导数、微分及其应用训练

　一、 （15分）证明：多项式无实零点。

　证明：用反证法证明，设存在实根，则此根一定是负实根（因为当时，）。假设，则有。因为

　 由此可得，但是，这是一个矛盾。所以多项式无实零点。

　二、 （20分）设函数在上具有连续导数，在内二阶可导，证明：存在，使得

　证明：设。对函数在区间上运用拉格朗日中值定理可得，存在使得

　再对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在使得

　 由此可得

　 三、 （20分）设是二阶可微函数，满足，且对任意的有

　证明：当时，。

　证明：因为， 设，则有

　 因此当时，

　当时，。

　四、 （15分）设函数是可微函数，如果，证明：仅为的函数。

　证明：考虑球面坐标，其中， 则有，因为

　 所以仅为的函数。

　 五、 （15分）设在点处可导，且。证明：

　 证明：因为在点处可导，所以

　又因为，所以，由此可得

　 六、 (15分)设函数具有三阶连续导数，并且对任意的，都为正值，并且。证明：对任给的有。

　证明：任取数，构造函数

　 因为，并且只有，所以 任取正数，则有

　利用拉格拉日中值定理，存在使得，

　 所以有

　又因为，所以

　当时有，

　由的任意性可得对任给的有。

　七、