2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；
非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：
样本数据，，，的标准差 锥体体积公式 其中为样本平均数 其中为底面面积、为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ， 其中为底面面积，为高 其中为球的半径 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．最小正周期为，其中，则 ▲ 2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲ 3．的形式，则= ▲ 4．，则集合A中有 ▲ 个元素 5．的夹角为，，则 ▲ 6．在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率 ▲ 开始 S¬0 输入Gi，Fi i¬1 S¬ S＋Gi·Fi i≥5 i¬ i＋1 N Y 输出S 结束 7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：
序号 （i） 分组 睡眠时间 组中值 （Gi） 频数 （人数） 频率 （Fi） 1 [4，5） 4.5 6 0.12 2 [5，6） 5.5 10 0.20 3 [6，7） 6.5 20 0.40 4 [7，8） 7.5 10 0.20 5 [8，9] 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为　　　　． 8．直线是曲线的一条切线，则实数b的值为 ▲ 9．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同学已正确算的的方程：，请你求的方程：
( ▲ ) 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。

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。

。

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按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为 ▲ 11．的最小值为 ▲ 12．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ▲ 13．若，则的最大值 ▲ 14．对于总有成立，则= ▲ 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． x y O A B 15．（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 （1）求的值；

（2）求的值。

B C A F D E 16．（14分）在四面体中，，且E、F分别是AB、BD的中点， 求证：（1）直线EF//面ACD （2）面EFC⊥面BCD 17．（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。

（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；

②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；

B C D A O P （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

18．（16分）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：
（1）求实数b的取值范围 （2）求圆C的方程 （3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。

19．（16分）（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当时，求的数值；
②求的所有可能值；

（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

20. （16分） 若，，为常数，且 （1）求对所有实数成立的充要条件（用表示） （2）设为两实数，且若 求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为） 卷2 21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分． A．选修4—1　几何证明选讲 B C E D A 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：． B．选修4—2　矩阵与变换 在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵A=对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程． C．选修4—4　参数方程与极坐标 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值． D．选修4—5　不等式证明选讲 设a，b，c为正实数，求证：． 必做题 22．记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围． 23．请先阅读：在等式（）的两边求导，得：
， 由求导法则，得，化简得等式：． （1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝（，正整数），证明：＝． （2）对于正整数，求证：
（i）＝0；

（ii）＝0；

（iii）． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1、10 2、 3、1 4、0 5、7 6、 7、6.42 8、 9、 10、 11、3 12、 13、 14、4 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15、【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查运算求解能力。

由条件得 为锐角， （1） （2） 为锐角， 16、【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力。

（1）∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线∴EF//AD 又∵面ACD，AD面ACD∴直线EF//面ACD （2） 17、【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则， 故 又，所以 所求函数关系式为 ②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以 所求函数关系式为 （2）选择函数模型①， 令得 当时，y是θ的减函数；
当时，y是θ的增函数；

所以当时， 此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。

18、【解析】：本小题考查二次函数图像于性质、圆的方程的求法。

（1）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b） 令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0 （2）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0 令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b 令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1 所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0 （3）圆C必过定点（0，1），（-2，1） 证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0 所以圆C必过定点（0，1）；

同理可证圆C必过定点（-2，1）。

19、【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。

（1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。

若删去，则，即化简得，得 若删去，则，即化简得，得 综上，得或。

②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。

若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；

当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；
同样若删去也有，这与矛盾；
若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项) 综上所述，。

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*） 由知，与同时为0或同时不为0 当与同时为0时，有与题设矛盾。

故与同时不为0，所以由（*）得 因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。

于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。

例如n项数列1，，，……，满足要求。

20、【解析】：本小题考查充要条件、指数函数于绝对值函数、不等式的综合运用。

（1）恒成立 （*） 若，则（*），显然成立；
若，记 当时， 所以，故只需。

当时， 所以，故只需。

综上所述，对所有实数成立的充要条件是 （2）10如果，则的图像关于直线对称。（如图1） 因为，所以区间关于直线对称。

因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。

20如果，不妨设，则， 于是当时，，从而 当时，，从而 当时，及， 由方程得，（1） 显然，表明在与之间。

所以 综上可知，在区间上，（如图2） 故由函数及函数的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由，即，得（2） 故由（1）（2）得 综合1020可知，在区间上的单调增区间的长度和为。

O y x (a,f(a)) (b,f(b)) (x0,y0) (p2,2) (p1,1) O y x (a,f(a)) (b,f(b)) 图1 图2