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椭圆知识点总结
2020-11-01 11:40:47 ℃【椭圆】
一、椭圆的定义
1、椭圆的第一定义:平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形。
二、椭圆的方程
1、椭圆的标准方程(端点为a、b,焦点为c)
(1)当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;
(2)当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;
2、两种标准方程可用一般形式表示:
或者
mx2+ny2=1
三、椭圆的性质(以为例)
1、对称性:
对于椭圆标准方程:是以轴、轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围:
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。
3、顶点:
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为,,,。
③线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率:
① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作。
② 因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近,从而越小,因此椭圆越扁;反之,越接近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当时,,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。
③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。
注意:椭圆的图像中线段的几何特征(如下图):
5、椭圆的第二定义:
平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比为常数e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆()。
即:到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形,也即上图中有
。
①焦点在x轴上:(a>b>0)准线方程:
②焦点在y轴上:(a>b>0)准线方程:
6、椭圆的内外部
(1)点在椭圆的内部
(2)点在椭圆的外部
四、椭圆的两个标准方程的区别和联系
标准方程
图形
性质
焦点
,
,
焦距
范围
,
,
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
,
,
轴长
长轴长=,短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
,
,
五、其他结论
1、若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是
2、若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是
3、椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为
4、椭圆(a>b>0)的焦半径公式:,( , )
5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF。
6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF。
7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。
8、若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是
9、若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
10、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角
11、PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点
12、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离
13、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切
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