第2讲　常见的概率的模型

　A组　对点热练

　一、 单项选择题

　1. 已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(－1<ξ<0)＝p，则P(ξ>1)等于(

　)

　A. eq \f(1,2)－eq \f(p,2)　

　B. eq \f(1,2)＋eq \f(p,2)

　C. eq \f(1,2)＋p

　D. eq \f(1,2)－p

　2. 从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(

　)

　A. eq \f(4,35)　

　B. eq \f(6,35)

　C. eq \f(12,35)　

　D. eq \f(36,343)

　3. (2020·绵阳诊断)某射手每次射击击中目标的概率是eq \f(2,3)，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为(

　)

　A. eq \f(8,81)

　B. eq \f(73,81)

　C. eq \f(8,9)

　D. eq \f(1,9)

　4. (2020·九江期末)假设一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否出现故障是相互独立的．已知4引擎飞机中至少3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．若要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是(

　)

　A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))

　B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))

　C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))

　D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))

　二、 多项选择题

　5. 下列命题中正确的是(

　)

　A. 已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝eq \f(2,3)

　B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

　C. 设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝eq \f(1,2)－p

　D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，若X～B(10，0.8)，则当X＝8时概率最大

　6. 已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))·e－eq \f(?x－μ?2,2σ2)，x∈R，那么下列命题中正确的是(

　)

　A. 对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立

　B. 若随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，则F(x)是R上的增函数

　C. 若随机变量X服从N(108,100)，则X的均值是108，标准差是100

　D. 若随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq \f(1,2)，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p

　三、 填空题

　7. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为________．

　8. 若随机变量X～N(10，σ2)，P(X＞12)＝m，P(8≤X≤10)＝n，则m＋n＝________，eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)的最小值为________．

　四、 解答题

　9. (2020·马鞍山二检)随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10 000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到如下表所示的数据：

　经常进行网络购物

　偶尔或从不进行网络购物

　合计

　男性

　50

　50

　100

　女性

　60

　40

　100

　合计

　110

　90

　200

　(1) 依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.15 的前提下认为“该市市民进行网络购物的情况与性别有关”？

　(2) 现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求选出的3人中至少有2人是经常进行网络购物的概率；

　(3) 将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的数学期望和方差．

　附：K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋bc＋da＋cb＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d.

　P(K2≥k0)

　0.15

　0.10

　0.05

　0.025

　0.010

　k0

　2.072

　2.706

　3.841

　5.024

　6.635

　10. (2021·苏州期初)某省2021年开始将全面实施新高考方案，在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分，思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．

　(1) 某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

　原始分

　91

　90

　89

　88

　87

　85

　83

　82

　转换分

　100

　99

　97

　95

　94

　91

　88

　86

　人数

　1

　1

　2

　1

　2

　1

　1

　1

　现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；

　(2) 假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N(75.8,36)．若Y～N(μ，σ2)，令η＝eq \f(Y－μ,σ)，则η～N(0,1)，请解决下列问题：

　①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分；(结果保留整数)

　②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(ξ＝k)取得最大值时k的值．

　附：若η～N(0,1)，则P(η≤0.8)≈0.788，P(η≤1.04)≈0.85.

　B组　滚动热练

　1. 设f(x)＝(1－2x)6，则x的奇次项的系数和为________．

　2. 若函数y＝3sinx－4cosx在x＝θ处取得最大值，则sinθ＝ ________.

　3. 在三棱锥A－SBC中，AB＝eq \r(10)，∠ASC＝∠BSC＝eq \f(π,4)，AC＝AS，BC＝BS，若该三棱锥的体积为eq \f(\r(15),3)，则三棱锥S－ABC外接球的体积为________．