方阵A的伴随矩阵，A*为方阵A的余子式M的转置。为方阵A的行列式的值。方阵A的余子式同样地，给出一个实例，对于方阵先求出方阵A的余子式即得方阵A的伴随矩阵接着求出方阵A的行列式的值可得到方阵A的逆矩阵

下面，我们对比在Matlab软件中矩阵逆的求法。在Matlab中，矩阵逆可用一个命令inv求出。在命令行窗口，我们输入inv(A)，并按Enter键，即可得到结果。以上述实例（二）中的方阵A为例，具体命令如下：

>> A=[1,2;3,4];

>> inv(A)

ans =

-2.0000 1.0000

1.5000 -0.5000

（三） 非齐次线性方程组的求解

在《MATLAB程序设计与应用》[10]第3章第2小节中讲到了非齐次线性方程组的求解。线性方程组是指由n个方程构成的线性方程组：

当b1，b2…bn不全为零时，为非齐次线性方程组。其中为系数矩阵，非齐次线性方程组可表示为Ax=b，在其左右两边各左乘系数矩阵的逆矩阵A-1，得x=A-1b，即非齐次线性方程组的解可由系数矩阵A的逆矩阵乘以b得到。

接着我们对比在Matlab中非齐次线性方程组是如何求解的。由实例（一），我们知道在Matlab软件中，矩阵的逆使用命令函数inv。由实例（二），我们知道Matlab软件中，矩阵的乘法使用命令*。因此，我们在命令行窗口输入x=inv(A)*b，即可得到非齐次线性方程组的解。以上述实例（三）中的非齐次线性方程组为例，具体命令如下：

>> A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];

>> b=[5;-2;6];

>> x=inv(A)*b

x =

23.0000

-14.5000

3.6667

（四） 齐次线性方程组的求解

当线性方程组（1）中的b1，b2…bn全为零时，为齐次线性方程组。当系数矩阵A经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数小于A的列数时，齐次线性方程组有非零解。与非齐次线性方程组不同，齐次线性方程组的解不能运用系数矩阵A的逆矩阵来求解。给出一个实例，讲解齐次线性方程组的求解方法。若一个齐次线性方程组为其系数矩阵求该齐次线性方程组的解，先对系数矩阵A进行初等行变换，分别进行将矩阵A中的第三行减去四倍的第一行，第二行减去二倍的第一行，得接着将第三行减去第二行得此矩阵是最简化的系数矩阵，其对应的方程组为令z=k，k为任意实数，原齐次线性方程组的解为

接着我们对比在Matlab中，齐次线性方程的解如何求得。在命令行窗口输入x=null(A)，即可得到齐次线性方程组的非零解。值得注意的是，齐次线性方程组存在多组非零解，用Matlab求解，只可得到其中一组非零解。以上述实例（四）中的齐次线性方程组为例，具体命令如下：

>> A=[1,2,-1;2,3,1;4,7,-1];

>> x=null(A)

x =

-0.8452

0.5071

0.1690

（五） 矩阵的特征值与特征向量

在《MATLAB程序设计与应用》[10]第3章第4小节中讲到了矩阵的特征值与特征向量。对于n阶方阵A，若Aξ=λξ成立，则λ和ξ是方阵A的特征值和特征向量。等式Aξ=λξ等价于(A-λI)ξ=0，I是单位矩阵。若使方程(A-λI)ξ=0有非零解，则其系数行列式|A-λI|必须等于0。

接着我们对比在Matlab中，方阵的特征值与特征向量如何求得。在Matlab中，我们用eig函数求方阵的特征值和特征向量，其调用格式为[X,D]=eig(A)，D是一个对角阵，其对角线上的元素为方阵A的全部特征值，X是与D同阶的方阵，其各列是对角阵D中各特征值相应的特征向量。值得注意的是，方阵A在某一特征值下对应多组特征向量，用Matlab求解，只可得到其中一组特征向量。以上述实例（五）中的方阵A为例，具体命令如下：

>> A=[2,1;3,0];

>> [X,D]=eig(A)

X =

0.7071 -0.3162

0.7071 0.9487

D =

3.0000 0

0 -1.0000

（六） 多项式求根

在《MATLAB程序设计与应用》[10]第6章第2小节中讲到了多项式求根。多项式是指由若干个单项式相加组成的代数式，其形如以2次多项式为例，2次多项式形如在数学上，我们一般用配方法来求其根，其两个根分别是举一个实例，对于2次多项式用配方法可得其两个根分别是x1=1.099和x2=-9.099。

下面，我们对比在Matlab软件中如何计算多项式的根。在Matlab软件中，我们可以用三种方法来计算多项式的根，其中最简单的一种是运用命令函数roots。值得注意的是，在Matlab中，多项式可由一个行向量表示，其各个元素分别为各个单项式的系数，并且按照从高次幂依次往低次幂排布。以上述实例（六）中的2次多项式为例，具体命令如下：

>> P=[1,8,-10];

>> x=roots(P)

x =

-9.0990

1.0990

第二种计算多项式的根的方法是利用多项式的伴随矩阵求得。多项式的伴随矩阵对应的特征值，即为多项式的根。在Matlab中，我们运用函数compan求多项式的伴随矩阵。在实例（五）中已讲到用eig函数求某方阵的特征值。该方法的具体命令如下：

>> P=[1,8,-10];

>> A=compan(P);

>> x=eig(A)

x =

-9.0990

1.0990

第三种计算多项式的根的方法是利用到《MATLAB程序设计与应用》[10]第5章第1小节中讲到的二维图形绘图法。我们可以提供一组x坐标，并将其带入多项式中。令多项式的值为y坐标，绘制分别以x和y为横、纵坐标的二维曲线。这条二维曲线与y=0曲线的交点即为多项式的根。该方法的具体命令如下：

>> x=[-15:0.1:15];

>> p=x.^2+8*x-10;

>> figure

>> plot(x,p)

>> grid on

图1 实例（六）中的2次多项式y=x2+8x-10

从以上六个实例看出，运用Matlab软件后，很多在数学中较为复杂的解法变得简洁，方便。通过将数学解法与Matlab的命令操作进行对比，使得学生深入地理解了Matlab每条命令的意义，便于学生记忆Matlab的基础语言和命令。

Matlab课程包括理论讲授和上机实验操作两部分。在Matlab理论讲授过程中引入对比手法，经过近几年的课程实践，从学生的反馈来看，课程得到了认可，学生的学习热情得到了激发。很多学生反馈，对比某一运算的数学解法和其在Matlab中的命令操作，帮助他们理解每条命令的具体含义，并加速他们对Matlab基础命令的记忆。并且，在上机实验操作时，他们不再是机械化地敲命令，而是会思考和分析命令运行后得到的结果。此外，Matlab课程安排在高等数学，线性代数，矩阵论等课程之后，该教学方法还帮助他们复习了相关课程中的知识要点。

本文针对Matlab基础语言和命令讲解中存在的问题进行分析，提出应用对比手法，通过对比Matlab的命令操作及其数学解法，加深学生对Matlab命令的理解。经过近几年的不断摸索与实践，课程得到了学生的认可，学习热情得以提高。在接下来的教学过程中，将进一步优化教学内容，更加深入地探索有利于培养学生自主性，创新性以及解决问题的能力。

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