2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案 （四川陕西云南甘肃等地区用） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 球的表面积公式 S=4 其中R表示球的半径， 球的体积公式 V=， 其中R表示球的半径 第I卷 参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k 一、 选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） 1.已知是第三象限的角，则是（ ）. A.第一或二象限的角 B.第二或三象限的角 C.第一或三象限的角 D.第二或四象限的角 2. 已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（ ）. A.0 B.-8 C.2 D.10 3.在(x-1)(x+1)8的展开式中x5的系数是( ) A.-14 B.14 C.-28 D.28 4.设三棱柱ABC-A1B1C1的体积是V，P.Q分别是侧棱AA1.CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（ ） A. B. C. D. 5.=（ ） A.- B. C.- D. 6.若,则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 7.设0≤x<2π,且=sinx-cosx, 则( ) A.0≤x≤π B.≤x≤ C.≤x≤ D.≤x≤ 8.( ) A.tanx B.tan2x C.1 D. 9.已知双曲线的焦点为F1.F2，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为( ) A. B. C. D. 10.设椭圆的两个焦点分别为F1.F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 11.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）个 A.3 B.4 C.6 D.7 12.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ） A.6E B.72 C.5F D.B0 二、填空题: 本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13.已知复数z0=3+2i, 复数z满足zz0=3z+z0，则z= 14.已知向量，且A.B.C三点共线，则k= . 15.设为平面上过点(0,1)的直线，的斜率等可能地取-2,-,-,0,,, 2, 用ξ表示坐标原点到的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ= 16.已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则P到AC.BC距离的的乘积的最大值是 三、解答题（共76分） 17.（本小题满分12分） 甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一个小时内，甲.乙都需要照顾的概率是0.05，甲.丙都需要照顾的概率是0.05，乙.丙都需要照顾的概率是0.125 1）求甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？ 2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？ 18.（本小题满分12分） 四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形， 平面VAD⊥底面ABCD 1）求证AB⊥面VAD；

2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． 19.（本小题满分12分） 中，内角..的对边分别为..，已知..成等比数列，且 （1）求的值；

（2）若，求的值 20.（本小题满分12分） 在等差数列{an}中，公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知a1,a3,成等比数列，求数列k1,k2,k3,…,kn的通项kn 21.（本小题满分14分） 设.两点在抛物线上，是的垂直平分线 1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；

2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围 22.（本小题满分12分） 已知函数f(x)= (1)求函数f(x)的单调区间和值域；

（2）设a≥1, 函数g(x)=x3-3a2x-2a, x∈[0,1], 若对于任意x1∈[0,1], 总存在x0∈[0,1], 使得g((x0) =f(x1)成立，求a的取值范围 2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案 （必修+选修Ⅱ） （四川陕西云南甘肃等地区用） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C A C C B C D D A 13.14.15.16.3 17.（本小题满分12分） 甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一个小时内，甲.乙都需要照顾的概率是0.05，甲.丙都需要照顾的概率是0.05，乙.丙都需要照顾的概率是0.125 1）求甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？ 2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？ 解：记“甲机器需要照顾”为事件A，“乙机器需要照顾”为事件B，“丙机器需要照顾”为事件C，由题意三个事件互不影响，因而A，B，C互相独立 (1)由已知有：P（AB）= P(A)P(B)=0.05, P（AC）= P(A)P(C)=0.1 P（CB）= P(B)P(C)=0.125 解得P（A）=0.2, P(B)=0.25, P(C)=0.5, 所以甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率分别为0.2;0.25;0.5. (2)记事件A的对立事件为，事件B的对立事件为，事件C的对立事件为， 则P()=0.8, P()=0.75, P()=0.5, 于是P(A+B+C)=1-P()=1-P()P()P()=0.7. 故在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率为0.7. 18.（本小题满分12分） 四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形， 平面VAD⊥底面ABCD 1）求证AB⊥面VAD；

2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． 证法一：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB 又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD （2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角 设正方形ABCD的边长为a， 则在Rt△ABF中，,AB=a, AF=a，tan∠AFB = 故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为 证明二：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………1分 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，………2分 则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，）， ∴……3分 由…………4分 ……5分 又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量……………………7分 设是面VDB的法向量，则 ……9分 ∴，……………11分 又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为……12分 （II）证法三：由（Ⅰ）得是面VAD的法向量…………………7分 设平面VDB的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D三点的坐标代入可得 解之可得令q=则平面VDB的方程为x-y+Z+=0 故平面VDB的法向量是………………………………9分 ∴，………………11分 又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为……12分 19.（本小题满分12分） 中，内角..的对边分别为..，已知..成等比数列，且 （1）求的值；

（2）若，求的值 解：（1）由得：
由及正弦定理得：
于是：
（2）由得：，因，所以：，即：
由余弦定理得：
于是：
故：
20.（本小题满分12分） 在等差数列{an}中，公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知a1,a3,成等比数列，求数列k1,k2,k3,…,kn的通项kn 解：由题意得：……………1分 即…………3分 又…………4分 又成等比数列, ∴该数列的公比为，………6分 所以………8分 又……………………………………10分 所以数列的通项为……………………………12分 21.（本小题满分14分） 设、两点在抛物线上，是的垂直平分线 （1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；

（2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围 注：本小题主要考察直线与抛物线等基础知识，考察逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力 解法一：（1）、两点到抛物线的准线的距离相等 因为：抛物线的准线是轴的平行线，，依题意、不同时为0 所以，上述条件等价于；

注意到：，所以上述条件等价于 即：当且仅当时，直线经过抛物线的焦点 （2）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；
过点、的直线方程可写为，所以、满足方程，即 、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，也就是：设的中点的坐标为为，则有：
， 由得：，于是：
即：在轴上截距的取值范围是 .解法二：（Ⅰ）∵抛物线，即， ∴焦点为…………………………………………1分 （1）直线的斜率不存在时，显然有………………3分 （2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b 即直线：y=kx+b 由已知得：
……5分 ………7分 即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………8分 所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F……………9分 (II)解：设直线的方程为：y=2x+b, 故有过AB的直线的方程为，代入抛物线方程有2x2+=0, 得x1+x2=-. 由A.B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式，即 由直线AB的中点为=， 则 于是 即得l在y轴上的截距的取值范围是 22.（本小题满分12分） 已知函数f(x)= (1)求函数f(x)的单调区间和值域；

（2）设a≥1, 函数g(x)=x3-3a2x-2a, x∈[0,1], 若对于任意x1∈[0,1], 总存在x0∈[0,1], 使得g((x0) =f(x1)成立，求a的取值范围 解：
（1）对函数f(x)=求导，得f’(x)=，令f’(x)=0解得x=或x=. 当x变化时，f’(x), f(x)的变化情况如下表所示：
x 0 (0,) 1 f’(x) - 0 + f(x) ↘ -4 ↗ -3 所以，当时，f(x)是减函数；
当时，f(x)是增函数 当时，f(x)的值域是[-4，-3] （II）对函数g(x)求导，则g’(x)=3(x2-a2). 因为，当时，g’(x)<5(1-a2)≤0, 因此当时，g(x)为减函数， 从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)], 又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a, 即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a], 任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1), 则[1-2a-3a2,-2a]， 即 , 解①式得a≥1或a, 解②式得， 又,故a的取值范围内是.