杨施丹，尤希舟，王 俊，茹立宁*

（1.苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009；
2.江苏科技大学 理学院，江苏 镇江 212003）

最近20年内，自组织粒子群的集群运动行为引起各个领域专家的兴趣，尤其是生物、物理、控制以及数学等领域[1-8]。集群运动行为是指鸟群、鱼群等生物群体只使用有限的环境信息和简单的通信规则，经过一段时间运动，最后实现速度同步。在描述上述运动的模型中，文中研究由Cucker教授和Smale教授创建的模型[9-10]：每个个体通过其他个体的影响作用来调整自己的速度。在Cucker-Smale（C-S）模型中，存在一个非常重要的衰减指数β：当0≤β≤1/2时[11-12]，无条件集群运动发生；
而当β＞1/2时[9-10]，条件集群运动发生，且发生条件仅依赖于初值与模型参数。

C-S模型的新颖性与有趣性吸引了大量学者的注意力。受鸟群迁徙启发，Shen[13]把等级结构引入C-S模型，该模型所对应的Laplace矩阵是下三角矩阵。Li等人[14]利用（sp）矩阵研究了根领导下的C-S模型。Dong等人[15]进一步研究了一般有向图下的C-S模型，该模型是上述两种模型的推广。受这些模型的影响，刘友权等人[16]研究了仅有一个领导者的一维与多维C-S模型在有限时间内发生集群运动行为的问题。需要注意的是，文献[16]假设影响函数具有下界，弱化了研究问题的难度。基于此，文中研究具有多领导的多维C-S模型在有限时间内发生集群运动行为的问题。相较于仅有一个领导者的模型而言，首先，需要克服由多领导者的相互耦合所造成的研究难点，利用文献[17]的定理3.1，可以得到领导者在有限时间内发生集群运动行为，不妨设发生时刻为T1，因此在T1时刻后，领导者的速度相同；
然后，把C-S模型转成一个新的误差模型，利用能量方法并构造Lyapunov函数研究该模型；
最后，回归原始模型，得到系统在有限时间内发生集群运动行为。

研究具有多领导的Cucker-Smale模型：考虑由N+M个个体组成的系统，其中个体N+1，N+2，…，N+M是领导者，个体1，2，…，N是跟随者。

对于M个领导者而言，满足如下模型

对于N个跟随者而言，满足如下模型

在系统（1）-（2）中，xi∈Rd，vi∈Rd分别表示个体i的位移和速度，α＞0是一个正常数。影响函数ψ是非负非增函数，具体表达式为：ψ（s）=1/（1+s2）β（β≥0）。｜｜·｜｜是l2-范数，即对于y=（y1，y2，…，yd）T∈Rd，有函数sig（y）θ=（sgn（y1）｜y1｜θ，sgn（y2）｜y2｜θ，…，sgn（yd）｜yd｜θ）T，其中，sgn:R→{-1，0，1}为符号函数，常数0＜θ＜1。

注：一方面，文中研究的多领导-多跟随者系统来源于文献[18]的3.2节“Flocking with multiple leaders”，多领导模型的具体定义见文献[18]的定义3.4。笼统地说，领导者仅受其他领导者的影响，而跟随者受跟随者以及领导者的影响。另一方面，对于一般有向图下的C-S模型，且该有向图含有生成树而言[15]，多领导-多跟随C-S模型是其特例。这是因为在系统（1）-（2）所对应的邻接图中，每个领导者都可以看成一个根，对其他领导者以及跟随者产生影响，从而该邻接图有M个生成树。综上所述，文中研究的模型是合理有效的。

C-S模型在有限时间内发生集群运动行为的定义如下：

定义1如果系统（1）和（2）满足如下两个条件，则称该系统在有限时间内发生集群运动行为：

（1）速度的波动在有限时间内等于0：对于任意t≥T0，有｜｜vi（t）-vj（t）｜｜=0，1≤i，j≤N，其中T0=inf{T:｜｜vi（t）-vj（t）｜｜=0，∀t≥T}被称为收敛时间。

下面的两个引理在定理的证明中起到非常重要的作用。

引理1[19－20]设a1，a2，…，an是非负实数，若0＜r＜s，则

引理2[20－21]若可微函数V（t）:[0，+∞）→[0，+∞）满足微分不等式

其中c＞0，0＜θ＜1，则对于任意给定的时刻t0≥0，V（t）满足如下不等式：V（t）≤（V（t0）1-θ-c（1-θ）t）1/（1-θ），t0≤t≤t1，以及对于t≥t1，V（t）≡0，其中t1≤t0+V（t0）1-θ/c（1-θ）。

为了研究系统（1）-（2）在有限时间内发生集群运动行为，首先研究领导模型（1）的集群运动行为。引入系统（1）的平均位移和平均速度（xc，vc），即显然，。根据文献[16]的定理3.1：当t≥T1时，系统（1）的M个领导者发生集群运动行为，且

当t≥T1时，考虑如下的误差系统，系统（1）可转化为

引理3设是系统（1）-（2）的解，则当t≥T1时，｜｜x（t）｜｜，｜｜v（t）｜｜满足如下不等式

证明（1）类似于文献[8]，仅考虑｜｜x（t）｜｜≠0的情形，有

（2）考虑｜｜v（t）｜｜2，对其求导，得

根据ψij=ψji以及符号函数的性质，有

类似于I1的推导

由公式（6）以及ψ的非增性可知ψij≥ψ（a+｜｜x｜｜）。从而代入上式，有

又由于0＜θ＜1，即1＜θ+1＜2，由引理1知

整理得

所以，代入式（9）得

因此，

引理4若T1时刻的速度和位移满足下式

则系统（1）-（2）在有限时间内发生集群运动行为。确切地说，存在非负常数xM，当t≥T1时

以及v（t）≡0，t≥T2，其中

证明构造Lyapunov函数

由引理3可得

故L（t）是非增函数，从而当t≥T1时，L（t）≤L（T1），即

由已知条件（10）以及ψ的非增性知，存在xM≥｜｜x（T1）｜｜，使得

代入式（11）得

进一步，有

再由ψ（s）的非负性知

由ψ（s）是减函数，可得ψ（xM+a）≤ψ（｜｜x（t）｜｜+a）代入引理3的式（8），有

由引理2知

以及当t≥T2时，｜｜v（t）｜｜≡0，其中。由定义1知，系统（2）在有限时间内发生集群运动行为，从而系统（1）-（2）也在有限时间内发生集群运动行为。

依赖前面的引理，有如下的定理成立。

定理1对于系统（1）-（2）来说，若以下条件成立之一:（1）0≤β≤1/2；
（2）β＞1/2且

则集群运动行为在有限时间内发生。

证明一方面，若0≤β≤1/2，有，满足引理4的条件；
另一方面，当β＞1/2时，由条件（12）知初始位移及速度满足引理4。综上，由引理4知，系统在有限时间内发生集群运动行为。

利用误差模型，研究了具有多领导的C-S模型的有限时间集群运动行为问题，并得到在有限时间内发生无条件集群运动行为和条件集群运动行为。对于发生集群运动行为的有限时间的上界估计是未来的研究内容。

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