考试资料

　某某省“五个一联盟”2021届高三数学下学期第二次诊断考试试题

　试卷满分：150分考试时长：120分钟

　注意事项：

　1．答卷前，考生务必将自己的某某、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

　2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

　3．考试结束后，将答题卡交回。

　一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　1．已知全集，集合，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）

　A．B．C．D．

　2．已知正实数a，b满足，则复数为（ ）

　A．B．C．D．

　3．在三棱锥中，M，N分别是的中点，若，则与所成的角为（ ）

　A．B．C．D．

　4．若，则的值为（ ）

　A．B．C．D．

　5．直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ）

　A．B．C．1D．2

　6．甲、乙、丙、丁四人过桥，一次最多能过两个人，四人只有一把手电（在桥上行走时需携带且打亮），手电照明时间仅能维持二十分钟，每个人单独过桥所需的时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、10分钟，则四人全部过桥的最短时间为（若两人同时过桥，必须相伴同行）（ ）

　A．16分钟B．17分钟C．18分钟D．19分钟

　7．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限，则（ ）

　A．2B．3C．4D．

　8．已知恰有三个不同零点，则实数a的取值X围为（ ）

　A．B．C．D．

　二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

　9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）

　A．在区间上有2个零点

　B．为的一个对称中心

　C．

　D．要得到的图像，可以将图像上所有的点向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的10．已知数列满足，且，则下列结论正确的是（ ）

　A．B．

　C．的最小值为0D．当且仅当时，取最大值30

　11．已知函数的定义域为R，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）

　A．B．函数是偶函数

　C．当时，的最大值为6D．当时，的最小值为

　12．已知椭圆上有一点P，分别为左、右焦点，的面积为S，则下列选项正确的是（ ）

　A．若，则B．若，则

　C．若为钝角三角形，则D．椭圆C内接矩形的周长X围是

　三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

　13．五位同学站成一排，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排第一个，那么所有的排列总数为____________．（用数字作答）

　14．某大学2013年在校本科生4500人，研究生500人，预计在今后若干年内，该学校本科生每年比上一年增长，研究生每年比上一年增长，则从_______年开始该校研究生的人数占该校本科生和研究生总人数比例首次达到以上．（参考数据：）

　15．点M在内部，满足，则________．

　16．设双曲线的左右顶点分别为，与不重合的点P在其右支上，则直线与直线的斜率之积为__________．若，则的大小为___________．

　四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

　17．（10分）在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题。

　已知的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，_________，D是边上的一点，且，求线段的长．

　18．（12分）数列的前n项和为，且，等比数列满足．

　（1）求数列与的通项公式；

　（2）若，求数列的前n项和。

　19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，M，N分别是的中点．且，平面平面．

　（1）证明：平面；

　（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

　20．（12分）已知椭圆的离心率为，一顶点坐标为．

　（1）求椭圆的标准方程；

　（2）已知M、N为椭圆上异于A的两点，且，判断直线是否过定点？若过定点，求出此点坐标．

　21．（12分）某中学有高一和高二两个乒乓球队，每队各9人．两队在过去的九场单打对抗赛中，比赛结果统计数据如下：

　场次

　1

　2

　3

　4

　5

　6

　7

　8

　9

　比赛结果

　高二胜

　高二胜

　高一胜

　高二胜

　高一胜

　高二胜

　高二胜

　高一胜

　高二胜

　两队队员商量下一次单打对抗赛的比赛形式，提供了三种方案：

　（1）双方各出3人，比三局；

　（2）双方各出5人，比五局；

　（3）双方各出7人，比七局．

　（以上表中的高二队战胜高一队的频率作为高二队战胜高一队的概率）三种方案均以比赛中获胜局数多的一方获胜．问：对高一年级来说，哪种方案获胜率更高？你能得出什么结论？

　22．（12分）已知函数．

　（1）若函数在区间上单调递增，某某数a的取值X围．

　（2）当时，求证：．

　某某省“五个一名校联盟”2021届高三第二次诊断考试

　数学参考答案

　一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　1．D2．C3．A4．D5．C 6．B7．B8．D

　二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

　9．AB 10．AC 11．ABC 12．ACD

　三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

　13．6014．202115．3：416．1，（或）

　四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

　17．解：若选①，，∴，2分

　∴，∴4分

　若选②，，

　又，∴2分

　因为，所以4分

　若选③，的面积，结合余弦定理可得号，

　可得，可得2分

　因为，所以4分

　因为，所以，在中，

　， 5分

　在中，由正弦定理的，

　∴，∴, 7分

　∵，∴，8分

　在中，，

　∴,． 10分

　18．解：（1）时，，时，，

　又适合上式，∴，3分

　∵，设的公比为q，

　，∴． 6分

　（2）；8分

　设数列的前n项和为；

　9分

　.12分

　19．解：（1）连接，显然且，

　∴四边形为平行四边形，

　∴且，∴是正三角形，∴，2分

　∵平面平面，且平面平面，∴平面，

　∴平面，∴，又∵，且，

　∴平面． 4分

　（2）连接，易知，∴．

　在中，，∵，

　∴

　，∴6分

　故建立如图所示的空间直角坐标系，

　则，

　，

　设平面的一个法向量，

　,∴,∴,∴; 8分

　设平面的一个法向量，

　,∴,∴,∴;10分

　∴，

　设二面角所成的角为，． 12分

　20．解：（1）椭圆离心率为，∴，1分

　∵，∴3分

　椭圆方程为． 4分

　（2）直线斜率不存在时，不合题意，

　设直线方程为．

　联立得，

　，

　6分

　，9分

　解得或,10分

　若直线方程为，则直线过定点，与A重合，不合题意；

　若直线方程为，则直线过定点．

　综上，直线过定点． 12分

　21．解：由题意知，高二每位队员战胜高一每位队员的概率为，即每场比赛高一队获胜的概率为分

　方案一高一年级获胜的概率：

　；4分

　方案二高一年级获胜的概率：

　；7分

　方案三高一年级获胜的概率：

　． 10分

　∵

　所以对高一年级来说，方案一更有利．

　结论：因为高一年级每位队员获胜的概率为，概率低于高二年级，所以比赛次数越少，高一年级侥幸获胜的概率越大。

　当双方实力有差距时，所比局数越少，对实力弱的一方越有利． 12分

　22．解：（1），因为在单调递增，

　在上恒成立，即，2分

　令，

　，所以在单调递增，

　所以，即． 5分

　（2）要证，

　即证明． 7分

　令，由得在上单调递增，

　在上单调递减，8分

　所以在的最小值，9分

　令，由，得，10分

　所以在上单调递增，在单调递减，最大值为，

　所以红，11分

　，原不等式成立．12分