董自钰，赵正俊

（安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133）

设a,b,c为正整数，如果三元数组(a,b,c)满足a2+b2=c2，称(a,b,c)为Pythagorean三元数组。特别地，如果gcd(a,b,c)=1，则称(a,b,c)为本原Pythagorean三元数组。对于任意的正整数n，设P(n)表示n的所有不同素因子的乘积。1956年，Jeśmanowicz提出如下猜想：对任意的正整数n，指数丢番图方程

除(2,2,2)外无其他正整数解，其中(a,b,c)为本原Pythagorean三元数组[1]。

对于本原Pythagorean三元数组(a,b,c)，注意到a,b中必然有一个是偶数[2]，不妨设b为偶数，本原Pythagorean三元数组可以表示成：a=s2-t2,b=2st,c=s2+t2，其中s,t为互素的正整数，且s≡t(mod2)，s>t。因此，方程(1)可表示为

Jeśmanowicz猜想是初等数论中的一个难题。1959年，陆文端证明了当n=t=1时，方程（2）只有正整数解(2,2,2)[3]。1965年，Dem’janenko仍考虑n=1时的情形，证明了Jeśmanowicz猜想在c=b+1时成立[4]。2013年，利用初等数论的方法和Pell方程的相关结果，Miyazaki推广了陆文端和Dem’janenko的结果，证明了当n=1且a≡±1(modb)或c≡1(modb)时，方程（1）只有正整数解(2,2,2)[5]。对于n>1的情形，如果方程（1）有除(2,2,2)以外的其他正整数解(x,y,z)，则(x,y,z)必满足以下条件之一[6]：（i）max(x,y)>min(x,y)>z,P(n)|c且P(n)（ii）x>z>y且P(n)|b；
（iii）y>z>x且P(n)|a。2015年，杨海和付瑞琴进一步证明了当n>1时方程（1）不存在满足上述条件（i）的非(2,2,2)的正整数解[7]。上述结论对Jeśmanowicz猜想的研究起到了重要作用。目前，对Jeśmanowicz猜想的研究主要分为n>1和n=1两种情形，本文考虑了n>1的情形，并利用初等数论的方法对Miyazaki的结果进行了推广。

为了证明本文的主要结果，先给出下列引理。

引理1[5]设(a,b,c)为本原Pythagorean三元数组，如果a≡-1(modb)，那么指数丢番图方程ax+by=cz只有正整数解(2,2,2)。

引理2[8]设(a,b,c)为本原Pythagorean三元数组，且指数丢番图方程ax+by=cz只有正整数解(2,2,2)。如果方程（1）有解(x,y,z)≠(2,2,2)，则(x,y,z)满足下列条件之一：（i）x>z>y且P(n)|b；
（ii）y>z>x且P(n)|a。

引理3[5]设(a,b,c)=(s2-t2,2st,s2+t2)为本原Pythagorean三元数组，如果a≡-1(modb)，则s为偶数，t为奇数。

本文考虑Jeśmanowicz猜想的一类特殊情形，得到了如下结论。

定理设(a,b,c)是本原Pythagorean三元数组，n是正整数。如果a≡-1(modb)且P(a)|n，那么，Jeśmanowicz猜想成立。

证明假设方程（1）有正整数解(x,y,z)≠(2,2,2)。由引理1可知，指数丢番图方程ax+by=cz只有正整数解(2,2,2)。因为P(a)|n，gcd(a,b)=1，所以P(n)|/b。由引理2可知，y>z>x，P(n)|a，因此，P(n)=P(a)。此时方程(1)可表示为

注意到P(n)=P(a)，gcd(a,c)=1，则有nz-x=ax。因此，方程（3）可表示为

又a=s2-t2，b=2st，c=s2+t2，其中s,t为互素的正整数且s≡t(mod2)，s>t，所以方程（4）可表示为

因为a≡-1(modb)，所以s2-t2=-1+2stk，k为自然数，故

由方程（5）和式（6）可得

由引理3可知，s为偶数，t为奇数。如果t=1，则s2-1=-1+2sk，即s=2k。令s=2hk1，2|/k1。此时，由方程（5）可得

又有y>z>x，所以y>z≥2，(h+1)y>2h+1。由式（9）可得0≡22hk21z(mod22h+1)，所以z为偶数。如果t>1，则t≥3，由式（8）可知，z为偶数。因此，z必为偶数，不妨设z=2z1。这样，方程（4）可表示为byny-z=(cz1+1)(cz1-1)，即

记D=((s2+t2)z1+1)，E=((s2+t2)z1-1)。由式（7）可得E≡(1)z1-1=0(mods)，所以s|E。注意到gcd(D,E)=2，s为偶数，所以另一方面，

因此矛盾，故假设不成立，从而Jeśmanowicz猜想成立，定理得证。

注记需要指出的是，上述证明过程中，在证明t=1，则z是偶数时，采用了文献[9]的方法。

如果只考虑Jeśmanowicz猜想在a≡-1(modb)时的情况，找出正整数n与a,b,c之间的关系，是解决此问题的一个难点，但若只考虑(a,b,c)=(63,16,65)这一特殊情形，则有以下结果。

推论对于任意的正整数n，指数丢番图方程

除(2,2,2)外无其他正整数解。

该推论已经由苟莎莎和张洪在文献[10]中证明，考虑到文章的完整性，利用上述结果，采用不同于文献[10]的方法，本文给出了上述推论的完整证明。

证明假设方程（10）有正整数解(x,y,z)≠(2,2,2)，因为63≡-1(mod16)，由引理1可知，指数丢番图方程(63)x+(16)y=(65)z只有正整数解(2,2,2)。由引理2可知，x,y,z必满足以下两种情形之一。

情形1y>z>x，P(n)|63。此时，方程（10）可表示为

因为P(n)|63，令n=3u7ν，u,ν为自然数。由定理可知，u,ν不能同时大于0。

（i）u>0,ν=0。此 时，方 程（11）可 表 示 为7x32x=3u(z-x)(65z-16y3u(y-z))。注 意 到65z-16y3u(y-z)≡(-1)z(mod3)，有2x=u(z-x)，故

由方程（12）可得(-1)x=1z(mod4)，1≡(-1)z(mod3)，因此x,z为偶数，不妨设x=2x1，z=2z1。从而，方程（12）可表示为16y3u(y-z)=65z-7x=(65z1+7x1)(65z1-7x1)。又因为gcd=(65z1+7x1,65z1-7x1)=2，所以或另一方面，矛盾。

（ii）u=0,ν>0。此 时，方 程（11）可 表 示 为7x32x=7ν(z-x)(65z-16y7ν(y-z))。注 意 到65z-16y7ν(y-z)≡(2)z≡0(mod7)，有ν(z-x)=x，故

由方程（13）可得0≡32x=65z-16y7ν(y-z)≡(-1)z-1(mod3)，故z为偶数，不妨设z=2z1。从而，方程（13）可表示为16y7ν(y-z)=65z-32x=(65z1+3x)(65z1-3x)。又因为gcd=(65z1+3x,65z1-3x)=2，所以或另一方面矛盾。

（iii）u=0,ν=0。此时，方程（11）可表示为(63)x+(16)y=(65)z，由引理1可知，矛盾。

情形2x>z>y，P(n)|b。此时，方程（10）可表示为

因为P(n)|b，令n=2u，u为自然数，

（i）u=0。此时，方程（14）可表示为(63)x+(16)y=(65)z，由引理1可知，矛盾。

（ii）u>0。此 时，方 程（14）可 表 示 为24y=2u(z-y)(65z-63x2u(x-z))。注 意 到65z-63x2u(x-z)≡1(mod)2，有4y=u(z-y)，故

由式（15）可得(-1)z-1≡0(mod3)，故z为偶数，不妨设z=2z1。从而方程（15）可表示为7x9x2u(x-z)=65z-1=(65z1+1)(65z1-1)。又gcd=(65z1+1,65z1-1)=2，所以9x|65z1+1或9x|65z1-1。

另一方面，9x>9z>(65+1)z1≥65z1+1>65z1-1，矛盾。

综上所述，在假设方程（10）有正整数解(x,y,z)≠(2,2,2)的前提下，每种情形均产生了矛盾，因此假设不成立，推论得证。

需要指出的是，本文给出的上述推论证明较文献[10]中的证明简略。

目前，Jeśmanowicz猜想的研究主要集中在一些特殊情形，例如n=1的情形，或者a,b为素数的方幂的情形。本文证明了当a≡-1(modb)，P(a)|n时，Jeśmanowicz猜想成立，并用此结论证明了(63)x+(16)y=(65)z没有除(2,2,2)以外的正整数解。注意到当a≡1(modb)时，指数丢番图方程ax+by=cz同样只有正整数解(2,2,2)，后续我们将尝试将本文中的结论推广到a≡1(modb)的情形。

猜你喜欢本原数组偶数JAVA稀疏矩阵算法电脑报(2022年13期)2022-04-12奇数与偶数小学生学习指导(低年级)(2021年5期)2021-07-21偶数阶张量core逆的性质和应用数学物理学报(2021年1期)2021-03-29JAVA玩转数学之二维数组排序电脑报(2020年24期)2020-07-15本原Heronian三角形的一个注记数学年刊A辑(中文版)(2019年4期)2019-12-16『闭卷』询问让人大监督回归本原人大建设(2017年8期)2018-01-22对“自度曲”本原义与演化义的追溯与评议中华诗词(2017年10期)2017-04-18Excel数组公式在林业多条件求和中的应用林业调查规划(2017年6期)2017-03-27今日聚集让新闻回归本原大众电视(蓝天下)(2016年8期)2017-01-15寻找勾股数组的历程初中生之友·中旬刊(2015年4期)2015-06-10