张然然，陈静安，阎昕明，田德路

（广东第二师范学院 数学学院,广东 广州 510303）

《初等数学研究》是数学与应用数学（师范）专业的重要课程，旨在用高等数学的观点考察初等数学，理解中学数学的理论基础和体系结构，培养研究的精神、习惯和能力[1]，是实施傅种孙先生对数学教育的两项战略考虑——修根固本,正流清源[2]的重要举措.《初等数学研究》课程内容包括数、解析式、不等式、方程、函数、数列、平面几何、立体几何、几何变换等内容.数学概念是揭示事物数量关系和空间形式的本质属性的思维形式，是建立数学理论体系的逻辑起点.师范生对初等数学中某些内容片面、甚至错误的认识有时是由于概念不清晰引起的.例如，为什么2+3=5 ？为什么负负得正？为什么复数不能比较大小？由于缺乏自然数加法、整数乘法、有序集和有序域的概念，师范生给出的“是一种规定”；
“不这样会引起矛盾”等答案是片面的.而对于函数的本质是什么？为什么初中学习了函数概念高中还要再学函数概念？由于对函数概念理解的浅薄，师范生给出的“函数的本质是运算，是一个量随另一个量的变化而变化，是图像表示”；
“高中学习的函数概念表述较为标准，初中学习的函数比较简单且次数比较低，高中学习的函数比较复杂且次数比较高”等答案是错误的.

文献[3-5]从数学文化、课标、核心素养等角度介绍了《初等数学研究》课程的教学改革，给出了很多有意义的结论.“课程思政”突出了课程建构精神的育人内涵，提出了“以德为先”的课程价值论以及“立德”“求知”相统一的课程发展观，是课程理论对“立德树人”理念的具体阐释[6].本文以《初等数学研究》课程概念教学融入思政元素为例，探索专业课程融入思政元素的策略，寻找以知识传授为载体培养能力、塑造价值，通过价值塑造更好地传授知识、培养能力的途径.

数学概念获得的两种基本方式是概念形成与概念同化.概念形成是从某一类对象或事物中抽象出数与形方面的共同本质属性的过程，通常需要经过观察辨别实例→归纳概括共同属性→抽象形成新概念→新旧概念归类整理→拓展应用的过程.概念同化是用定义的方式直接揭示新概念，利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，通常需要经过回顾相应旧概念→揭示新概念关键属性→讨论新概念各种特例→辨析新旧概念→拓展应用几个阶段.由数学概念获得的两种基本方式可知，数学概念教学包括概念的引入、建构、深化和应用四个环节.那么如何在这四个环节中融入思政元素呢？概念教学整个过程中什么思政元素理当贯穿始终呢？本文以《初等数学研究》课程为例，讨论这两个问题，得到了数学概念教学融入思政元素的五个策略.本文中所述思政元素是结合《初等数学研究》课程联系高等数学和初等数学、培养师范生的特点，遵循概念教学的基本要求，依据教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》（教高〔2020〕3 号）对课程思政建设目标和内容的要求，归纳概括而得.

数学概念教学的实质在于揭示隐含在概念所指对象中的共同本质属性，明确数学概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延.因此，在概念的引入环节，应注意了解概念的历史背景，注意忆旧迎新，这样既引发师范生的认知需求，又为新概念的认知铺设台阶.

1.1 从文化、历史的角度，增加课程的知识性、人文性，了解概念的历史背景

数学具有很强的积累性，且发展过程常常经历艰难曲折，甚至面临危机，适当介绍数学的历史、文化，可以更全面了解数学科学.数学概念是事物数量关系和空间形式本质属性的反映，为了获得本质属性，需要经过比较、分析、抽象、概括等思维活动，而且常常需要多次抽象才能获得.因此，数学概念往往是“抽象难懂”的.例如，无理数的概念很难在短时间内深入理解，在教学中介绍无理数从发现并引起第一次数学危机，到危机部分解决，再到危机完全解决的漫长过程，可以使师范生感受数学创造的真实经过和数学家们探索与奋斗的精神，为概念的学习做好铺垫，也便于引导师范生学完概念后仍要不断思考感悟.

数学是人类文明的重要组成部分，以抽象的形式追求可靠的结论和最大限度的一般性模式，是科学的语言和工具，对整个人类文明产生了不可替代的影响.教学中有意渗透这一点可以更好地引导师范生理解数学与人类文明的关系.另外，一些概念的发展历史中还蕴含着中华优秀传统文化的魅力.例如，我国传统数学中负数、分数、无限不循环小数、方程等内容是深刻且领先的，这些内容可以渗透到“数”、“方程”等章节的教学中，体现我国传统数学独创性、构造性、算法化的特点.

1.2 融入马克思主义哲学联系观、发展观，明确概念的“生长点”与“延伸点”

马克思主义方法论告诉我们，客观事物是普遍联系、运动发展的，因而反映客观事物的概念也是相互联系、不断发展的.数学概念既是数学思维的基本结构单位，又是数学命题、推理和论证的基础，因此是构成数学知识体系的基本要素和数学基础知识的核心[7].数学具有系统性，是通过公理化方法建立起来的演绎系统，除了原始概念，其他概念都必须由前此概念来定义.另外，教学中的数学概念，由于学生认知能力和知识储备的制约，往往会随着学习阶段的发展，在概念的内涵和外延上相应地发展变化.

因此，引入概念时要注重此概念与前此概念的联系，明确概念的“生长点”与“延伸点”.例如，学习平移的概念，从本课内容体系出发，复习前此概念：变换、合同变换，让师范生理解新旧概念之间的联系，引导师范生“联系地”看问题；
从与中小学联系的角度出发，回顾小学、初中所学平移内容.小学并没有给出平移的概念，只是通过特例感知平移，形成表象，初中给出了平移的概念，但限于中学生认知水平和特点，此时的概念有一些不足之处，例如，方向如何表示？平移的距离是多少？可否更加简洁地定义平移？在这个过程中使师范生理解中小学所学平移概念的不足，“发展地”看问题，为重新建构平移概念引发认知需求.

无论是运用概念形成的方式归纳概括一类对象的共同属性形成新概念，还是运用概念同化的方式用定义直接揭示新概念，概念建构的本质都是抽取一类对象所共有的空间形式和数量关系的本质属性，而剥离这类对象的非数学本质属性，如颜色、材质等，而这一过程正是哲学认识论中透过现象看本质的认识.同时，概念的获得需要方法的支撑，没有方法，概念也就难以建构.

2.1 融入透过现象看本质的认识，理解建构概念的认识论前提

马克思主义唯物辩证法指出：本质是事物的根本性质，是构成事物各要素之间的内在联系.现象是事物的外部联系和表面特征，是事物本质的外部表现.现象是多样的、片面的、多变易逝的、表面的、外露的，本质是一般的、共同的、相对稳定的、深藏于内部的[8]98.马克思主义认识论中把对现象的认识称为感性认识，包括感觉、知觉和表象三种基本形式.但要获得对本质的认识，就需要理性认识，即借助于抽象思维对感性认识进行加工、整理、概括而形成的关于事物的本质、内部联系的认识[8]150.数学概念与相应的个例正是本质与现象在数学上的一种反应，概念建构的过程是掌握同类事物的共同、关键属性的过程.从感性认识到理性认识，正是建构数学概念的哲学认识论前提，在教学中应有意识地向师范生渗透这一点.

2.2 注重数学思维方法的训练，强化建构概念的方法

这一环节的任务是建构概念，然而，正如 文[9]指出：“我们不但要提出任务，而且要解决完成任务的方法问题.我们的任务是过河，但是没有桥或没有船就不能过.不解决桥或船的问题，过河就是一句空话.不解决方法问题，任务也是瞎说一顿.”数学方法就相当于这里讲的桥或船的问题，数学方法源自数学思想，思想是由思维产生的.

数学思维是人脑和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映[10]4.数学思维是极为重要的，正如郭思乐所说：“数学思维教育是21 世纪数学教育的核心.”数学思维教育的意义，不仅仅是为了培养数学家，而是为所有人的未来发展打下基础[11].数学思维方法是由数学的符号、概念、语言，按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方 法[10]8.《义务教育数学课程标准（2022 年版）》以及《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中提出的核心素养，都体现了数学思维方法.教学中应注重对师范生数学思维方法的训练.

数学思维方法有不同的分类，例如有宏观和微观之分，有程序化和创造性之分，有逻辑和非逻辑之分，另外还有不同数学分支的思维方法以及一般科学方法论形成的数学思维方法.在概念的建构环节，应根据概念的特点，突出不同的数学思维方法.例如，在自然数序数理论部分，建构自然数的概念时，强调公理化这种宏观数学思维方法的特点和作用，并说明这种定义运用的是创造性思维方法.在数的理论起始课中强调算术思维方法，在解析式理论起始课中强调代数思维方法，在解析几何起始课中强调代数与几何思维方法的结合等等.建构无理数概念戴德金分割说时要利用形象思维、想象思维，这些都是非逻辑数学思维.建构平移、旋转、轴对称概念时要利用观察、分析、综合等一般科学方法论形成的数学思维方法.

特别地，《初等数学研究》课程中常用分类、抽象、类比等数学思维方法以及逆向思维和悖向思维来建构概念.概念将事物依其共同属性而分类，依其属性的差异而区别，故分类是概念获得的基础，是对概念的内涵进行认识的过程.例如，解析式的概念就是通过对数学符号的分类获得的，数学符号可以分为五大类：元素符号、运算符号、关系符号、约定符号、性质与辅助符号，而将运算符号和辅助符号（括号）作用到元素符号（数和表示数的字母）上得到的数学式就是解析式.概念的建构一般都要用到数学抽象思维，即剥离事物的非数学本质属性，而抽取事物的数量关系和空间形式的本质属性.例如平移概念的建构，需要引导师范生在观察、分析初中平移概念的基础上，将方向、距离抽象成向量，抓住了向量这个关键，建构平移概念就比较容易了.在概念的建构中，类比也是一种常用的思维方法.例如，类比自然数加法的概念建构乘法的概念，类比整数的公理化定义建构有理数的公理化定义，类比平移的概念建构旋转的概念，等等.在建构概念时，有时要用到逆向思维，例如，数的理论中减法、除法都是通过逆向思维定义的.此外，悖向思维会冲破传统认知的限制，在创造概念方面有时起到不可替代的作用.例如，虚数概念，就冲破了负数不能开平方的限制.

唯物辩证法告诉我们要发展地、全面地、系统地、普遍联系地看待问题，妥善处理各种关系.在引入概念，建构概念的基础上，要引导师范生对概念进一步理解、辨析，形成整体认识，这就是深化概念环节.在这一环节中，要引导师范生理解概念从中小学直到大学的发展变化.例如，函数概念的教学，概念的引入环节中介绍初中学习过的“变量说”，高中学习过的“对应说”，概念的建构环节引导师范生获得“关系说”.“关系说”概念建构以后，再引导师范生比较分析这三种定义之间的联系与区别，从数学科学的角度和学生认知发展的角度展开，让师范生更深刻地理解函数概念并理解教科书中数学概念螺旋式安排的意义，把握不同学段对函数教学的不同要求，做到“全面地”看问题.

全面地、系统地看待问题，还需要把新概念纳入到相应的概念体系中去，引导师范生理解所学概念与相关概念之间的联系与区别.数学概念之间的关系，根据外延集有无重合之处，可分为相容关系（包括同一、属种、交叉）和不相容关系（包括矛盾、反对）.例如，多项式和有理整式，无限不循环小数和无理数，都具有同一关系.自然数、整数、有理数、实数、复数之间，整式、有理式、代数式、解析式之间都具有属种关系.奇函数和偶函数，具有交叉关系.整式方程和分式方程（相对于属概念“有理方程”而言）是矛盾关系.整式方程和分式方程（相对于属概念“代数方程”而言）是反对关系.在教学过程中，不应把概念作为个别的、孤立的事物来看，而应将其置于概念体系中去考察，这样可以更深刻地理解概念的内涵和外延.例如，在函数概念教学中，可以将对应、映射、逆映射、复合映射、函数、基本初等函数、初等函数、反函数、复合函数等诸多概念之间建立联系，以此明确各个概念在整个理论中所处的地位，如图1 所示，其中“+”表示增加内涵，从而新概念就是原概念的特例，“-”表示减少内涵，从而新概念比原概念更为普遍、更为一般.

图1 函数概念教学

数学概念要么来源于对现实世界的抽象，要么用于解决数学内部的矛盾.基于本课程用高等数学的观点考察初等数学的特点，这里的应用指概念在理解中小学数学内容上的应用，由此可以看到数学概念在解决数学内部矛盾中的作用，纠正师范生以往某些片面、错误的认识，达到“正流清源”的作用.例如，数的理论中学习了自然数及其运算、整数及其运算、有理数及其运算、实数及其运算、复数及其运算的严格定义，从而就可以在数的概念应用环节中引导师范生完整解答：为什么2+3=5 ？为什么2+3=3+2 ？为什么4×25=25×4 ？为什么负负得正？为什么复数不能比较大小？等等问题.再如，函数理论中比较分析了函数概念的“变量说”、“对应说”和“关系说”，明确了这三种定义各自的优缺点和适用群体，从而就可以在函数概念应用环节引导师范生准确解答：函数的本质是什么？为什么初中学习了函数概念高中还要再学函数概念？等等问题.

科学态度可以理解为对待科学的态度，就其具体内容而言，至今尚未完全达成一致，本文结合《初等数学研究》课程特点，认为该课程中应融入的科学态度包括：追根究底、实事求是、严谨认真、善于质疑、勇于创新、修正错误等态度.态度给人提供行为方式的信念，在本课程概念教学中应注重科学态度的培养，激发师范生的好奇心，鼓励师范生质疑，引导他们秉承勇于创新的精神自主建构数学概念，以实事求是、严谨认真的态度不断地修正完善已有认知中的概念.

人们对理性一词有不同的理解，本文所讲的理性精神，主要采用文[12]的定义并结合数学专业的特点，指一种精神文化和价值体系，包括追求真理，崇尚科学，概念、判断、推理等思维方式，提倡实事求是、一切从实际出发的现实主义态度，推崇自主、自觉、敬业、进取的价值观.在中华民族伟大复兴的过程中，为贯彻落实科技强国战略，理性精神必不可少，而课堂是育人的“主渠道”，数学是培养理性精神的最佳载体之一，数学概念是建立数学理论体系的逻辑起点.因此，在概念教学过程中应秉承理性精神，从文化、历史、联系等角度引入概念，引导师范生自主、自觉地从纷繁复杂的个例中，在已有认知结构原有概念的基础上，抽象概括出一类事物的本质属性建构概念，实事求是地分析深化概念，从中小学数学内容的实际出发应用概念，科学合理地解释中小学数学中解决不了或者解决不好的问题.

笔者利用李克特量表完成了2021-2022-1学期任教班级对课程思政融入《初等数学研究》课程的态度调查，计算赞同度的公式采用：，其中区间评价值选择使用以下规则：非常同意5，同意4，一般同意3，不同意2，非常不同意1.结果显示：“数学思想方法对建构数学知识非常重要”赞同度为97.42% ；
“初等数学基本概念和原理之间具有内在联系，知识体系的理解是非常重要的”赞同度为98.06% ；
“数学史的融入对理解数学概念、原理很有帮助”赞同度为91.61% ；
“马克思主义哲学对课程学习非常有帮助”赞同度为93.55% ；
“对接中小学实际问题，对课程学习非常有帮助”赞同度为96.13% ；
“通过本课程的学习，对以前某些不理解，或者一知半解的中小学问题获得了答案”赞同度为94.19%.可见师范生对课程思政融入《初等数学研究》课程是高度认同的.全面推进课程思政建设是落实立德树人根本任务的战略举措，本课程后续实践中将不断完善教学内容与课程思政的深度融合，力争做到既不强加思政元素，也不降低育人要求，守好一段渠、种好责任田.

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