聂昕，李秉科，张杰，张超谟，张占松

1.油气资源与勘探技术教育部重点实验室(长江大学)，湖北 武汉 430100 2.长江大学地球物理与石油资源学院，湖北 武汉 430100 3.储层微观结构演化及数字表征实验室(长江大学)， 湖北 武汉 430100

碳酸盐岩储层贡献了全球超过50%的储量[1]。但是，由于碳酸盐岩非均质性较强，裂缝溶洞等次生孔隙空间发育，其储层评价是研究难点。储层岩石电性资料在储层评价、测井解释以及储量预测中均具有重要作用[2]。导电特性研究主要包括岩石物理实验和基于数字岩心的技术。岩石物理实验费用高、周期长，且裂缝性碳酸盐岩的原生孔隙度很小，油气的储集能力很差，主要的储集空间是经过改造后的次生裂缝孔隙，其与碎屑岩相比孔隙结构更加复杂，各向异性突出，很难获取不同裂缝特征的代表性岩心，而数字岩心技术则可以避免上述问题[3]。

数字岩心技术是通过构建三维数字岩心模型，并且利用数值模拟手段对目标岩石的物理性质进行有效模拟的方法[4-6]。利用数字岩心进行岩石导电特性的数值模拟有基尔霍夫节点电压法[7]、格子玻尔兹曼法[8-10]和有限元法[11, 12]。针对碳酸盐岩数字岩心的建模，也已经开展了大量研究[13-15]。笔者在综合前人研究的基础上，基于现有的碳酸盐岩X-CT扫描三维图像，利用分形布朗运动模型建立了具有不同裂缝形态的碳酸盐岩储层岩石模型，并利用数学形态法建立了不同含油饱和度的模型。在此基础上，利用有限元法对裂缝性碳酸盐储层的导电特性进行了模拟，并分析了裂缝参数对碳酸盐岩导电特性的影响。

1.1 数据情况

为了得到不同孔隙度和裂缝形态对碳酸盐岩储集层的导电特性的影响，利用帝国理工大学的碳酸盐岩X-CT扫描数字岩心图像进行建模[16]。该立方体样品尺寸为400×400×400体素，分辨率为2.85μm，孔隙度为23.3%，3个方向的平均渗透率为1102mD。

为了提高研究的可靠性，增加研究样本的数量，将该样品均分为8个子样，即图1中的样品1～8，每个子样的尺寸均为200×200×200体素。样品1～8的孔隙度分别为17.63%、19.44%、25.72%、21.19%、19.34%、21.83%、26.49%、34.45%，整体平均孔隙度为23.26%；
样品1的孔隙度最小，样品3的孔隙度较大，因此选择它们作为重点研究样本，可以反映两种不同情况。

图1 基于X-CT扫描的碳酸盐岩数字岩心样品(整体) Fig.1 Carbonate digital core samples based on X-CTscanning (as a whole)

1.2 基于分形布朗运动模型构造裂缝

近年来，很多的研究表明了岩石的裂缝表面具有极高的空间相关性和自仿射分形特征。分形布朗运动模型就是一种常用的自仿射分形，因此可选择利用分形布朗运动模型模拟裂缝的构造[13,17]。其满足以下公式：

E[(GH(X+h)-GH(X))2]=|h|2Hσ2

(1)

根据中心极限定理，式(1)可以变为：

σ2(h)=σ2(1)h2H

(2)

标准差σ为：

(3)

式中：E为数学期望；
GH(X)为满足分形布朗运动的随机行走；
h为偏移的距离，满足高斯分布；
H为裂缝粗糙度指数，约为0.8[18]，且与储层岩性及裂缝模式无关；
σ为标准差；
σ0为标准差初始值，0～1随机赋值；
j为迭代运算次数。

基于分形布朗运动模型，采用改进型随机增加法(MSRA)生成大小为200×200个像素的裂缝粗糙表面，将制作的二维裂缝粗糙表面进行三维化处理，并通过平移和旋转等处理手段即可形成具有不同裂缝角度和裂缝宽度形态的数字岩心模型[13]。设定基于上述分形布朗运动模型生成的二维裂缝粗糙表面z=f(x,y)为三维空间中裂缝下表面；
设裂缝的宽度为d，则裂缝上表面为Z，Z=z+d。由于CT扫描的数字岩心模型中骨架为1，孔隙空间为0，所以设定裂缝上下表面之间的值为0。通过改变d的值，可以获得1～10个像素不同裂缝宽度的形态，单位像素间距为2.85μm。将三维裂缝数据与CT扫描获得的数字岩心数据相结合，便可获得不同裂缝宽度的裂缝性碳酸盐岩岩心模型(见图2)。

图2 不同裂缝宽度的裂缝性碳酸盐岩数字岩心切面图Fig.2 Sections of fractured carbonate digital cores with different fracture widths

裂缝按照产状分类可以划分为高角度缝(裂缝倾角θ>75°)、斜交缝(15°<θ<75°)、低角度缝(θ<15°)。为了模拟不同产状的裂缝形态，以5个像素为宽度，像素分辨率为2.85μm。对裂缝体进行旋转操作，并与CT扫描的数字岩心相结合，可以得到0、15、30、45、60、75、90°等不同角度的裂缝性碳酸盐岩岩心模型(见图3)。

图3 不同裂缝角度的裂缝性碳酸盐岩数字岩心模型Fig.3 Models of fractured carbonate digital cores with different fracture angles

1.3 基于数学形态法建立含油饱和度模型

经过孔隙和骨架二值化后的三维数字岩心图像本质上是由0和1组成的三维数据体，因此可以使用数学形态法进行处理。数学形态法是使用某一特定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状，从而分析识别图像的方法。其主要包括4种基本的运算方式：膨胀运算、腐蚀运算、开运算和闭运算[19]。其中开运算是先进行腐蚀运算后再进行膨胀运算，可以模拟水驱油的过程。图4是不同含水饱和度下的水湿碳酸盐岩流体分布切面图，分别选取半径为1～5个像素球形作为结构元素，在孔隙空间中应用数学形态法中的开运算，去掉的孔隙空间可以模拟水驱油后水占据的孔隙。将其与未做运算的原图对比，可获得如图4(b)～(f)经过运算后的结果。

注：灰色代表骨架，红色代表油，蓝色代表水。图4 不同含水饱和度的水湿碳酸盐岩数字岩心切面图Fig.4 Sections of water wet carbonate digital cores with different saturation

2.1 有限元方法

纯的碳酸盐岩骨架是由几乎绝缘的白云岩和石灰岩组成，所以整体的导电性主要受孔隙中存在的流体分布和流体导电性能影响。通过数值模拟方法，可以克服常规岩石物理实验手段中存在的岩石储集空间结构难以定量确定的问题。

利用有限元法研究岩石电导率的数值岩心技术最核心的部分就是变分思想，即将每个单元点上的电压求解转化为系统整体能量极值求解的问题，从而算出整个三维数据体的有效电导率。为使能量En取极小值，需满足能量对变量μi(结点电压)的偏导数均为零，即：

(4)

式(4)在求解时，当En对i个结点电压的偏导数构成的梯度矢量的平方和小于某一给定允许误差时，可近似认为式(4)成立，即确定了三维数字岩心中的电压分布和有效电性参数[20]，最终根据不同方向的电压和电流即可求出等效电阻率。

2.2 裂缝宽度对地层因素的影响

基于样品1和样品3不同裂缝宽度的数字岩心模型(见图5)，令孔隙中全部充填地层水，水的电导率为1S/m，骨架的电导率为0S/m。利用有限元法进行导电性的数值模拟，获得X、Y和Z共3个方向的等效电阻率，再利用阿尔奇公式中的地层因素F与等效电阻率的关系，即地层因素为饱含水岩石电阻率ρ0与地层水电阻率ρw的比值，分别计算出3个方向的地层因素(见图6)：

注：蓝色部分为孔隙空间；
透明部分为骨架。图5 样品1和样品3的裂缝性碳酸盐岩数字岩心孔隙空间示意图Fig.5 Schematic diagram of the pore space of fractured carbonate digital cores of sample 1 and sample 3

图6 样品1和样品3的地层因素与裂缝宽度交会图Fig.6 Crossplots of formation factors and fracture widths for sample 1 and sample 3

(5)

式中：a为岩性系数；
φ为总孔隙度；
m为胶结指数。

从图6可以看出，两个样品在平行于裂缝方向(X和Y方向)的F随着裂缝宽度的增加而明显降低，但垂直于裂缝方向(Z方向)的F变化较小。

利用式(5)求取m。图7为m与φ的关系图，可以看出，在平行于裂缝的X与Y方向，m随φ的增加而减小；
而在垂直于裂缝的Z方向，m随φ的增加而增大。主要是因为充满地层水的水平裂缝相当于一条导电电路，在水平方向上基质孔隙流体与裂缝孔隙流体并联，导致电阻率减小明显，而φ变化较小，所以m下降。与此对应，在Z方向则是相当于基质孔隙流体与电阻率极小的裂缝孔隙流体串联，导致电阻率变化不明显，而φ变大，所以m上升。在实际情况下，随着裂缝发育程度的增加，裂缝对于导电性的影响更加突出。

图7 样品1和样品3的m与φ交会图Fig.7 Crossplots of m and φ for sample 1 and sample 3

2.3 裂缝宽度对电阻率增大系数的影响

基于样品3不同裂缝宽度的数字岩心模型，利用以1～4个像素为半径的球体作为结构元素进行开运算，获得不同含油饱和度的岩心模型，并进行了导电性模拟，获得了X、Y和Z共3个方向的等效电阻率，再利用阿尔奇公式的电阻率增大系数I和含水饱和度Sw的关系进行拟合，求出饱和度指数n：

(6)

式中：ρt为地层电阻率；
b为岩性系数。

图8～10分别是样品3在X、Y和Z方向上I与Sw的交会图，可以看出，在Sw大于0.6时，I与Sw呈现较好的对数线性关系，与砂岩储层类似，适用于阿尔奇公式。

图8 样品3在X方向不同裂缝宽度下I与Sw交会图Fig.8 Crossplots of I & Sw with different fracure widths in X direction of sample 3

图9 样品3在Y方向不同裂缝宽度下I与Sw交会图Fig.9 Crossplots of I & Sw with different fracure widths in Y direction of sample 3

图10 样品3在Z方向不同裂缝宽度下I与Sw交会图Fig.10 Crossplots of I & Sw with different fracure widths in Z direction of sample 3

表1为样品3在不同裂缝宽度下的岩电参数b、n统计表，图11为样品3在X、Y、Z方向上n与φ的交会图。由表1和图11可以看出，样品3的b约为1；
随着裂缝宽度的增加，φ会增大，在X和Y方向上的n亦变大，而在Z方向上，n呈相反的趋势。综上所述，裂缝性碳酸盐岩的φ增加，使得平行于裂缝方向的n增加，而垂直于裂缝方向的n降低。

图11 样品3的n与φ交会图Fig.11 The crossplot of n and φ for sample 3

表1 样品3在不同裂缝宽度下的岩电参数b、n统计表Table 1 Statistics of rock electricity parameters b & n of sample 3 with different fraction widths

2.3 裂缝角度对储层导电性的影响

基于样品1和样品3建立了具有0、15、30、45、60、75、90°等不同裂缝角度的数字岩心模型，并开展了导电性模拟，获得了X、Y和Z共3个方向的等效电阻率。图12为添加了30、45、60°裂缝角度的样品1的孔隙形态示意图，可以看出，当裂缝角度为0～45°时，裂缝面贯穿X和Y两个方向，当裂缝角度为45～90°时，裂缝面则贯穿Y和Z两个方向。模拟结果如图13所示。

注：蓝色部分为孔隙空间；
透明部分为骨架。图12 样品1的不同裂缝角度的裂缝性碳酸盐岩数字孔隙空间形态示意图Fig.12 Schematic diagram of digital pore space morphology of fractured carbonate rocks withdifferent fracture angles of sample 1

图13 样品1和样品3的裂缝性碳酸盐岩数字岩心F与裂缝角度关系图Fig.13 Figures of relationship between digital core F and fracture angle of fractured carbonate rocksof sample 1 and sample 3

从图13中分析可知，随着裂缝角度从0°变化到90°，储层的导电性特征变化如下：

1)X方向。X方向的F随着裂缝角度的增加而增大。当裂缝角度为0°时，裂缝面平行于XY面，裂缝面将基质流体电阻率与裂缝流体电阻率进行并联，此时电阻率最低。当裂缝角度由0°逐渐增加到45°时，裂缝流体电阻率与基质孔隙流体电阻率串联的部分越来越大，电阻率逐渐变大。但由于非均质性较强，导致电阻率在部分角度时出现了低值。当裂缝角度由45°逐渐增加到90°时，在X轴方向，裂缝中的流体与岩石基质孔隙度中的导电通道相串联，而此时随着裂缝角度的增大，其裂缝孔隙度逐渐变小，因此电阻率也逐渐变大。

2)Y方向。Y方向的F变化幅度较小。不论裂缝旋转的角度怎样变化，裂缝面始终与Y轴相平行，贯穿Y方向。因此虽然裂缝角度在变化，裂缝中流体始终与原生孔隙中流体并联，电阻率变化幅度较小。

3)Z方向。Z方向的F随着裂缝角度的增加而减小。这是因为裂缝与X轴夹角增加意味着与Z轴夹角减小，其并联串联机理是一致的。

1)基于X-CT扫描图像，利用分形布朗运动模型建立裂缝粗糙表面，可以模拟天然裂缝的形态特征；
利用数学形态法可以获取不同饱和度的模型。

2)在裂缝性碳酸盐储层中，随着裂缝宽度的增加，平行于裂缝延伸方向的胶结指数降低，而垂直于裂缝延伸方向的胶结指数升高；
平行于裂缝方向的饱和度指数增加，而垂直于裂缝方向的饱和度指数降低。

3)裂缝性碳酸盐岩储层导电性受裂缝角度影响较大，而且各向异性较强，所以相同岩样不同方向上的电导率差异非常明显：X方向的地层因素随着裂缝角度的增加而增大；
Y方向的地层因素变化幅度较小；
Z方向的地层因素随着裂缝角度的增加而减小。

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