张君丽, 钮鹏程

(1 陕西科技大学 数学与数据科学学院，陕西 西安 710021；
2 西北工业大学 数学与统计学院，陕西 西安 710129)

文献[1]证明了弱下半连续积分泛函(这里被积函数是绝对连续的)在容许集的C1稠密子集上的极小值可能严格大于容许集上的极小值, 人们将此称之为Lavrentiev现象。此后，许多学者在欧氏空间上研究Lavrentiev现象。早期结果参见文献[2]及其参考文献。近二十年的研究主要集中于Lavrentiev现象缺失时的积分泛函极小元的正则性研究[3-15]。从这些研究中可以看到Lavrentiev现象是研究积分泛函极小元正则性的一个障碍。文献[16]给出了一个欧氏空间上Lavrentiev现象缺失的充分条件。

本文在Heisenberg群Hn上考虑非自治积分泛函

(1)

其中：Ω⊂Hn；
n≥1是一个有界开集;f(x,z):Ω×R2n×N→R是Caratheodory函数(即f(x,z)关于x可测,关于z连续), 并且∀x,z→f(x,z)是凸的,f(x,z)=f(x,|z|),f(x,0)=0;u:Ω→RN,N≥1,H=(X1,X2,…,X2n),这里

是Hn上的左不变向量场。被积函数f(x,z)还满足如下p,q-增长条件：

f(x,z)≥a(x)|z|p,

(2)

f(x,z)≤b(x)(1+|z|q)

(3)

和连续性条件

|f(x,z)-f(x0,z)|≤

d(x,x0)αk(x)(1+|z|q),0<α≤1,

(4)

其中非负可测函数a(x)、b(x)和k(x)分别满足

(5)

指标p、q和mi(i=1,2,3)满足

(6)

这里Q=2n+2是Hn的齐次维数。假设u∈HW1,1(Ω)={u∈L1(Ω):Hu∈L1(Ω)}使得(1)式有限, 则由(2)知a(x)|Hu|p∈L1(Ω),从而由

主要结果如下。

定理1令f(x,z):Ω×R2n×N→R是满足(2)～(6)的Caratheodory函数,并且还满足如下两个条件:

i)∀x,z→f(x,z)是凸的;

推论1若存在c1和c2使得

a(x)≥c1>0,k(x)≤c2,

此时(6)式变为

定理1中的其他条件不变, 则其结论仍成立。

注1满足定理1中条件的例子有

1)f(y,z)=|z|p+b(y)(1+|z|q),b(y)≥0;

2)f(y,z)=a(y)|z|p+c(1+|z|q),0≤

a(y)≤c;

3)f(y,z)=a(y)|z|p+b(y)(1+|z|q)。其中，非负可测函数a(y)和b(y)在Ω中具有相同的单调性。

定理1提供了Lavrentiev现象缺失的一个充分条件。我们注意到,当L(u,BR)≠0时,可能会出现下列严格不等式:

其中X和Y是拓扑空间, 且Y是X的稠密子集。这使得提升积分泛函极小元的正则性已无意义, 因为此时积分泛函的极小元仅属于一个比X小一点的空间, 而不属于Y。

对欧氏空间R2n+1,n≥1,定义群乘法为

(7)

其中:x=(x1,x2,…,x2n,t),y=(y1,y2,…,y2n,s)∈R2n+1,这就得到Heisenberg群Hn;Hn上的Haar度量等价于R2n+1中的Lebesgue度量。可测集E⊂Hn的Lebesgue测度记为|E|。Hn中两点间的Carnot-Carathèodary度量(C-C度量)d定义为连接它们的最短水平曲线的长度。用

BR(x)={y∈Hn:d(y,x)

表示由C-C度量d定义的球(也称为Heisenberg球)。除非特别说明, 本文出现的球均为同心球。对x=(x1,x2,…,x2n,t),定义伸缩变换和模分别为

δx=(δx1,δx2,…,δx2n,δ2t)

和

C-C度量等价于Korànyi度量

d(x,y)=‖x-1∘y‖Hn。

对1≤p<∞,Ω⊂Hn,定义Sobolev空间HWk,p(Ω)为

HWk,p(Ω)={u∈Lp(Ω):Hu∈Lp(Ω),

与其相应的范数是

∀Ω′⊂⊂Ω}。

现在给出与(1)式相关的Lavrentiev现象。参考文献[2]中的描述(也见文献[16-17]),取拓扑空间X和X的稠密子集Y,定义

X上G≤F},

Y上G≤F}。

(8)

因为

所以(8)式变为

(9)

定义

(10)

则由条件(4)得

|f(x,z)-fε(x,z)|≤εαk(x)(1+|z|q),

从而

fε(x,z)≥f(x,z)-εαk(x)(1+|z|q)。

(11)

又由条件(2)得

fε(x,z)≥a(x)|z|p。

(12)

所以对固定的δ∈(0,1),利用(11)和(12)式得

fε(x,z)=δfε(x,z)+(1-δ)fε(x,z)≥

δf(x,z)-δεαk(x)(1+|z|q)+

(1-δ)a(x)|z|p,

(13)

又由(10)式、条件ii)和Jensen不等式得

(f(·,Hu(·)))ε(x),

所以(13)式变为

(14)

由(6)式知

即

再结合(f(·,Hu(·)))ε(x)在L1(BR)中强收敛到f(x,Hu)知(14)式右端函数属于L1(BR),从而由uε在中强收敛到u,利用Lebesgue控制收敛定理得F(uε,BR)→F(u,BR),因此由引理1得L(u,BR)=0。

注3不满足定理1中条件ii)的被积函数是存在的。例如，取

f(y,z)=a(y)|z|p+b(y)(1-|z|q)+1,

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