2020届广州市高三年级调研测试 理科数学 2019.12 本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

　注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A）填图在答题卡的相应位置上。

　2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

　3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔盒涂改液，不按以上要求作答无效。

　4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

　一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　1．如图1，已知全集U=Z，集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B={1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{3，4} B．{－2，－1，0} C．{1，2} D．{2，3，4}

　2．已知Z=（i为虚数单位）,在复平面内，复数Z对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，，，则a,b,c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．已知实数满足，则的最小值为（　　） A．-7 B．-6 C．1 D．6 5．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（　　） A． B． C． D． 6．如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7． 已知F为双曲线的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足（O为坐标原点），则双曲线的离心力为（　　） A． B．2 C．3 D． 8．函数的大致图像是（　　）

　A． B． C． D． 9．如图3，在中，则（　　）

　A． B．3 C． D．-3 10．1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：

　星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星 与太阳的距离 4 7 10 16 52 100 除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当是德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐用过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带。请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是 A．388 B．772 C．1540 D．3076 11．已知点A,B关于坐标原点O对称，，以M为圆心的圆过A,B两点，且与直线相切，若存在定点P，使得当A运动时，为定值，则点P的坐标为 A． B． C． D． 12．已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是 A． B． C． D．

　 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

　13．已知，则__________. 14．若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是__________. 15．已知某三棱锥的侧棱长大雨底边长，其外接球体积为，三视图如图3所示，则其侧视图的面积为__________. 16．在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为，记△ABC的面积为S，且，则的最大值为__________.

　三． 解答题：共70分。解答应些出文字说明证明过程或演算步骤。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

　（一）必考题：共60分。

　17． （12分）已知为单调递增的等差数列，，，设数列满足，. （1） 求数列的通项；（2）求数列的前项和.

　18.（12分）如图5，已知四边形ABCD是变成为2的菱形，∠ABC=60°，平面AEFC⊥平面ABCD， EF∥AC，AE=AB,AC=2EF. （1）求证：平面BED⊥平面AEFC； （2）若四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC，求二面角B-FC-D的余弦值。

　 19.（12分）某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1，300]，每单提成3元，若X∈（300，600），每单提成4元，若X∈（600，+∞），每单提成4.5元，B公司配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1，400]，每单提成3元，若Y∈（400，+∞），每单提成4元，小想在A公司和B公司之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表：

　表1：A公司配送员甲送餐量统计 日送餐量x（单） 13 14 16 17 18 20 天数 2 6 12 6 2 2 表2：B公司配送员乙送餐量统计 日送餐量x（单） 11 13 14 15 16 18 天数 4 5 12 3 5 1 （1）设A公司配送员月工资为f（X），B公司配送员月工资为g（Y），当X=Y且X，Y∈[300，600]时，比较f（X）与g（Y）的大小关系 （2）将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率 （i）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y） （ii）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．

　 20.（12分）已知椭圆的右焦点F到左顶点的距离为3. （1） 求椭圆C的方程； （2） 设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不在x轴上），若,延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.

　21.（12分）已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个极值点，证明：

　 （二）．选考题：共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

　22.（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （1）求曲线C和直线的直角坐标系方程； （2）已知直线与曲线C相交于A,B两点，求的值

　 23. 【选修4—5：不等式选讲】（10分） 已知 （1）当时，求不等式 的解集； （2）若时，，求的取值范围.

　参考答案 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　1．如图1，已知全集U=Z，集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B={1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{3，4} B．{－2，－1，0} C．{1，2} D．{2，3，4}

　答案：A 2．已知Z=（i为虚数单位）,在复平面内，复数Z对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 3．已知，，，则a,b,c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 答案：D 4．已知实数满足，则的最小值为（　　） A．-7 B．-6 C．1 D．6 答案：A 5．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（　　） A． B． C． D． 答案：A 6．如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B

　7、已知F为双曲线的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足（O为坐标原点），则双曲线的离心力为（　　） A． B．2 C．3 D． 答案：A 8．函数的大致图像是（　　）

　A． B． C． D． 答案：D 9．如图3，在中，则（　　）

　A． B．3 C． D．-3 答案：A 10．1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：

　星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星 与太阳的距离 4 7 10 16 52 100 除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当是德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐用过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带。请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是 A．388 B．772 C．1540 D．3076 答案：B 11．已知点A,B关于坐标原点O对称，，以M为圆心的圆过A,B两点，且与直线相切，若存在定点P，使得当A运动时，为定值，则点P的坐标为 A． B． C． D． 答案：C 12．已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 答案：D

　 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

　13．已知，则__________. 答案：

　14．若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是__________. 答案：135 15．已知某三棱锥的侧棱长大雨底边长，其外接球体积为，三视图如图3所示，则其侧视图的面积为__________. 答案：6 16．在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为，记△ABC的面积为S，且，则的最大值为__________. 答案：

　 17.（12分）已知为单调递增的等差数列，，，设数列满足，. （2） 求数列的通项；（2）求数列的前项和. 解：（1），又 数列是递增的，解得：

　所以，公差＝2，首项＝4，所以， （2）　① 　n≥2

　② ①-②得：，n≥2， n＝1时，＝6也满足上式， 所以，， 数列是以6为首项，2为公式的等比数列，

　18.（12分）如图5，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，平面AEFC⊥平面ABCD， EF∥AC，AE=AB,AC=2EF. （1）求证：平面BED⊥平面AEFC； （2）若四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC，求二面角B-FC-D的余弦值。

　 解：（1）平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD＝AC， 菱形ABCD中，BD⊥AC， 所以，BD⊥平面AEFC， 又BD平面BED，所以，平面BED⊥平面AEFC （2）平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD＝AC， EA⊥AC，所以，EA⊥平面ABCD， 直角梯形中，AC＝2EF，设AC交BD于O，连结FO，则有AO＝EF，AO∥EF， 所以，AOFE为平行四边形，所以OF∥EA， 所以，FO⊥平面ABCD， 菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以，三角形ABC为等边三角形， 设OC＝1，则OF＝AE＝AB＝2，OB＝OD＝， B（，0，0），C（0，1，0），F（0，0，2），D（－，0，0）， ＝（－，1，0），＝（－，0，2）， 设平面BCF的法向量为， 则，令，可得：＝（2,2，）， 同理可求得平面DCF的法向量＝（2,－2，－）， 求得二面角B-FC-D的余弦值为－

　19.（12分）某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1，300]，每单提成3元，若X∈（300，600），每单提成4元，若X∈（600，+∞），每单提成4.5元，B公司配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1，400]，每单提成3元，若Y∈（400，+∞），每单提成4元，小想在A公司和B公司之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表：

　表1：A公司配送员甲送餐量统计 日送餐量x（单） 13 14 16 17 18 20 天数 2 6 12 6 2 2 表2：B公司配送员乙送餐量统计 日送餐量x（单） 11 13 14 15 16 18 天数 4 5 12 3 5 1 （1）设A公司配送员月工资为f（X），B公司配送员月工资为g（Y），当X=Y且X，Y∈[300，600]时，比较f（X）与g（Y）的大小关系 （2）将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率 （i）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y） （ii）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由． 解：(1) X=Y且X，Y∈[300，600], 所以，g（Y）＝g（X）， 当X∈（300，400]时， f（X）－g（Y）＝f（X）－g（X）＝（1800＋4X）－（2100＋3X）＝X－300＞0， 当X∈（400，600]时， f（X）－g（Y）＝f（X）－g（X）＝（1800＋4X）－（2100＋4X）＝－300＜0， 当X∈（300，400]时，f（X）＞g（Y） 当X∈（400，600]时，f（X）＜g（Y） （2）（i）送餐量X的分布列为：

　X 13 14 16 17 18 20 P

　 送餐量Y的分布列为：

　Y 11 13 14 15 16 18 P

　 则E（X）＝16，E（Y）＝14

　20.（12分）已知椭圆的右焦点F到左顶点的距离为3. （3） 求椭圆C的方程； （4） 设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不在x轴上），若,延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值. 解：

　如图，SAGBE＝3S△AOB＝3××｜OF｜×｜y1－y2｜＝ 　　　　　＝ 令， 则SAGBE＝＝，在［1，＋∞）上单调递减， 所以，当t＝1时，SAGBE有最大值为

　21.（12分）已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个极值点，证明：

　解：（1）定义域为（0，＋∞）， ， 令，令，得， ①若△≤0，则，此时，恒成立； ②

　 （二）．选考题：共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

　22.（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （1）求曲线C和直线的直角坐标系方程； （2）已知直线与曲线C相交于A,B两点，求的值 解：

　24. 【选修4—5：不等式选讲】（10分） 已知 （1）当时，求不等式 的解集； （2）若时，，求的取值范围. 解：