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第一篇：几何法证明不等式

几何法证明不等式

用解析法证明不等式：

^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈r，且a≠b)

设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2,又因为a不等与b,所以不取等号

可以在直角三角形内解决该问题

=^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用几何方法证明不等式，举例一下。

比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)

做出一个单位圆，

以o为顶点，x轴为角的一条边

任取第一象限一个角x，

它所对应的弧长就是1*x=x

那个角另一条边与圆有一个交点

交点到x轴的距离就是sinx

因为点到直线，垂线段长度最小，

所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等

已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;

能给出其他方法的就给分

(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

一个是算术，一个是几何。人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证

(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)

我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。

要的是数学法证明也就是代数法不是用向量等几何法证明.....有没有哪位狠人帮我解决下

【柯西不等式的证明】二维形式的证明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈r)

=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

一般形式的证明

求证：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

证明：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立

令a=∑ai^2b=∑ai·bic=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知a>0

构造二次函数f(x)=ax^2+2bx+c，展开得：

f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判别式△=4b^2-4ac≤0，

移项得ac≥b，欲证不等式已得证。

第二篇：不等式的导数法证明

龙源期刊网 http://.cn

不等式的导数法证明 作者：王锁平

来源：《新高考·高二数学》2014年第02期

第三篇：比较法证明不等式

比较法证明不等式

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈r+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：ab1b2b3…bnb，即从已知a逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论b。

a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/2

因a^a*b^b=(ab)^ab,

又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4.

用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-4

下面这个方法算不算“比较法”啊?

作差m=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

构造函数m=f(c)=(a+b)c+ab+4

这是关于c的一次函数(或常函数)，

在com坐标系内，其图象是直线，

而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因为a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因为a>-2,b>-2)

所以函数f(c)在c∈(-2,2)上总有f(c)>0

即m>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

设x,y∈r,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)²≥0

(2y-1)²≥0

x²-2x+1≥0

4y²-4x+1≥0

x²-2x+1+4y²-4x+1≥0

x²+4y²+2≥2x+4x

除了比较法还有：

求出中间函数的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x为r，

y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<1

原题得到证明

比较法：

①作差比较，要点是：作差——变形——判断。

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

根据a-b>0a>b，欲证a>b只需证a-b>0;

②作商比较，要点是：作商——变形——判断。

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

当b>0时，a>b>1。

比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)

综合法是从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法。

第四篇：g3.1038 不等式的证明—比较法

g3.1038 不等式的证明—比较法

一、基本知识

1、求差法：a＞b? a－b＞0

a2、求商法：a＞b＞0??1并且b?0 b

3、用到的一些特殊结论：同向不等式可以相加（正数可以相乘）；
异向不等式可以相减；

4、分析法——执果索因；
模式：“欲证?，只需证?”；

5、综合法——由因导果；
模式：根据不等式性质等，演绎推理

6、分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.

二、基本训练

1、已知下列不等式:

(1)x2?3?2x(x?r) (2)a5?b5?a3b2?a2b3(a,b?r)(3)a2?b2?2(a?b?1)其中正确的个数为 ???????????????????()

(a)0(b)1(c) 2(d) 3

2、1＞a＞b＞0，那么???????????????????（）

a?ba?b(a)a＞＞ab＞b(b) b＞＞ab＞a22

a?ba?b(c) a＞＞b＞ab(d) ＞ab＞a＞b 22

??3、如果－＜b＜a＜，则b－a的取值范围是?????????（） 22

???(a)－?＜b－a＜0(b) －?＜b－a＜?(c) －＜b－a＜0(d) －＜b－a＜222

4a4、已知a?2,那么（填“>”或者“<”） 4?a2

a5、若a?1，0?b?1，则logb

a?logb的范围是_____________

6、若a?b?c?1，则a2?b2?c2的最小值为_____________

三、例题分析：

例1、求证：若a、b>0,n>1,则an?bn?an?1b?abn?1

例2、已知：a、b

?

例3、a、b、c、d、m、n全是正数，比较p=ab?cdq=ma?nc?

例4、比较aabb与baab(0?a?b)的大小。

变题：求证：ab?(ab)

例5、a∈r，函数f(x)?a?2 x2?1aba?b2bd?的大小. mn(a?0,b?0)

(1)判断此函数的单调性。

n2(2)f(n)=,当函数f(x)?a?x为奇函数时，比较f(n),f(n)的大小. n?12?1

例6、设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的两个根x1、x2满足0?x1?x2?1。

a

（1） 当x?(0,x1)时，证明：x?f(x)?x1

（2） 设函数f(x)的图象关于直线x?x0对称，证明：x0?

四、同步练习：g3.1038 不等式的证明—比较法

1、不等式：⑴x3＋3>2x；
⑵a5＋b5<a3b2＋a2b3；
⑶a2＋b2≥2(a＋b－1)；
⑷|ab?|?2恒成立bax1。

2的有()

(a)⑴、⑵(b) ⑴、⑶(c) ⑶、⑷(d) ⑴、⑵、⑶、⑷

2、 对x?r都成立的不等式是????????????????????? ()

(a)lg(x2?1)?lg2x (b) x2?1?2x(c)

3、0＜a＜1，f=2a，g=1?a，h=12(d)x?4?4x?12x?11，那么f、g、h中最小的是???（） 1?a

(a)f(b) g(c) h(d) 不能确定

4、a>b>0，则下列不等式恒成立的是??????????????????（）

b2?1b22a?bb11(a)?2(c)a??b?(d) aa>bb ?(b)2a?2baaba?1a

5、x>100，那么lg2x,lgx2,lglgx从大到小的顺序为.

7(2x?2y)6、若x、y满足y?x2，则式log2?的符号是________。

8227、a＞0，b＞0，a＋b=1，比较m=x＋y与n=(ax＋by)2＋(bx＋ay)2的大小.

8、比较xn?1?yn?1与xny?xyn(n?n,x,y?r?)大小

9、已知△abc的外接圆半径r=1，s?abc?

t?111??。求证：t?s abc1，令s?a??c，b、a、c是三角形的三边，4

?a2??b2a?b2??() 10、设a、b为实数，求证：42

11、已知正数a、b、c满足a?b?2c，求证：

（1）c2?ab

（2）c?c2?ab?a?c?c2?ab

答案：ddad5、lg2x>lgx2>lglgx6、“+”、m?n.8、xn?1?yn?1?xny?xyn

第五篇：函数法证明不等式

函数法证明不等式

已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0

<1>证明0

<2>证明an+1<(1/6)×(an)^3

它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊?

((推荐打开范文网WWw.haOword.COm)1)f(x)=x-sinx,f"(x)=1-cosx

00,f(x)是增函数,f(0)

因为0

且an+1=an-sinan

(2)求证不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①

构造函数g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0

g""(x)=x-sinx,由(1)知g""(x)>0,所以g"(x)单增,g"(x)>g"(0)=0

所以g(x)单增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立

因此an+1<(1/6)×(an)^3成立。

证毕!

构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式

【例1】证明不等式：≥(人教版教材p23t4)

证明：构造函数f(x)=(x≥0)

则f(x)==1-在上单调递增

∵f(|a|+|b|)=f(|a+b|)=且|a|+|b|≥|a+b|

∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|)即所证不等式正确。

点评：本题还可以继续推广。如：求证：≥。利用分式函数的单调性可以证明的教材中的习题还有很多，如：

p14第14题：已知c>a>b>0,求证:

p19第9题:已知三角形三边的长是a，b，c，且m是正数，求证：

p12例题2:已知a，b，m，都是正数，且a二、利用分式函数的奇偶性证明不等式

【例2】证明不等式：(x≠0)

证明：构造函数f(x)=

∵f(-x)=

=f(x)

∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。

当x>0时，<0，f(x)<0;

当x<0时，-x>0,故f(x)=f(-x)<0

∴<0，即

三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式

【例3】已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：a+b+c证明：构造函数f(c)=(1-ab)c+a+b-2

∵|a|<1，|b|<1

∴-10

∴f(c)的(-1，1)上是增函数

∵f(1)=1-ab+a+b-2=a+b–ab-1=a(1-b)-(1-b)=(1-b)(a-1)<0

∴f(1)<0，即(1-ab)c+a+b-2<0

∴a+b+c。

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4.1 比较法证明不等式

赋值法证明不等式

构造法证明不等式

向量法证明不等式

构造法证明不等式例说