2001年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷

　考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．

　一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数≤的反函数

　． 2．若复数z满足方程（是虚数单位），则z=

　． 3．函数的最小正周期为

　 4．二项式的展开式中常数项的值为

　 5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为

　 6．圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为

　 7．计算：

　 8．若非零向量、满足||=||，则与所成角的大小为

　9．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是

　（结果用分数表示） 10．若记号“*” 表示求两个实数与的算术平均数的运算，即*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数、、都能成立的一个等式可以是

　11．关于的函数有以下命题：

　（1）对任意的都是非奇非偶函数； （2）不存在使既是奇函数，又是偶函数； （3）存在使是奇函数； （4）对任意的都不是偶函数． 其中一个假命题的序号是

　 ．因为当=

　时，该命题的结论不成立． 12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄．甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%．乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为

　 元．（假定利率五年内保持不变．结果精确到1分）

　二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 13．若、为实数，则>>0是的 （

　） (A) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (B) 充要条件 (D) 既非充分条件也非必要条件 14．若直线=1的倾斜角为，则 （

　） (A) 等于0 (B) 等于 (C) 等于 (D) 不存在 15．若有平面与，且，则下列命题中的假命题 （

　） (A) 过点P且垂直于的直线平行于 (B) 过点P且垂直于的平面垂直于 (C) 过点P且垂直于的直线在内 (D) 过点P且垂直于的直线在内 16．若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为 （

　） (A)

　(B)

　(C)

　(D)

　 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 已知R为全集，A=≥，B=≥，求． 18．（本题满分12分） 已知，试用表示的值． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米． （1）求关于的函数解析式； （2）设容器的容积为V立方米，则当为何值时，V最大？求出V的最大值． （求解本题时，不计容器的厚度）

　20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在B B1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D． （1）求证：A1C⊥平面AEF； （2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等． 试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小．（用反三角函数值表示）

　21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分． 已知椭圆C的方程为，点的坐标满足≤1．过点P的直线与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点．求：

　（1）点Q的轨迹方程； （2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．

　22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分． 已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和． （1）用表示； （2）是否存在自然数和，使得成立． 2001年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试题参考解答

　一、填空题 1．≥．

　2．1-

　 3．2．

　4．20．

　5．． 6．．

　7．．

　 8．．

　9．． 10．

　 等． 11．（1），；（1），；（4），等．（两个空格全填对时才能得分．其中也可以写成任何整数） 12．219.01．

　二、选择题 13．A．

　14．C．

　15．D．

　16．B．

　三、解答题 17．[解]由已知≥． ≤4 由 解得-1≤＜3．所以≤． 由≥1，解得-2＜≤3．所以＜≤． 于是 ≥，故． 18．[解]因为 ，所以． 因而． 又，于是． 因此． 19．[解]（1）设为正四棱锥的斜高．由已知 解得 ． （2）． 易得． 因为≥，所以≤．等式当且仅当，即时取得． 故当米时，有最大值，的最大值为立方米． 20．[证]（1）因为，所以在平面上的射影为． 由，，得． 同理可证． 因为，， 所以． [解]（2）过作的垂线交．因为，所以． 设所成的角为，则即为平面与平面所成的角． 由已知，计算得． 如图建立直角坐标系，则得点

　． 因为与所成的角为， 所以， ． 由定理知，平面与平面所成角的大小为． 21．[解]（1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为． 当时，设直线的斜率为，则的方程为． 由已知，

　① ，

　 ② 由①得，

　 ③ 由②得，

　④ 由③、④及，得点的坐标满足方程

　 ．

　⑤ 当时，不存在，此时平行于轴，因此的中点一定落在轴上，即的坐标为（）．显然点的坐标满足方程⑤． 综上所述，的坐标满足方程 ． 设方程⑤所表示的曲线为，则由

　得

　． 因为，由已知≤1，所以当=1时，，曲线与椭圆有且只有一个交点． 当＜1时，，曲线与椭圆没有交点． 因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内．故点的轨迹方程为 ． （2）由

　 解得曲线与轴交于点、． 由

　 解得曲线与轴交于点、． 当，即点为原点时，、与重合，曲线与坐标轴只有一个交点． 当，且≤，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，点与重合，曲线与坐标轴有两个交点与． 同理，当，且≤1，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点与． 当<1,且，即点在椭圆内且不在坐标轴上，曲线与坐标轴有三个交点、与． 22．[解]（1）由，得N． （2）要使，只要＜0．因为＜4，所以， 故只要 ．① 因为（），所以 ≥， 又，故要使①成立，只能取2或3． 当时，因为Ｓ１＝２，所以当k＝１时，不成立，从而①不成立．因为，由,得 ， 所以当≥２时，，从而①不成立． 当时，因为，，所以当时，不成立，从而①不成立． 因为，又 ， 所以当≥3时，，从而①不成立． 故不存在自然数、，使成立．