河北省“五个一”名校联盟

　2020 届高三一轮复习收官考试

　数学 (理)试卷

　第Ⅰ卷 (选择题 )

　一、选择题

　1．设集合 A

　x | 2x 1 1

　， B

　y | y

　log 3 x, x A ，则 CB A (

　)

　A． (0，1)

　B．[0，1)

　C． (0， 1]

　D．[0， 1]

　2．已知复数 z 满足 1 2i

　1

　i ，则 z

　(

　)

　z

　A ．

　5

　B．3 2

　C． 10

　D． 3

　2

　2

　2

　3．已知函数

　f

　x 2x ，若 a

　f 20.2 ， b

　f 2 ， c f

　log 2 5

　，则 (

　)

　A ． a<b<c

　B． c<b<a

　C．b<a<c

　D ． a<c<b

　4．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，

　在实际生活中还有三分法．

　比如借助天平鉴

　别假币．有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币

　(质量较轻 )，把两枚硬币放在天平的两端，若天

　平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币．现有

　27 枚这样的硬币，其中有

　一枚是假币 (质量较轻 )，如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为

　A ． 2

　B ．3

　C． 4

　D ． 5

　5．如图，直线 l 的解析式为 y=-x+4 ，它与 x 轴和 y 轴分别相交于

　A ，B 两点．平行于直线

　l 的直线 m 从原

　点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动．它与

　x 轴和 y 轴分别相交于

　C， D 两点，运

　动时间为 t 秒 (0≤ t≤ 4)，以 CD 为斜边作等腰直角三角形

　CDE(E ， O 两点分别在 CD 两侧 )．若△ CDE 和△

　OAB 的重合部分的面积为

　S，则 S 与 t 之间的函数关系的图象大致是 (

　)

　A．

　B．

　C．

　

　D ．

　6．如图所给的程序运行结果为

　

　S=41 ，那么判断框中应填入的关于

　

　k 的条件是

　

　(

　

　)

　A ． k 7 ?

　B． k 6 ?

　C． k 5 ?

　D． k 6 ?

　7．下列判断正确的是

　(

　)

　A ．“ x

　2 ”是“ 1n(x+3)<0 ”的充分不必要条件

　B．函数 f

　x

　x2

　9

　1

　的最小值为 2

　x2

　9

　C．当 α，

　R 时，命题“若 sin

　sin

　，则

　”为真命题

　D．命题“

　x

　0， 2019x

　2019

　0 ”的否定是“

　x0 0 ， 2019

　x0

　2019 0 ”

　8．若两个非零向量

　a, b 满足 a

　b

　a b

　2 a ，则向量 a b 与 a

　b 的夹角是 ()

　A ．

　B ．

　2

　C． 2

　D． 5

　6

　3

　6

　9．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式

　来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是

　(

　)

　A ． 3

　B． 7

　C． 1

　D ． 5

　4

　12

　2

　12

　10．设 F2 是双曲线 C :

　x2

　y2

　a

　0,b

　0 的右焦点， O 为坐标原点，过 F2 的直线交双曲线的右支于点

　2

　21

　a

　b

　P，N ，直线 PO 交双曲线 C 于另一点 M ，若 | MF2 | 3| PF2 | ，且∠ MF 2N=60 °，则双曲线 C 的离心率为 (

　)

　A ． 3

　B ．2

　5

　D

　．

　7

　C．

　2

　2

　11．设函数 f x

　ex

　2a sin x, x

　0,

　有且仅有一个零点，则实数

　a 的值为 (

　)

　A ． 2e 4

　B ．

　2 e4

　C．

　2 e 2

　D． 2e 2

　2

　2

　12．在三棱锥 A-BCD

　中，∠ BAC= ∠ BDC=60 °，二面角 A-BC-D

　的余弦值为

　1 ，当三棱锥 A-BCD

　的体

　3

　积的最大值为

　6 时，其外接球的表面积为

　(

　)

　4

　A ． 5π

　B． 6π

　C．7π

　D． 8π

　第Ⅱ卷 (非选择题 )

　二、填空题

　x

　1

　13．已知实数 x、 y 满足线性约束条件

　y

　1

　，则目标函数 z 2 x

　y 的最大值是 ________．

　x

　y

　4

　14．在等比数列 {a n} 中，已知 a2a5

　2a3 ，且 a4 与 2a7 的等差中项为 5

　，则 S5

　________

　4

　15．函数

　f

　x

　3sin x

　4cos x

　， 若 直 线 x

　是 曲 线

　y

　f x

　的一条对称轴，则

　cos2

　sin

　cos

　________ ．

　16． F1 、 F2 是椭圆 x

　2

　2

　2

　y2

　1 a

　b 0

　的两个焦点，

　P 为椭圆上的一点，如果△

　PF1F2 的面积为 1，

　a

　b

　tan

　PF1F2

　1 ， tan

　PF2 F1

　2

　，则 a=________________

　2

　三、解答题

　17．已知△ ABC 的内角 A ， B， C 的对边分别为

　2 A

　1

　b

　a， b， c，若 cos

　2

　2 c

　2

　(Ⅰ )求角 C；

　(Ⅱ )BM 平分角 B 交 AC 于点 M ，且 BM=1 ， c=6，求 cos∠ABM ．

　18．在四棱锥 P-ABCD 中， AD ∥ BC ， AB BC CD

　1

　AD ， G 是 PB 的中点，△ PAD 是等边三角形，

　2

　平面 PAD⊥平面 ABCD ．

　(Ⅰ )求证： CD ⊥平面 GAC；

　(Ⅱ )求二面角 P-AG-C

　的正弦值．

　19．已知函数

　f

　x

　ax

　sin x ， x 0,

　，其中 a 为常数．

　2

　(Ⅰ )若函数 f

　x

　在 0,

　上是单调函数，求

　a 的取值范围；

　2

　(Ⅱ )当 a 1时，证明： f

　x

　1 x

　3 ．

　6

　20．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本

　y(元 )

　与生产该产品的数量

　x(千件 )有关，经统计得到如下数据：

　x

　1

　2

　3

　4

　5

　6

　7

　8

　y

　112

　61

　44.5

　35

　30.5

　28

　25

　24

　根据以上数据，绘制了散点图．

　观察散点图， 两个变量不具有线性相关关系，

　现考虑用反比例函数模型

　y a

　b 和指数函数模型

　y cedx 分

　x

　别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为

　y

　96.54e 0.2 x ， ln y 与 x 的相关

　系数 r1

　0.94 ．

　参考数据 (其中 ui

　1

　)：

　xi

　8

　8

　8

　8

　ui yi

　u

　u

　2

　ui2

　yi

　yi2

　0.61

　6185.5

　e 2

　i 1

　i 1

　i 1

　i 1

　183.4

　0.34

　0.115

　1.53

　360

　22385.5

　61.4

　0.135

　用反比例函数模型求 y 关于 x 的回归方程；

　(2) 用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好

　(精确到 0.01) ，并用其估计产量为

　10 千件时每件产品

　的非原料成本；

　(3) 该企业采取订单生产模式

　(根据订单数量进行生产，即产品全部售出

　)．根据市场调研数据，若该产品单

　价定为 100 元，则签订

　9 千件订单的概率为

　0.8，签订 10 千件订单的概率为

　0.2；若单价定为 90 元，则签

　订 10 千件订单的概率为

　0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7．已知每件产品的原料成本为

　10 元，根据 (2)

　的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择

　100 元还是 90 元，请说明理由．

　参考公式：对于一组数据

　(u1 ， v1)， (u2 ， v2 )， ， (un， vn)，其回归直线

　v

　u 的斜率和截距的最小二

　n

　n

　ui vi

　nuv

　ui vi

　nuv

　乘估计分别为：

　i

　1

　， a v

　u ，相关系数 r

　i

　1

　．

　n

　n

　ui2

　2

　n

　nu2

　2

　i

　nu

　ui2

　vi2

　nv

　1

　i 1

　i 1

　21．已知中心在原点的椭圆

　C

　1 和抛物线 C2 有相同的焦点 (1，0)，椭圆

　C1过点 G

　1,

　3

　，抛物线 C

　2

　2 的顶点

　为原点．

　(Ⅰ )求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程；

　(Ⅱ )设点 P 为抛物线 C2 准线上的任意一点，过点

　P 作抛物线 C2 的两条切线 PA， PB，其中 A 、B 为切点．

　①设直线 PA， PB 的斜率分别为 k1， k2，求证： k1k2 为定值；

　②若直线 AB 交椭圆 C1 于 C，D 两点， S△ PAB， S△ PCD 分别是△ PAB，△ PCD 的面积，试问：

　S PAB

　是否有

　S PCD

　最小值 ?若有，求出最小值；若没有，请说明理由．

　请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

　22． [选修 4-4：坐标系与参数方程

　]

　x

　8k

　k

　2

　在直角坐标系

　1

　xOy 中，曲线 C 的参数方程是

　k 2

　(k 为参数 )，以坐标原点

　O 为极点， x 轴的非负

　3 1

　y

　1

　k2

　半轴为极轴建立极坐标系，直线

　l 的极坐标方程为

　cos

　3 2 ．

　4

　(Ⅰ )求曲线 C 的普通方程和直线

　l 的直角坐标方程；

　(Ⅱ )求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围．

　23． [选修 4-5：不等式选讲 ]

　已知 a， b， c 为正数，且 a+b+c=2 ，证明：

　(Ⅰ ) ab

　bc

　ac

　4；

　3

　(Ⅱ ) 2 a 2 b 2 c

　8．

　b

　c

　a