08-12年高等数学下考点分类 一、 偏导数的几何应用 1. [12]求曲面在点处的切平面和法线方程 解: 令，则 从而切点的法向量为 从而切平面为 法线方程为 2. [08]设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数 解：方程组两端对求导，得 把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为 所求方向导数为 3. [08]给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点。

证：令，则 从而曲面在点处的切平面为 ，其中为动点。

显然时成立，故切平面均过。

二、 多元函数的极限、连续、可微 1. [12]证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数。

证明：因为 与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。

又 ， 或 ，或 于是函数在点存在有一阶偏导数。

2. [11]设函数。试证在点处是可微的 解 用定义求出 3. [10]证明：在点(0,0)处连续，与存在，但在(0,0)处不可微。

解：（1） 4. [09] 5. [08] 函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的 必要 条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的 充分 条件（填必要、充分或充要） 三、 复合函数求导 1. [12]设，则 0 2. [12]设,则 3. [12]设, 求 解 令，则 ，于是用公式得 4. [11]设, 则 5. [11]设可微，且，则 6. [11]设，其中可微，证明 证明 由于 7. ，将变换为下的表达式。

解：
8. [09] 9. [09] 设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。

解：
10. [09] 求由方程组所确定的及的导数及。

解：
11. [08] 设有连续偏导数，则 12. [08] 设，求 解：两边取微分，得 从而， 四、 多元函数的极值 1. [12]在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。

解 设点为，则 等价于求在约束之下的最小值。令 且由 解得驻点，最短距离为 2. [11]若函数在点处取得极值，则常数 3. [11]设长方形的长、宽、高分别为，且满足，求体积最小的长方体。

解 令，2 由，求出唯一驻点6 由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为37 4. 5. [09] 求函数在圆域的最大值和最小值。

解：方法一：当时，找驻点 ，得唯一驻点 当时，是条件极值，考虑函数 ，解方程组 可得 所求最大值为，最小值为。

方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。

方法三：圆域可写成 最大值为4，最小值为。

[08] 设，则它有极小值 五、 梯度、方向导数 1. [12]函数在点处沿指向点方向的方向导数 2. 3. [09] 求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？ 4. 六、 二重积分 1. [12] 设是所围成的区域, 则 2. [12]计算二重积分，其中 3. [12]设函数在内有连续的导数，且满足。求 解 用极坐标 两边求导得，标准化为 于是 由得，故 4. [11]计算二重积分，其中D是顶点为的三角形闭区域。

解: 5. [09] 交换二次积分的积分次序：
。

6. [09] 求锥面被柱面割下部分曲面面积。

解：
7. [09]（化工类做） 计算二重积分，其中为圆域。

8. [08] 交换二次积分的积分次序 9. [08] 求球面含在圆柱面内部的那部分面积 解：上半球面的部分为 七、 三重积分 1. [12]设为两球的公共部分，计算三重积分 解 由 当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域， 当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域， 于是分段先二后一积分，得 2. [10]计算三重积分，其中是由所围成的闭球体． 解：
4’ 4’ 3. [09] 计算。

解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则 原式 4. [08] 计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域. 解：由对称性 从而 八、 曲线积分 1. [12]设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分 2. 计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。

解 由于 补两条直线是逆向的闭曲线，故 原式 或由曲线积分与路径无关，直接得 原式得 或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式 或者由是全微分表达式，凑微分，因 及 得 原式 3. [11]假设L为圆的右半部分，则 4. [11]计算, 其中是椭圆的正向一周 解: 由格林公式 5. [11]计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点，为终点的光滑曲线 解 2 所求解问题与路径无关，选折线 7 6. 7. 8. [10]计算 9. .[10]计算 10. [09] 11. [09] 计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。

解：在的内部作圆并取逆时针方向， 的参数方程为 由格林公式有 12. [08] 计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。

解：由于， 从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关 取路径， 九、 曲面积分 1. [12] 计算曲面积分 ，式中是上半球面的上侧 解 补一个平面，取下侧，则原式 另法（看看: 归一化，多次换元够烦的） 即，上半球面指向上侧法线为，从而 , 原式= 2. [12] 求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。

解 记为在部分的面积， 或者 3. 计算, 其中是平面被圆柱面截出的有限部分 解 由题意或 从而 4. 计算曲面积分,其中为柱面介于与之间的在第一卦限部分的前侧. 解 补平面区域取上侧， 取下侧， 取左侧， 取后侧。与原来曲面形成封闭曲面的外侧, 围成由高斯公式 故 原式 5. [10] 计算 6. [10] 计算曲面积分其中为上半球面的上侧。

7. [09] 向量场的散度为。

8. [09] 计算曲面积分，其中是半球面的上则。

解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得原式 9. [08] 向量场的散度为. 向量场的旋度为. 10. [08] 设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分 0 ， 11. [08]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧 解：取上侧，则原式 十、 微分方程 1. [12]求定解问题的解 解 标准化 ，由标准方程的解的公式，得 由初值条件，有，于是特解为 2. [12]求微分方程的通解 解 对应的齐次方程为，解得特征根 非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而， ，代入原来的微分方程，得 即 于是根据解的结构定理得，所求通解为 3. [11]求微分方程的通解 解 方程即 4. [11]求微分方程的通解 解 对应的齐次方程的特征方程为 对照非齐次项的标准形式不是特征根，故 特解的待定形式为，代入非齐次方程，得 从而原方程的通解为 5. 求解微分方程初值问题 解 是一个特解2 故通解为4 由，又 从而特解为6 6. [10]设都是方程的解，则该方程的通解为 7. [10]求微分方程的通解。

8. [10]求微分方程的通解。

9. [10]求微分方程 10. [10] 求微分方程的通解。

11. [09] 求如下初值问题的解 解：此为可降阶微分方程第三种类型。

设，则，原方程化为 变量分离两边积分得 由可得 解可得， 由可得 所求解为：。

12. [09] 求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以 的通解为 因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得 原方程通解为 13. [08] 求微分方程的通解 解：， ， 14. [08] 计算满足下述方程的可导函数， 解：原方程两端求导得 即，这是标准的一阶线性微分方程 原方程令得，代入通解得，从而 15. [08]求解初值问题 解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为， 特征根为，从而对应通解为 容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为 从而，由初值条件可得。

因此 十一、 级数 1. [12]判别无穷级数的收敛性。

解 由于，故 而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。

2. [12]求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

解 比较标准幂级数，得 ， 从而收敛半径为，收敛区间为 当时幂级数化为正项级数， 由于，从而与调和级数一样发散；
当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。

3. [12]将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。

解 利用， 从而 4. [11]求幂级数的收敛域. 解 2 当时，由于，级数发散，3 当时，由于，由交错级数的莱布尼茨判别法知该级数收敛，5 故幂级数收敛域为6 5. [11]将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间. 解 由于， 3 从而7 6. [11]设函数是以为周期的函数，，将其展开成余弦级数，并确定其成立的范围。. 解: ，1 5 所以 7 7. [10]求幂级数的收敛域。

8. [10]将函数展开成迈克劳林级数，并确定其成立区 9. [10] 设函数是以为周期的周期函数，它在尚的表达式为，将其展开成傅里叶级数，并确定其成立范围。

10. [09] 证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；
如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。

11. [09] 将函数展成余弦级数。

12. [09] 求幂级数的收敛半径和收敛域。

13. [08] 设且，试根据的值判定级数的敛散性。

14. [08] 设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将展开成傅里叶级数。

15. [08] 设，证明满足微分方程，并求。