2 永磁同步电机的公式推导 2.1 永磁同步电机的能量转换过程推导 永磁同步电机电压平衡方程：
（2-1） 其中，，为转子机械角位移，为转子机械角速度，电机稳定运行时为常数，即。则有 （2-2） 其中，为电阻压降，表示感应电动势，成为运动电动势。

转矩平衡方程：
（2-3） 其中，为电机电磁转矩，为输出机械转矩，为惯性转矩，为阻力转矩；
理想情况下，电机阻力力矩近似为常数，稳定运行时机械加速度为零，所以输出的机械转矩，由于电机阻力力矩近似为常数，电磁功率可近似看作输出机械功率。

磁能的表达式：
（2-4） 由磁能与电磁转矩之间的关系，则：
（2-5） 其中，表示电流矩阵的转置。

则电磁功率为：
（2-6） 由公式两边同时乘以，则：
（2-7） 由式（2.7）可知，等式左边为电机输入功率；
等式右边为电阻损耗功率，是电磁功率，即电功率转换成机械功率输出的那一部分，表明从电磁耦合场中获得的一半能量转换成了机械能输出；
是输入功率除去输出的和内阻损耗功率之后的功率，即为磁场功率。稳态运行时，一个周期内磁场功率应为零，即一个周期内磁场转化的功率与释放的功率相同。

2.2 坐标变换 （1）变换（Clark变换） 设三相绕组和两相绕组每相的绕组匝数分别为N1，N2，将两组磁动势分别投影到轴和轴上：
（2-8） 前后保持功率不变，可进一步推倒出此时，所以，三相静止坐标系到两相静止坐标系（3s/2s）的“等功率”变换矩阵为：
（2）变换（Park变换） 同样遵照磁效应等效原则，同一时刻、同一方向上的瞬时磁动势相等，再由功率不变原则得出变换前后各绕组的有效匝数不变，因此可以直接由电流矢量表示合成磁动势。将磁动势投影到正交的α 轴、β 轴上，由三角关系易得：
（2-9） 两相静止坐标系到两相旋转坐标系（2s/2r） 的“等功率”变换矩阵为：
（3）变换 考虑零序电流得 （2-10） 则有， （2-11） 通过计算可以得出变换矩阵：
2.3 旋转坐标系下动态方程 （1） 电压方程 根据坐标变换，并考虑：
（2-12） （2-13） 可以得到 （2-14） （2-15） （2-16） （2-17） （2-18） 定子电压方程 （2-19） （2-20） （2-21） 转子电压方程 （2-22） （2-23） （2-24） （2）磁链方程 轴上绕组：绕组，阻尼绕组，励磁绕组。

轴上绕组：绕组，励磁绕组。

在绕组通三相电流，在绕组中的磁链 （2-25） 其中，为绕组和相绕组重合时的互感 在绕组通电流，，在绕组中的磁链 （2-26） 其中，为直轴电枢反应电感 令绕组与绕组等效，则 （2-27） 同理 （2-28） 轴主磁链 （2-29） 轴总磁链 （2-30） 其中，为定子交直轴的漏感 若，为定子绕组漏自感和漏互感，则总漏感和零序电感为 （2-31） 由交直轴磁链得到交直轴同步电感 （2-32） 定子系统的磁链 （2-33） （2-34） （2-35） 励磁绕组的磁链 （2-36） 直轴阻尼绕组的磁链 （2-37） 交轴阻尼绕组的磁链 （2-38） （3）转矩方程 同步电动机输入总功率 （2-39） 由于 所以 （2-40） 变换为磁势不变，而非功率不变，系数不为1。

展开得到 （2-41） （2-42） 2.4 拉格朗日运动方程 确定电机的动力变量，广义损耗系数，以应外来广义驱动力，列表如下：
表3.1 在广义坐标和广义速度下的系数 定子绕组 定子绕组 转子绕组 转子绕组 机械转子 假设系统为线性的 （2-43） 由，可得 （2-44） 拉格朗日函数为 （2-45） 其中，。

（2-46） 根据式（3.23），同步电机运动方程的推导如下：
当时 （2-47） 则定子绕组轴的电压方程为：
（2-48） 当时 （2-49） 则定子绕组轴的电压方程为：
（2-50） 当时 （2-51） 则转子绕组轴的电压方程为：
（2-52） 当时 同理可得，转子绕组轴的电压方程为：
（2-53） 当时 （2-54） 则力平衡方程为 （2-55） 综上所述，式（2-46）、（2-50）、（2-51）、（2-52）、（2-56）合起来就是永磁同步电机的运动方程。