2019-2020学年市一中高三第五次模拟考试 数学试题（理科） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.复数为纯虚数，若（为虚数单位），则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2.已知，则（ ）. A. B. C. D. 3.若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）. A. B. C. D. 4.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）. A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差为（ ） A.1 B.2 C.4 D.6 6. 直线与圆相交于M，N两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种 8.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 10.我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似.执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的等于（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 11. 设是一个正整数，在的展开式中，第四项的系数为，记函数与的图象所围成的阴影部分面积为，任取，，则点恰好落在阴影区域内的概率是（ ）. A. B. C. D. 12.已知函数，当时，函数在，上均为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人. 14.已知数列满足，，，那么成立的的最大值为_________. 15.已知函数，若在区间上单调递增，则的最小值是____________. 16.设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分，过原点作的平行线交于点，若，则的离心率为____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤.） 17.已知向量，设. （1）求函数的解析式及单调增区间；

（2）在△中，分别为角的对边，且，求△的面积. 18.自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26 （1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？ （2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择. ①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；

②如果用表示两种方案休假周数之和.求随机变量的分布列及数学期望. 19.在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，， ，. （1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求的值；
如果不存在，说明理由. 20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆C交于E，F两点，直线AE、AF，分别与y轴交于M，N点. （1）求椭圆C的方程；

（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；
若不经过，请说明理由. 21.已知函数. （1）当时，求证：若，则；

（2）当时，试讨论函数的零点个数. 选做题：请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，则按第22题给分. 22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，若曲线与相交于、两点. (1)求的值；

(2)求点到、两点的距离之积. 23. （1）已知实数满足，证明：. （2）已知a>0，求证：－≥a＋－2. 数学试题（理科）参考答案与解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D B B A D B B A 11.由二项展开式的通项公式，得，令r=3， 则， ∴所求概率. 12.(-2，] 解析：因为函数在，上均为增函数，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，令，则在，上恒成立，所以有，，即a，b满足，在直角坐标系内作出可行域，，其中表示的几何意义为点P(-2，2)与可行域内的点Q(a，b)两点连线的斜率，由图知，所以，即的取值范围为(-2，]. 13.120 14.5 15.1 16. 解：设PT交x轴于点T，，则，由OM∥PT，得，即，则，所以，又PT是的角平分线 则，代入得，所以 17.(1)， 由 可得， 所以函数的单调递增区间为，. (2) ， ∵ ∴， ∴ ∴. 由 得 ∴， ∴. 18.解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；

当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为 （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种）， 其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得. ②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35. ， ， ， 因而的分布列为 29 30 31 32 33 34 35 P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 所以. 19.解：（1）设PA中点为G，连结EG，DG， ∵PA∥BE，且PA=4，BE=2， ∴BE∥AG且BE=AG， ∴四边形BEGA为平行四边形 ∴EG∥AB，且EG=AB. ∵正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB ∴EG∥CD，且EG=CD， ∴四边形CDEG为平行四边形 ∴EG∥DG. ∵DG平面PAD，CE平面PAD ∴CE∥平面PAD. (2)如图，建立空间坐标系，则B(4，0，0)，C(4，4，0)，E(4，0，2)，P(0，0，4)，D(0，4，0) ∴，， 设平面PCE的一个法向量为 ∴ 令x=1，则， ∴. 设PD与平面PCE所成角为， 则. 所以PD与平面PCE所成角的正弦值是. （3）假设存在点F(a，0，0)满足题意，则，. 设平面DEF的一个法向量为，则， 令x=2，则，所以. 因为平面DEF平面PCE，所以，即， 所以，故存在点F(，0，0)满足题意，且. 20.解：（1）设椭圆C的方程为， ∵椭圆的左焦点为 ∴ ∵点 在椭圆C上，所以 解得，b=2，所以椭圆C的方程为. （2）因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为. 因为直线与椭圆交于两点E，F，设点E()（不妨设），则点F，联立方程组 消去y，得 所以，则 所以直线AE的方程为， 因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N 令x=0，得 即点 同理可得点 所以 设MN的中点为P，则点P的坐标为 则以MN为直径的圆的方程为， 即. 令y=0，得，即x=2或x=-2. 故以MN为直径的圆经过两定点，. 21.解：（1）当m=1时， 则 则①， 令，得， 当时，， ∴，即 ∴函数在上为增函数，即当时，， ∴函数在上为增函数，即当时，. （2）由（1）和①式知，当时， ∴， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为， ∴ ∴，，即②， （I）当时， 又 ∴， ∴由②式得，即， ∴函数在上为增函数，又， ∴当时，，当时，， ∴函数在上有且仅有一个零点x=0. （II）当时， ⅰ）当时，，， ∴ 函数在时单调递减， ∴ 故时，函数在上无零点；

ⅱ）当时，由，得， 函数在上单调递增， 当时 ∴由函数零点存在性定理知 使，故当时，， 当时，， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又 ∴对，， 又当时， ∴， 由 ∴，再由函数零点存在性定理知，使得 综上所述，当时，函数有且仅有一个零点，当时，函数有两个零点. 22. 解析：(1) 曲线的普通方程为，， 则的普通方程为x+y-1=0 则的参数方程为：
代入得，. (2). 23.（1）证明：证法一∵， ∴， ∴，. ∴ 即 ∴ ∴ 即 ∴. 证法二：要证，只需证 只需证只需证 即 ∵， ∴，， ∴成立. ∴要证明的不等式成立. （2）证明：要证，只需证 只需证 即证 只需证 即证，此式显然成立. ∴原不等式成立.