课 题 1.1、你能证明它们吗(一) 课型 新授课 教学目标 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

教学重点 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

教学方法 观察法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、复习：
1、什么是等腰三角形？ 2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？ 二、新课讲解：
在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理 w 本套教材选用如下命题作为公理 : w 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; w 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; w 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） w 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） w 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） w 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：
推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） 证明过程：
已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC≌△DEF 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知） ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°） ∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) ∠C=∠F（等量代换） BC=EF（已知） △ABC≌△DEF（ASA） 这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。

三、议一议：
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ （2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？ 等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。

定理：等腰三角形的两个底角相等。

这一定理可以简单叙述为：等边对等角。

已知：如图，在ABC中，AB＝AC。

求证：∠B＝∠C 证明：取BC的中点D，连接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， ∴△ABC△≌△ACD (SSS) ∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等) 四、想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。

推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

五、随堂练习：
做教科书第4页第1，2题。

六、课堂小结：
通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。

七、课外作业：
教科书第5页第1，2题。

板书设计：
§1.1、你能证明它们吗(一) 公理：SAS ASA SSS 推论：AAS 三线合一 对应相等的两个三角形全等。

（AAS） 这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。

学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片回忆有关性质 让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明 让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法 学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。

课 题 1.1、你能证明它们吗(二) 课型 新授课 教学目标 1、掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

教学重点 等腰三角形的关性质定理和判定定理。

教学难点 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

教学方法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 一、等腰三角形性质的探究 1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。

2．播放课件，结合刚才的问题讲解例1的命题，并为后面将此性质拓展埋下伏笔。

E D C B A 3．分别演示：
中,∠ABD= ∠ABC, ∠ACE=∠ACB,k=,时,BD是否与CE相等。引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。

4. 引导学生探究，对于上述例题，当AD=AC,AE=AB,k=,时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究—猜测—证明的学习过程。

5．引导学生进一步推广，把上面3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立?要求学生说明理由或给出证明。

6．对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明。

7．提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立。适时地引导学生思考可以用哪些方法证明?培养学生的推理能力。

8．归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力。

9．启发学生思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立?如果成立，能否证明。这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力。

10．总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解。

11．小结这两个课时的内容。

作业：
1、基础作业：P9页习题1.2 1、2、3。

2、拓展作业：《目标检测》 3、预习作业：P10-12页 做一做 板书设计：
§1.1、你能证明它们吗(二) 探索——发现——猜想——证明 1．积极思考，回忆以前所学知识，联想新问题。

2．认真观看例1图形中线段的关系，积极思考，认真听讲。

3．对于课件的演示很感兴趣，凭直观感觉可以猜测，不管k为何值，BD=CE总成立。基于前面例题的启发，想要给出证明。一部分学生可以自己给出证明，一部分学生需要老师的帮助。

4．在已经探究了角的大小的改变对于BD，CE的等长性没有影响，有了一些成就感之后，又面临新的任务：BD＝CE吗?因此学生会满怀热情地进行这部分探究活动，而且有了前面的体验，探究也会比较顺利。

5．兴致高涨，凭直觉猜测结论仍然成立。但有些学生给出全部证明可能会有困难。

6．认真听讲，在掌握结论的同时受到老师的鼓励，有很高的热情进行后续学习。

7．较少接触这样的命题，因此会感到新鲜，有用已知公理和定理对命题的真假性进行判断的欲望。在老师指导下完成证明。

8，积极动脑思考，认真听讲，获得对演绎证明的初步体会。

9．可以从直观上得出结论，但是此处要求证明，体会到证明的必要性。遇到认知上的冲突，激起学习欲望。

10．怀有强烈的求知欲听讲，对反证法有了感性认识和一定的理解。

11．体会老师的讲解，并根据小结记忆掌握知识。

（学生小结：掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。等腰三角形的判定定理。了解反证法的推理方法。） 课 题 1.1、你能证明它们吗(三) 课型 新授课 教学目标 1、掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理。

教学重点 等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。

教学难点 能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。

教学方法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 一、定理：一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 1．引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。

2．肯定学生的回答，并让学生进一步思考：有一个角是60°的等腰三家形是等边三角形吗?组织学生交流自己的想法。渗透分类讨论的思维方法。

3．关注学生得出证明思路的过程，讲 评。讲解定理：有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形。

二、一种特殊直角三角形的性质 1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：能拼成一个怎样的三角形?能否拼出一个等边三角形?并说明理由。

2．肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边有怎样的大小关系? 3．演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：通过实际操作探索出的结论还需要给予理论证明。

4．让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。

5．讲解P15例题，应用定理。

6．布置学生做练习。

练习：课本12页 随堂练习 1 四、课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？ 五、作业：
1、基础作业：P13页 习题1.3 1、2、3题 2、拓展作业：《目标检测》 3、预习作业：P15-17页 读一读 “勾股定理的证明” 板书设计：
§1.1、你能证明它们吗(三) 有一个角等于60°的等腰三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 是等边三角形。

那么它所对的直角边等于斜边的一半。

1．积极地自主探索、思考等腰三角形成为等边三角形的条件。可能会从边和角两个角度给出答案。

2．积极思考，通过老师的点拨，分类讨论当这个角分别是底角和顶角的情况。

3．认真听讲，体会分类讨论的数学思维方法，理解定理。

1．积极动手操作，并很快得到结果：可以拼出等边三角形。

2．在拼摆的基础上继续探索，得出结论。并在探索的过程中得到证明的思路。

3．认真听讲，体会从探索和尝试中得到结论的过程和证明方法的步骤，掌握定理。

4．很有兴趣地折叠纸片，体会定理的应用。

5．听讲，体会定理的应用。

6．认真做练习。

（学生小结：掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理） 课 题 1.2、直角三角形（一） 课型 新授课 教学目标 1、要求学生掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

2、了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义，能结合自己的生活及学习体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子。

3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。

教学重点 直角三角形的性质和判定定理 教学难点 勾股定理逆定理的证明方法。

教学方法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 一、勾股定理 1．让学生到黑板上画出他们观察到的生活中的直角三角形，并分别说出它们的作用在哪里。

2．高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力。可以把其中很有创意的发现以该学生名字命名，以此保护学生的积极性。

3．总结学生的“成果”，启发学生思考既然学生所找的三角形同属直角类，那么它们还有没有其他的共性? 4．启发学生回忆以前用数方格和割补图形的方法得到的关于直角三角形三边关系的结论。让学生画出一个直角三角形并测量三边长，验证结论的正确性。

5.讲解勾股定理，讲述有关的数学史，让学生对勾股定理的发现有所了解。

二、勾股定理的逆定理 1．利用学生画在黑板上的直角三角形提出问题：你如何证明你找的就是直角三角形呢? 2．引导学生思考勾股定理的反面：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是不是直角三角形? 3．让学生画三角形并测量三边长长度。4．借此机会向学生说明命题的正确性一定要通过严格的逻辑证明来说明，不能凭直观猜测，在做题的过程中要注意监控自己的思路，做到步步有据，说理充分，培养学生的理性精神。

5．对这个比较有挑战性的问题，首先让“呼之欲出”的学生说说他们的思路；
并让学生试着给出比较详细的说明。

6．表扬学生的积极发言，保护学生的积极性，并对他们的回答予以剖析，引导学生继续思考。

7．点评学生的证明，并作为和学生平等的一分子给出证明，不把自己的证明作为难一的权威和正确的答案，让学生可以继续寻找其他的证法。

8．比较勾股定理和勾股定理逆定理的表述方式有什么不同，让学生分析它们各自的条件和结论分别是什么，蕴含的因果关系分别是什么。

三、互逆命题、互逆定理 1．把准备好的卡片随机地发给学生，学生按卡片的种类被分成A、B两组，要求拿A类卡片的学生a说出自己卡片上的内容，然后寻找拿B类卡片的与自己的命题相反的同学b。b要自己主动站起来，并说出自己卡片上的命题是什么，由学生a来判断他(她)和自己是否在一组。(注意：A、B类卡片上的内容要出现适量的不能构成互逆命题、互逆定理的例子，但不能太多。这样既有利于学生分析、辨别互逆命题、互逆定理，又有利于他们从正例中归纳、总结出互逆命题、互逆定理的内涵)。

2．对学生的表现予以表扬、肯定和鼓励。然后提问拿B卡片的找到组的学生：你是如何判断和谁在一组的? 3．提取学生回答中的合理性成分，总结归纳，然后提问拿A类卡片的学生：你是如何判断b是否和你在同一组? 4．肯定学生的认识，提问拿B类卡片的但没找到组的学生：为什么他们的命题和A类同学的命题不能互相构成反面? 5．肯定所有学生的发言和参与，然后让学生试着自己归纳总结概括出什么是互逆命题、互逆定理。

6．肯定学生的回答，并在此基础上进一步升华，给出严谨的表述。

7．结合刚刚讲过的勾股定理及其逆定理，应用互逆命题、互逆定理的含义进行分析，加深学生对这一方面的认识。

8．结合游戏中的命题向学生说明：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。让学生体会命题变换的辩证关系。

9．让学生回忆自己曾学到的互逆命题和互逆定理，说出教师难备的一些命题的逆命题并判断真假。

10．布置作业及下节课学生要准备的东西。

作业 1、基础作业：P20页习题1.4 1、2、3。

2、拓展作业：《目标检测》 3、预习作业：P21-22页 做一做 板书设计：
1．2 直角三角形 勾股定理：
互逆定理 1．踊跃地到黑板上画出自己收集到的直角三角形，并说出它们的用处。

2．受到老师的表扬和鼓励，很有成就感，增加了学习数学、探索数学、研究数学的兴趣。

3．听取老师的分析，找出自己“成果”的优缺点；
积极思考直角三角形的共性，有些学生会有困难，不知从哪里人手。

4．动手用直尺和圆规画一个直角三角形，并测量三边的长度，结合以前的知识，验证勾股定理。

5.学会勾股定理并对有关的数学史有所了解，对数学的兴趣增加。

1．试图找出理由说服别人自己找的就是直角三角形，但有些困难。

2．在老师的启发下，“觉得”命题是正确的，但不能给出严谨的证明。

3．画三角形并测量三边长。

4．进一步体会证明的必要性，知道要有意识地检查自己的思路，要做到说理充分，言必有据。知道这样做对逻辑思维的养成有一定的促进作用。

5．因为所面对的问题比较有挑战性，因此学生很有参与的积极性，试图解决，说出自己的想法。

6．受到鼓励的学生更加有参与教学朗积极性，没有想出来的学生在其他同学的启发和老师的引导下继续思考。7．用到第一节学习过的三角形判定定理，听取老师的讲解，学会勾股定理逆定理的证明，知道逆定理的内涵，并为继续探索其他的证法作好了准备。

8．跟随老师的思路，思考、分析两个互逆定理的条件、结论分别是什么，它们之间的关系是什么。

1．非常愿意做这个游戏，参与热情很高。在老师的指导下，知道游戏的规则，都在积极得思考自己手里命题的“反面”是什么，想要找到与自己在同一组的同学。游戏开始后，按规则去找自己的同伴，有的顺利，有的不顺利，因为教师的特别用意，很可能会出现两位学生与同一位学生组对的情况，这时候不光是。同学，其他同学也会积极地判断到底谁是谁非。

2．回答老师的问题，也许不会说的很清楚，但有感性的认识，如：会觉得那个命题的反面就是自己手里命题的意思。

3．在老师的总结之后，会说得比较理性一些，但还是不能给出严谨的说明。4．刚开式会觉得自己的命题和。同学的构成一组，但和真正的“反面”命题一比，又觉得自己的命题不太像，原因可能不清楚。

5．总结概括互逆命题、互逆定理的含义，除个别之外，对含义的理解基本正确。

6．认真听讲，加深理解。

7．在老师的讲解下知道如何应用互逆命题、互逆定理的定义判断两个命题是否构成互逆命题、互逆定理。

8．知道命题的条件和结论互换之后命题不一定成立，对命题表述的严谨性和正确性有了更深的认识。

9．比较顺利地说出答案并可以判断命题的真假。

10．记下作业和任务，愉快地下课。

课 题 1.2、直角三角形（二） 课型 新授课 教学目标 1、掌握直角三角形全等的判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

2、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。

教学重点 直角三角形HL全等判定定理。

教学难点 直角三角形HL全等判定定理。

教学方法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 一、直角三角形HL全等判定定理 1．向学生展示自己难备的两个全等的直角三角形，让学生根据直观感觉回答两个三角形是什么关系? 2．进一步说明要判断两个三角形全等，必须给出证明，继续培养学生理性思考问题的习惯。让学生回忆在第一节中都学习了哪些全等判定定理。

3．因为所给出的两个直角三角形没有附加什么条件，让学生思考：如果要利用那四个全等判定定理，分别需要给这两个三角形附加什么条件?培养学生养成在满足条件下才能应用定理的习惯。

4．肯定学生的回答，。启发学生进一步思考，对于直角三角形这样的一类特殊三角形，四个定理是否可以简化一些?还有没有其他的判定方法? 5．充分肯定学生的思考，在这时适时地提出曾经被抛弃的一条假名题：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等在现在成立吗? 6．让学生自己写出条件并给出证明。让先写完的学生到黑板上板演。

7．讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达。分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等，可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。

8．让学生动手按照课本上的步骤作图，在此时训练学生熟练使用作图工具能力。让学生首先观察所作出的射线是否是己知角的平分线，是的话，思考如何证明。

9．让学生把自己的证明过程到黑板上讲给同学听，注意纠正他的不规范表达和不严谨的地方，给全体学生做示范，加强推理能力的训练。

10．让学生分组讨论开放题，尽可能从多个角度、多个侧面展开讨论。通过和同学交流想法，各小组获得各种不同的答案。在这个思考和交流的过程中，要给予学生必要的提示和指导，为学生提供自主探索的时间和空间，培养学生的创造性思维和发散思维。

11．充分肯定学生的发现，让学生有一种成就感。选取其中比较一般和比较新颖的有代表的证明方法进行讲评。其他课下写出证明。

小结：
1、本节课学习了哪些知识？ 2、还有那一些方面的收获？ 作业：
1、基础作业：P23页习题1.5 1、2。

2、拓展作业：《目标检测》 3、预习作业：
预习：线段的垂直平分线。

板书设计：
§1.2直角三角形（2） 斜边直角边定理：
如图：已知∠ACB=∠BDA=90 要使 ⊿ACB≌⊿BDA，还需要什么条件？把他们写出来，并说明理由。

A B C D 1．回答：全等三角形。

2．加深对证明必要性的认识，体会数学的严谨性。回忆SSS，SAS，ASA，AAS等全等三角形的判定定理。

3．在老师的引导下，思考对应每个判定定理所需要的条件。回答老师的问题。

4．思考刚才给出的条件是否可以减少，回答：对于SSS，根据勾股定理，只要有两条直角边或一条直角边和一条斜边对应相等就可以了……类似地考虑其他情况。

5．思考，结合直角三角形的特点，想到：如果这个角是直角，那么命题就是真命题。

6．比较顺利地利用勾股定理和SSS证明出来。

7．对比老师的讲解修正自己的书写和表达。听老师讲解直角三角形全等判定定理，知道HL是SSS的一种特殊情况。

8．对于命题条件的特殊情况，知道相应的命题判定也会有特殊的判定方法。学会HL定理。

9．按照要求比较熟练地作图，思考如何证明所作的射线就是已知角的平分线。根据条件写出已知求证，并给出证明。

10．认真听讲，改进自己的思路和证明，体会HL定理的实际应用。根据条件写出己知、求证并进行证明的能力得到提高。

11．展开积极的思考和激烈的讨论，得到各种不同的答案。通过开放题的研究，意识到自己在学习中的自主性。

课 题 1.3、线段的垂直平分线(一) 课型 新授课 教学目标 1．要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。

2．能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。

3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。

教学重点 线段垂直平分线性质定理及其逆定理。

教学难点 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。

教学方法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 一、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 1．让学生把准备好的方方正正的纸拿出来，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的关系。

2．让学生说出他们观察猜测的结果是什么，肯定他们的发现，引导学生思考：这样一个结论是比较直观和明显的，我们可以说出两组边分别是相等的，但是，我们可以用观察说服别人吗? 3．给学生留出时间和空间思考如何把猜想变成事实。学生可以讨论交流不同的方法。提示学生在证明之前，要把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证。

4．选取证明完成地较好和较差的两位同学到黑板上板演自己的证明，其他同学在练习本上完成。

5．针对两位同学的板书讲解证法，规范学生的证明过程，培养学生的逻辑思维能力。

6．提升学生的几何认识：由证明过程可以看出，两组对应线段分别相等，那么这个事实的几何意义是什么呢? 7．让学生总结出线段垂直平分线的性质定理，进而告诉学生：命题中说线段垂直平分线上的任一点到线段两个端点的距离都相等，但是在证明过程中，我们只是随机地选了几种情况来证明，这并不影响命题的正确性，因为我们所选的点是任意的。借此向学生渗透等价类的性质与选取的代表无关的思想。

二、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 1．引导学生回忆第二节课学过的关于互逆命题和互逆定理的知识，让学生说出自己收集的数学上的互逆命题和互逆定理。

2．把学生的答案分成两类：一类是“如果…那么…”形式的，一类是非“如果…那么…”形式的。对于简单的情形，不予以过多阐释，对于非“如果…那么…”形式的命题，要求给出这组互逆命题的学生跟同学们讲清楚他是怎么想的。

3．总结和完善学生的发言，运用转化归结的思想，让学生先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果…那么…”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理。

4．为体现转化归结的应用，帮助学生把原命题改写成“如果…那么…”的形式，然后由学生写出它的“如果…那么…”形式的逆命题，引导学生把如果…那么…”的逆命题进二步简化(指表述形式)。

5．让学生类比原命题画出图形、写出已知和求证并证明逆定理，解释几何意义。

6．布置学生收集生活中应用线段的垂直平分线的例子，让学生体会这个定理的应用，在体会中加深理解。

三、用尺规作线段的垂直平分线 1．用投影仪展示历史上用直尺和圆规作出的美妙的图形，把学生引入到一个数学的美的世界，陶冶学生的情操，引发学生的求知欲。

2．给学生讲解与作图有关的数学史知识，如几何三大难题等，讲述作图在实际中的应用，让学生对此有一定了解，激发学生用多种手段和方法解决问题的意识。

3．趁热打铁，让学生明确要能自己用直尺和圆规画出优美的图形，或者在实际中应用画图解决问题，必须从最基本的开始，先学习如何用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线，让学生在充满好奇心的状态下进入作图的内容。

4．一边讲解如何作图、一边示范，让学生同时在练习本上完成同样的工作。

5．说明：类似于证明题要写出已知求证和证明，作图题要根据条件写出已知，求作和作法，让学生自己试着写出来。

6．在黑板上写出规范的已知求作和作法，给学生一个示范，以便使学生的语言简练、表达清楚。让学生同桌俩人互相检查批改，在此过程中提高对已知求作和作法的认识，加深理解。

7．组织学生讨论：为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线?与同学交流。

作业：
P27，1、2、3、 板书设计：
1． 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 2． 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3． 用尺规作线段的垂直平分线 1．在老师指导下按要求动手折纸，观察、猜测两条折痕即所折出来的两个三角形两组边的关系。

2．知道自己的猜想是正确的，有了进一步怎样思考使之更加完善的动力。在老师的问题中，知道在数学中，光靠观察是不够的，还需要理性的证明，加强了学生理性思考问题的意识。

3．按照要求写出已知求证，明确题意，积极思考命题的证法，与同学讨论交流思路，在交流中既学到别的同学的证法，又对自己的证法进一步完善和改进。

4．两位同学道黑板上板演，其他同学继续没有完成的证明。

5．针对老师的讲解，改进自己证明不严谨和表述不规范的地方，进一步培养自己监控自己思维的意识。

6．从证明中跳出来思考命题的几何意义，结合长度和距离的关系，知道三角形两条边对应相等意味着线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

7．思考线段垂直平分线阶性质定理，听老师的分析，一方面对性质的几何意义有了深刻的理解，另一方面，也对在图形上任取一点作代表进行证明的思想方法有所体会。

1．回忆起在学习互逆命题和互逆定理时做的游戏，比较容易浮现出了关于互逆命题和互逆定理的知识。联想自己收集到的互逆命题和互逆定理，回答老师问题。

2．对于自己或同学说出的互逆命题都能理解，部分学生不太会找非“如果…那么…”形式命题的逆命题，认真听发言的同学的分析；
而发言的同学处在“教”的位置，比较有成就感，会更加要求自己学好数学。

3．体会把较难或没有解决的问题转化归结为简单的或已经解决的问题的数学思维方法。

4．认真听讲，积极思考，体会转化归结的数学思想方法，知道用此方法可以找非“如果…那么…”形式命题的逆命题，并对操作步骤有所了解。同时，也对线段垂直平分线定理的逆定理认识更清楚了。

5．因为有原命题的铺垫，比较顺利地完成老师的要求。

6．记下老师布置的任务，知道自己所学地数学知识是有用的，有一个积极的学习态度。

1．非常有兴趣地观看那些历史名图，感受到数学的美，激发起学生想要好好学习数学进而领悟数学美、创造数学美的欲望。

2．饶有趣味地听讲，对数学史很感兴趣，知道了几何学上的三大难题，更重要的是，知道自己所要学习的东西是有用的，从开始就有一个正确的学习观。

3．由于被激起了学习的热情和欲望，以积极的态度参与到教学中，很想知道如何作已知线段的垂直平分线。有的学生甚至开始了探索。

4．按照老师的要求用直尺和圆规作出已知线段的垂直平分线。

5．比较顺利地写出已知求作和作法，个别的用词可能不恰当，但大体意思正确。

6．认真听讲，体会老师的意思，与同桌交换练习，互相批改，在当“小老师”的过程中对如何写已知求作和作法有了较好的认识。

7．思考老师的问题，困难不大，多数学生可以给出充足的理由。

课 题 1.3、线段的垂直平分线(二) 课型 新授课 教学目标 1．能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；
已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。知道为什么这样做图，提高熟练地使用直尺和圆规作图的技能。

2．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。

教学重点 作已知线段的垂直平分线。

教学难点 理解三线共点的证明方法。

教学方法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 一、线段垂直平分线的性质定理 1．让学生拿出课前准备好的纸片三角形，先折一条边作示范，然后让学生用折叠的方法找出每条边的垂直平分线。

2．让学生观察：刚刚折出来的三条垂直平分线有什么关系?让学生自己经历探究的过程，不要直接给出答案或很有指向性的提示。

3．让学生暂且把折纸放在一边，拿出圆规和直尺，画：—个任意的三角形，并利用所学知识作出三角形三条边的垂直平分线。要注意提醒个别学生作图的方法和步骤，强调作图的要求，培养学生的作图技能。

4．让学生观察他们自己作出来的三条垂直平分线有什么性质，然后对照纸折的三条垂直平分线，看这个性质是不是它们共有的?换句话说，不管是什么样的三角形，它们的垂直平分线有没有什么共性?有的话，这个共性是什么?让学生提出猜想。

5．让已经得出猜想的学生说出他们的猜想，并说明他们是怎么得到这个猜想的。在这时要注意表扬回答问题的学生，肯定他的发现，向学生强调：准确的图形由于直观地揭示了数学对象阶性质，因此有利于发现数学结论，而不准确的图形不利于发现数学结论，以此要求学生认真画图，养成好的习惯。

6．肯定学生的发现；
板书规范的表达；
提问：对于这个猜想，你能用学过的知识采证明它吗?进一步渗透理性思考的意识，强调：只有经过证明的猜想才能确定其是否正确。

7．启发学生思考：大家都知道两条直线交于一点，要证明三条直线相交于一点，是不是只要证明第三条直线也通过这两条直线的交点即可?也就是说，只要能证明其中两条直线的交点在另一条直线上即可。对这个证明 8．巡视之后，让基本可以证明的学生口述其证明思路，其他同学看他的证明是否正确、严谨。

9．点评学生的回答，肯定其正确性，修正不规范的地方。让两位学生到黑板上画出图形，写出已知，求证并证明，其他学生在练习本上证明。让学生把思考落实到笔上。

10．参照黑板上两位学生的证明，带学生把证明的思路再整理一遍，同时阐释三线共点的证明方法。，加深学生的认识，为以后的学习和使用打下基础。

二、两个作图的问题 1．让学生分组讨论：已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?让学生在讨论的过程中，思考并发表自己的见解，让学生体验合作学习，培养学生用数学地思考和表达的能力。分组时考虑到学生的搭配。

2．让每组派一位代表说出小组的讨论结果，如果已经作出了图的话，用投影仪展示给全班同学看，让学生评判哪组的结果不但正确，而且漂亮。以此调动学生地积极性，体现学生的主体地位，向学生渗透追求数学结果正确、简洁、和谐的美的意识。

3．赞赏地肯定所有同学的表现，表扬大家公认的作的好的组，让大家向他们学习，同时抓住其他小组的优点予以鼓励，保护他们对数学学习的热情。

4．综合学生的讨论结果，给出问题的解答。同时，引导学生思考、讨论另外几个问题：已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用直尺和圆规作出等腰三角形吗?能作几个?它们之 间有什么关系? 5．让学生动手画出符合要求的三角形，训练他们的作图技能，要注意提醒学生正确使用直尺和圆规，规范作图。

6．要求学生自己写出作法，同时能说明理由。

三、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形 1、用投影仪出示题目：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。进一步训练学生的作图技能。应注意要求学生根据题意写出已知和求作、规范作图并能说明理由。2．简单讲评，总结本节内容，布置作业。

板书设计：
1． 线段垂直平分线的性质定理 2． 两个作图的问题 3．已知底边及底边上的高，求作等腰三角形 1．在老师示范之后，大多数学生都顺利地折出三角形三条边的垂直平分线。

2．仔细观察三角形的三条垂直平分线，思考它们之间的关系。在探索过程中，可能从边的角度、也可能从角的角度猜想三条直线的关系，有的也注意到了三线共点的特点。

3．拿出圆规和直尺，作一个任意的三角形，比较熟练地作出三角形三条边的垂直平分线。在作图的同时熟悉作已知线段垂直平分线的作法，作图技能得到锻炼，加深对作已知线段垂直平分线的作法的理解。

4．认真观察自己所作的三条垂直平分线，图作的准确的学生比较容易观察到三条线交于一点，再结合折的三条垂直平分线，又有类似的性质，因此提出猜想：三线交于一点。但图画得不太难确的学生，难以观察到这个结果。

5．听发言的同学的猜想和如何发现结论的过程，受到很大的启发。同时，也感受到一个准确的图形对于揭示数学对象的性质、发现数学结论有很大的帮助，在老师的要求下，对作图的必要性有了更深刻的认识。’ 6．听讲，记下三角形三条边的垂直平分线的性质定理，思考如何对三线共点的猜想进行证明。但因为是初次接触这样抽象的证明，不知从哪里开始证明。

7．受到老师的启发，一边画草图一边思考这样证明是否正确。在验证思路准确无误之后，思考怎么证明。联想到上节课线段垂直平分线性质定理及其逆定理的同学，可以找到思路方法要逐步引导，不可操之过急。

8．听同学口述证明的思路，并判断其是否正确，不能证明的学生受到启发，也许也可以给出证明。

9．两位同学到黑板上证明，其他同学在练习本上写出已知求证和证明。因为已经经过了分析，绝大多数同学可以顺利地写出来。

10．在老师讲解的同时规范自己的证明，对三线共点的证明方法有了比较好的理解和认识。

1．题目为进行作图的探索提供了空间，对于这个有挑战性的题目，学生很积极地思考、动手试验、展开讨论。讨论过程中，可能会有不同的意见，在商讨中加深对问题的理解。

2．非常积极地参与到评判讨论成果的活动中，对作为裁判者感到自豪，在观看其他组的成果时，既可以看到自己的不足，又加深了对问题的认识。由于老师对结论表达形式的要求，对于数学美有了一点感性的认识和体验，有了一点追求数学美的意识。

3．受到表扬和鼓励后，有更大的积极性投入到数学学习中。

4．因为这是刚才所讨论的问题的一个特例，所以可以比较容易得到解答：可以作出两个等腰三角形，它们分别位于底边的两侧，是全等的等腰三角形。

5．动手画出这两个三角形，比较熟练地使用直尺和圆规。

6．写出作法，说出理由。

1．经过刚才的探究和作图，很快地完成任务。经过训练，对于作图有了很好的掌握。

2．听讲，总结本节内容，记下作业。

课 题 1.4、角平分线(一) 课型 新授课 教学目标 1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。

2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。

3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。

教学重点 角平分线性质定理及其逆定理。

教学难点 掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。

教学方法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 一、角平分线性质定理 1．让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用。

2．高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力。尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励、保护学生的积极性。

3．综合学生的发现，对于其中应用角平分线性质的几个例子，让学生猜想：它们应用的性质有没有什么相同的地方? 4．让学生拿出纸折的角，把角对折至两条边完全重合，注意角的顶点处要折好；
然后把角的两条边对折几次，让学生观察折痕的特点。可以带学生完成上述操作，以便学生顺利地把注意力集中到观察折痕上。

5．让学生说出他们的猜想，并说明他们怎么想到的，暴露学生的思维过程，一是为了让学生理顺自己的思路，二是可以找到学生思维的进程。

6．肯定学生的发现，鼓励学生以后也要通过积极动脑思考，自己探索发现结论。引导学生再来看他们找的生活中的实例，是不是也有利用这个性质的? 7．让学生口述他们的结论，在口述的时候注意纠正学生不正确的数学语言，锻炼学生的数学语言表达能力，同时使学生加深对结论的理解。

8．提醒学生在猜测了数学结论之后，下一步该干什么了?在此时不直接提出猜测需要证明的要求，让学生自己意识到这样做的必要性，培养学生养成说理的好习惯。数学的兴趣，同时体会了数学和现实生活的联系。

9．让学生思考该如何证明。给学生留出思考的时间和空间，不要代替学生思考，要给他们机会。

10．让一位学生到黑板上画出图形(示意图)、写出已知和求证，然后证明。其他学生在练习本上完成。提醒学生写已知、证明要规范，证明要严谨，要做到说理有据。

11．以黑板上学生的板演为样本，讲解定理及其证明，对学生不规范的书写和表达予以纠正，同时理顺学生的证明。让学生对定理的理解深入一步，o同时，让学生把书上的定理读一遍以加深记忆。

二、角平分线判定定理 1．从学生收集的生活中角平分线应用的例子提出问题：大家都知道了这几个例子中应用了角平分线的性质，那你如何说服别人，你说的那条线就是角平分线呢?引导学生从判断的角度思考问题。

2．启发学生思考：要说服别人你说的那条线就是角平分线，是不是就是要证明它是角平分线?那现在的问题是不是就转化成了：你如何证明或者说判定它是角平分线?都需要什么条件? 3．引导学生回忆有关线段垂直平分线的知识：它的判定定理和性质定理有什么关系?在这里，角平分线的性质定理和要证明的命题是不是也有这个关系? 4．提问刚才的问题，让学生明确心中的猜测。

5．肯定学生的回答，说明类比的方法。让学生类比线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法，写出角平分线性质定理的逆定理，写完之后，让同桌俩人互相检查。

6．给出规范的表述并进一部阐释它的内涵和与角平分线性质定理的关系。因学生已经接触过线段垂直平分线判定定理的证明，所以不妨把这个证明的任务留给学生课后完成。知道对于角平分线，也有类似的结论。

三、用直尺和圆规作角的平分线 1．讲述与作图有关的数学史知识，尤其是与本节课内容接近的三等分任意角问题；
让学生对此有初步的了解，开阔学生的视野，让学生体会数学家坚韧不拔的科学探索精神。

2．告诉学生：知道了角平分线的性质定理和逆定理，还要学会怎么用直尺和圆规来画出它，这样有助于理解已经学习的知识，而且画图会帮助我们解决好多问题。

3．在黑板上演示图和作角平分线，一边作图，一边口述作法。

4．让学生根据老师的口述、演示和自己的实际操作，自己写出已知和求作，并写出作法。锻炼学生的数学表达能力。

5．选取学生有代表性的错误或不规范的地方予以修正，然后让学生仔细看书上写的作法，体会数学语言的精炼和严谨。

6．让学生思考：这样作角平分线的理由是什么?为什么作出的射线就是角的平分线?让学生对这个作法有一个很好的理解，而不只是机械的模仿。

7．综合学生的作法，总结作角平分线的方法，明确作图的数学语言即作法该如何写，向学生强调：要知其然，还要知其所以然。生可能写得不够规范。

作业：P34，1、2、3题 板书设计：
一、角平分线性质定理 二、角平分线判定定理 三、用直尺和圆规作角的平分线 1．积极踊跃地到黑板上画出自己收集到的例子，并说出它们分别的作用在哪里。

2．受到老师的表扬和鼓励，很有成就感，增加了学习数学、探索数学、研究数学的兴趣，同时体会数学和现实生活的联系。

3．对于自己的发现进行深入探索，很有兴趣。但是对于从实际问题中提炼观点，感到有难度。

4．拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕长度相等。

5．说出猜想：折痕和角的两边垂直，并且对应的折痕长度相等。说明白已是通过折纸的过程和观察得到上述猜测的。

6．在老师的表扬和鼓励中，树立起自信，知道思考的重要性。继续思考刚才的问题，发现实例中应用角平分线性质的几个例子都有类似的特点。

7．把自己的猜想表述出来：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。对照实例和折的角，加深对上述结论的理解。

8．回答：需要证明。因为老师已经提示过学生多次：猜测的命题需要证明才能判断其真假。在老师的提示下意识到这个必要性。

9、积极思考如何证明。大多数学生可以想到：先证明三角形全等，然后利用三角形全等的性质得到结论。

10．一位同学到黑板上画出图形(示意图)、写出已知和求证，然后证明，其他同学在练习本上完成。大多数学生可以顺利地证明出来。

11．在老师讲解的同时自己修正自己的练习，听讲，加深对角平分线性质定理的理解。朗读：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。在读的同时加强记忆和理解。

1．继续回到自己收集的成果上，思考老师的问题，对这个问题的正面有较好的理解，但是不知道该怎么证明它就是角平分线。有感性认识，但还不能提炼出一般的结论 2．在老师的启发下想到：其实就是要证明自己所说的线是角平分线，思考证明这个命题都需要什么条件，如何证明。

3．回忆有关线段垂直平分线的知识，知道线段垂直平分线的性质定理和判定定理互为逆定理，通过类比联想，知道对于角平分线，也有类似的结论。4．回答：角平分线和要证明的命题是互逆命题。

5．得到老师的肯定，知道猜测是正确的。回忆线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法，写出角平分线性质定理的逆定理。与同桌互相检查。

6．认真听讲，体会定理的内涵，联想线段垂直平分线性质定理和判定定理的关系，有助于理解角平分线性质定理和判定定理的关系。对照自己的表述，，进行修正使其更加严谨、规范。记下课后作业。

1．饶有趣味地听讲，对数学史知识很感兴趣，对古希腊学者的工作有了一点了解，开阔了视野，同时被数学家的精神所感染，增强了学习数学的毅力。

2．听老师讲学会画图的必要性，联想到上节课图形对于发现数学结论的帮助，对老师的话有很好的认识，做好了学习新知识的积极的心理准备。3．与老师同步，在练习本上作一个角的平分线。

4．依据作图的过程，参照老师的讲解，写出已知和求作以及作法。有的学生可能写得不够规范。

5．对照老师的讲解，完善自己的写法。看书，体会书上写的作法。

6．思考这样的作法的合理性，添加辅助线，对作出来的射线给以证明。找到思路后，与同伴交流。大多数学生可以通过证明三角形全等说出理由。

7．认真听讲，对如何作角的平分线和如何写出作法有更好的理解。同时，加深了不管是猜测还是作图都需要理性证明的意识。

课 题 1.4、角平分线(二) 课型 新授课 教学目标 要求学生掌握三角形三条角平分线的性质定理，会用这个定理解决一些简单问题。

教学重点 三角形三条角平分线的性质定理 教学难点 掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明。

教学方法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 一、三角形的三条角平分线性质定理 1．说明：本节课继续学习有关角平分线的性质和应用，和学习线段的垂直平分线的性质，讨论三角形中的角平分线；
通过上节课的学习大家都感受到了：角平分线和线段垂直平分线的性质都是依次学习它们的性质定理、判定定理和作图，那么，今天的这节课的研究方法和内容还是和线段的垂直平分线很类似，在学习的过程中，要注意对比线段垂直平分线的研究方法来学习。

2．让学生把准备好的三角形拿出来，分别折出三个角的角平分线，然后观察三条角平分线有什么性质。

3．让学生动手用直尺和圆规画一个三角形，然后画出三条角平分线，观察这三条角平分线有什么性质，和折出来的三条角平分线是不是有类似的性质?要注意提醒学生和三角形三条线段垂直平分线的性质类比思考。要求学生动手画图，训练学生的作图技能。

4．让学生说出他们的猜想，体会类比的好处。

5．赞赏地肯定学生的发现，鼓励他们动脑思考。提问：为了使你们的猜测站得住脚，还需要干什么? 6．知道学生已经明白下一步的任务和这个人物的必要性，留出时间和空间让学生思考问题如何解决，不要代替学生思考，培养学生的思维能力。

7．确认大部分学生已经找到证明的思路，让两位学生到黑板上写出它们完整的证明过程，包括写出已知，求证和证明。其他学生在练习本上完成。让学生把证明落实到笔上，可以培养学生的数学语言表达能力，也可以让学生自己监控自己的思维，培养学生思维的批判性。

8．以黑板上学生的证明为样本，讲解三角形三条角平分线的性质定理。明确指出学生的错误，修正修正表述不规范的地方，给其他同学作示范。让其他学生对照老师的讲解批改同桌的证明。

二、综合应用定理，学习例题 1．把例题抄写到黑板上，一边抄写一边让学生注意体会教材上数学语言的表述。让学生把例题抄到笔记本上，使学生进一步感受和熟悉数学的用语及表述方式。

2．让学生首先自己思考例题的解决方法。向学生说明：这是一道综合的题目，例题不光把计算和证明贴在一起，而且需要运用前面所学的多个定理，引导学生在较大的范围内思考问题。

3．提示学生：先从条件出发，想一想由条件可以得到哪些结论?然后从结论出发，思考如果要证明结论成立或计算出结果，都需要什么结果?从前后两个方向思考，渗透分析和综合的解决问题的方法。

4．先提问：有没有同学已经有了想法?说出来和同学一起交流。鼓励学生发言，学生之间的思维方式比较接近，会让其他学生感到亲切，有比较好的启发的作用。

5．分析例题的条件和结论，充分暴露自己的思维过程，让学生“观模”，在此过程中使学生知道“老师是怎么想到的”。

6．简单复习总结本单元的知识，帮助学生建构起他们自己的认知结构。

作业：
板书设计：
一、三角形的三条角平分线性质定理 二、综合应用定理，学习例题 1．通过老师的说明，对这节课的大体内容和总的研究方法有了整体的认识和把握，他们可以在一个比较高的起点上来学习本节课的内容。同时，由于老师点明了线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受到了数学中的和谐，对数学对象之间。的相互联系有了感性的体验。在教师的帮助下提炼出数学中的联系，建构的认知结构。

2．动手折出三角形的三条角平分线，观察它们有什么性质。联想到三角形三条线段垂直平分线的性质，观察到三线共点。

3．动手画出三角形，回忆上节课学过的作法，比较熟练地作出三条角平分线，观察它们的性质。类比三角形三 条垂直平分线的性质，猜测三角形三条角平分线也是三线共点。作图的同时又锻炼了作图技能，对作法的合理性加深了理解。

4．说出猜想：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

5．得到老师的肯定，对数学学习更有兴趣。老师的提问使学生对于猜测的命题要给予逻辑证明的意识更加明确。

6．类比三角形三条线段垂直平分线的性质定理，试着用三线共点的思路给出证明。证明的过程中用到角平分线的性质定理和判定定理。

7．两位同学到黑板上写出完整的证明过程，其他学生在练习本上完成。因为要把想法落实到纸上，有些同学的证明存在不严谨的地方，在教师的个别指导下得到纠正。写出证明的过程，理顺了自己的思路，加深了对定理含义的理解。

8．认真听讲，对黑板上同学证明错误或表述不规范的地方认识得更清楚，根据老师的讲解批改同桌的证明，在当“小老师”的同时加深对定理的理解。

1．在老师抄写例题的同时，把例题抄写到自己的笔记本上，熟悉数学用语和表述方式。清楚例题的条件和结论。

2．对这道综合性比较强的题目，一时感到难以入手。对于第一问，有的可能想用勾股定理来计算，但AD的长度未知，因此行不通。

3．在老师的提示下，分析条件和结论，思考它们分别可以推导出什么结论、都需要什么条件?联想比较好的同学的做法基本可以找到思路。

4．初步解决了问题的学生回答老师的问题，不够严密的地方在自己和老师同学的帮助下纠正过来；
没有找到和没有完全解决问题的学生受到启发；

5．认真听讲、记笔记。体会老师的思路，对用分析法和综合法解决问题有了感性的认识。

6．通过老师的讲解对第一单元的知识有了总体的把握，对知识点之间的联系认识加深。

课 题 2.1、花边有多宽（一） 课型 新授课 教学目标 1．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。

教学重点 一元二次方程的概念 教学难点 如何把实际问题转化为数学方程 学情分析 本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米 ，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效学生模型。

教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 一、通过实例引入新课 1．在开始新的一个单元的时候，要向学生讲清楚本单元的主要内容和总体目标，这样可以让学生对本单元的内容做到整体把握和概览。

2．进人本单元的第一节：花边有多宽? 板书课题，明确本节课的中心任务。

3．播放“花边有多宽”的课件，说明题目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得显示出各个量之间的关系。

4．给学生时间思考：如何明确并用数学式子表示出题目中的各个量?让学生在思考后把教材补充完整。

P41页的填空题 5．让学生回答他们的答案是什么，给予点评，让学生核对答案，可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。

6．继续进行下二个问题：板书P41页的等式，提出问题：你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 7．趁热打铁，让学生把教材p42页的填空题补充完整。

8．让学生说出自己的答案，点评，其他学生核对自己的答案。可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。

9．简单点评上面两个问题的解答情况，转入下一个问题。播放“梯子的底端滑动多少米”的课件，说明题意，课件制作得要求可以清楚看出滑动的线段。

10．设置悬念：有的同学猜测是1米，到底是多少，我们后面来看一看。为后续学习做好铺垫。让学生把教材上的填空题补充完整。

11．让学生说出他们的答案，点评，其他学生核对自己的答案；
可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。

12．肯定学生的表现：大家自己的探索已经很好地打开了第二章“一元二次方程”的大门，相信同学们这一章会通过自己的学得很好。

二、一元二次方程的概念 1．板书刚刚得到的三个方程，让学生观察它们有什么共同的特点? 2．给学生必要的提示：我们曾经学习了—元一次方程，同学们可以类比着它的要点来看看这些方程有什么特点。

3．让学生用自己的语言回答这三个方程有什么共性。

4．肯定学生的回答，让学生继续观察它们还有没有其他的共性?比如：从整式和分式的角度，展开来整理后的形式的角度。可以让同桌两个进行交流。

5．让学生用自己的语言他们的新发现。

6．允许学生用自己的语言表述，对学生的回答要善于引导，让学生的认识更清楚。7．对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意学生容易漏掉的二次项系数不为0的要点，给出一元二次方程的要点和定义。8．给出一般的一元二次方程的形式，强调二次项系数不为0的要点，说明二 次项、一次项、常数项和二次项以及一次项系数的含义。

9．让学生指出三个方程的二次项、一次项、常数项和二次项、—次项的系数。

10．复习总结，布置作业。

作业：P47，习题2.2：1、2 板书设计：
一、一元二次方程的概念 二、例题 三、练习 1．认真听讲，对本单元(一元二次方程) 有了一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好准备。

2．进入良好的学习状态，在教师的引导下顺利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了学生的兴趣；

3．很有兴趣地观看课件，对“花边有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。

4．对照图形(示意图)认真思考，找到各个元素的数量关系，比较顺利地把填空题补充完整。

5．回答：长为8—2x。宽为5—2x，根据题意可得方程(8—2x)(5—2x)＝18。

6．正整数是学生最熟悉的内容，五个连续整数的性质引发了学生的兴趣和探究的欲望，受到前面题目的启发，可能会想到可以通过设未知数列方程来求解。

7．积极认真地填空，大部分学生可以顺利完成。

8．回答老师的问题；
并基本正确，做对的同学举手示意，方便老师掌握情况。

9．对于这个问题也很感兴趣，有的猜测可能梯子底端滑动的距离和梯子顶端滑动的距离一样，都是1米，但不能充分说明。

10．不知道1米对不对，到底是多少米，产生了想一探究竟的欲望，为后面的学习做好了心理准备。按照老师的要求，比较顺利地把填空题补充完整。

11．回答老师的问题，基本正确，做对的同学举手示意，方便老师掌握情况。

12．受到老师的表扬和鼓励，自信心及学习的兴趣都大增，以很好的状态投入到下面的学习中。

1．观察三个方程的特点，但因为问题的指向性不是很明确，因此有些茫然。2．得到启发，从未知数的个数、未知数的最高次数出发观察它们的共性，容易看出它们都只有一个未知数，最高次数是2。

3．回答：都只含有一个未知数，未知数的最高次数是2 4．继续观察三个方程的特点，容易看出它们都是整式方程，把式子展开，经过移项、合并同类项等化成相似形式的式子，经过交流学生认识得更加清楚。

5．回答：都是整式方程，并且都可以化成一个二次加一个一次再加一个常数的形式。

6．听取老师的点评和说明，进一步理清自己的思路。

7．认真体会老师的思路，老师是如何总结抽象概括的。记下一元二次方程的要点和定义。

8．认真听讲，掌握一般的一元二次方程的形式和二次项系数不为0的要点，清楚二次项、一次项、常数项以及二次项和一次项系数的含义。

9．顺利指出三个方程的二次项、一次项、常数项以及二次项、一次项的系数。

10．总结本节内容，记下作业。

课 题 2.1、花边有多宽（二） 课型 新授课 教学目标 1．探索一元二次方程的解或近似解． 2．培养学生的估算意识和能力． 3. 经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力． 教学重点 探索一元二次方程的解或近似解． 教学难点 培养学生的估算意识和能力． 教学方法 分组讨论法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、创设现实情境，引入新课 前面我们通过实例建立了一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，大家回忆一下。

二、地毯花边的宽x(m)满足方程 估算地毯花边的宽 地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18 也就是：2x2―13x+11=0 你能求出x吗？ （1）x可能小于0吗？说说你的理由；
x不可能小于0，因为x表示地毯的宽度。

（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？ （3）完成下表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x2―13x+11 （4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。

三、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102 也就是x2+12x―15=0 （1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ （2）x的整数部分是几？十分位是几？ 注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。

四、课堂练习 课本P46随堂练习 1．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗? 五、课时小结 本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想． 六、课后作业 (一)课本P46习题2．2 l、2 (二)1．预习内容：P47—P48 板书设计：
一、地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18 二、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102 三、练习 四、小结 回答下列问题：什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a≠0) 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

（1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)―x2=0 (8—2x)(5—2x)＝18， 即222一13x十11＝0． 注:x>o， 8—2x＞o， 5—2x＞0． 从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9 地毯花边1米，另，因8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3，8―2x=6，x=1 (x十6)十7＝10， 即x十12x一15＝0． 所以1＜x＜2． x的整数部分是1， 所以x的整数部分是l，十分位是1． x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x―15 -15 -8.75 -2 5.25 13 所以1<x<1.5 进一步计算 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x―15 -0.59 0.84 2.29 3.76 所以1.1<x<1.2 因此x 的整数部分是1,十分位是1 课题名称 花边有多宽(1) NO：
新授 教材分析 德育点 加强学生的数学感知，发展学习态度 创新点 经历抽象一元二次方程的概念的过程 能力点 发展学生的抽象概括能力 知识点 了解一元二次方程的概念，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型 学情分析 本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米 ，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效学生模型。

教学流程 (内容概要) 师生互动(问题创设、情景创设) 复习回顾 问题情境 方程的概念 分类 一元一次方程的概念 1、一块四周有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8米，宽为5米。如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽？ 如果设花边的宽为x米，那么地 毯中央长方形图案的长为 5m 米，宽为 米。根据题意， 可得方程 。

8m 教学流程 （内容概要） 师生互动（问题创设、情景创设） 归纳总结 练一练 小结 作业 2、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 10m 8m 由构股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m,如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m。根据题意，可得方程 。

3、先观察下面等式：
102＋112＋122＝132＋142 你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？（问：怎样设法找？） 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， 。根据题意，可得方程 。

由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
（8－2x）(5－2x)=18 x2＋(x＋1) 2＋(x＋2) 2=(x＋3) 2＋(x＋4) 2 (x＋6) 2＋72=10 2 上述三个方程有什么共同特点？ 表述：上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0) 一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax2、bx、c 二次项系数为：a 一次项系数为：b 1、随堂练习 2、习题2 收获与困惑 习题1 目标 预习 课 题 2.2、配方法(一) 课型 新授课 教学目标 1．会用开平方法解形如(x十m)＝n(n0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法． 教学重点 利用配方法解一元二次方程 教学难点 把一元二次方程通过配方转化为(x十m)＝n(n0)的形式． 教学方法 讲练结合法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 学习活动 一、复习：
1、解下列方程：
（1）x2=4 （2）(x+3)2=9 2、什么是完全平方式？ 利用公式计算：
（1）(x+6)2 （2）(x－)2 注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。

3、解方程：（梯子滑动问题） x2+12x－15=0 二、解：x十12x一15＝0， 1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？ 2、解方程的基本思路（配方法） 如：x2+12x－15=0 转化为 (x+6)2=51 两边开平方，得 x+6=± ∴x1=―6 x2=――6(不合实际) 3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+ =(x+6)2 （2）x2―12x+ =(x― )2 （3）x2+8x+ =(x+ )2 从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。

4、讲解例题：
例1：解方程：x2+8x―9=0 分析：先把它变成(x+m)2=n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解。

解：移项，得：x2+8x=9 配方，得：x2+8x+42=9+42 （两边同时加上一次项系数一半的平方） 即：(x+4)2=25 开平方，得：x+4=±5 即：x+4=5 ，或x+4=―5 所以：x1=1，x2=―9 5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。

三、课堂练习 课本P49随堂练习 1 1．解下列方程 (1) x一l0x十25＝7；
(2) x十6x＝1. 四、课时小结 五、课后作业 (一)课本P49习题2．3 l、2 (二)1．预习内容P49—P52 板书设计：
一、 直接开平方法 二、 配方法 三、 例题 四、 练习 五、 小结 （1）x＝土2． (2) x十3＝士3， x十3＝3或x十3＝一3， x＝0，x＝一6． 这种方法叫直接开平方法． (x十m) ＝n(n0)． 因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。

（1）x1=5+ x2=5－ （2）x1=－3+ x2=－3－ 这节课我们研究了一元二次方程的解法：
(1)直接开平方法． (2)配方法． 课 题 2.2、配方法(二) 课型 新授课 教学目标 1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程． 2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤． 教学重点 用配方法求解一元二次方程． 教学难点 理解配方法． 教学方法 讲练结合法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、复习：
1、什么叫配方法？ 2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。

3、解方程：
（1）x2+4x+3=0 （2）x2―4x+2=0 二、新授：
1、例题讲析：
例3：解方程：3x2+8x―3=0 分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。

解：两边都除以3，得：
x2+x―1=0 移项，得：x2+x = 1 配方，得：x2+x+()2= 1+()2 （方程两边都加上一次项系数一半的平方） (x+)2=()2 即：x+=± 所以x1=，x2=―3 2、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；

（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）用直接开平方法求出方程的根。

3、做一做：
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
h=15 t―5t2 小球何时能达到10m高？ 三、巩固：
练习：P51，随堂练习：1 四、小结：
1、用配方法解一元二次方程的步骤。

（1）化二次项系数为1；

（2）移项；

（3）配方：
（4）求根。

五、作业：
（一）课本P52习题2.4 1、2 （二）预习内容：P53～P54 板书设计：
六、 解方程 七、 做一做，读一读 八、 课时小结 九、 课后作业 学生回答 演板 由学生共同小结 这节课我们利用配方法解决了二次项系数不为1或者一次项系数不为偶数等较复杂的一元二次方程，由此我们归纳出配方法的基本步骤 课 题 2.2、配方法(三) 课型 新授课 教学目标 1．利用方程解决实际问题． 2．训练用配方法解题的技能． 教学重点 利用方程解决实际问题 教学难点 对于开放性问题的解决，即如何设计方案 教学方法 分组讨论法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、复习：
1、配方：
（1）x2―3x+ =(x― )2 （2）x2―5x+ =(x― )2 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 3、用配方法解下列一元二次方程？ （1）3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0 二、引入课题：
我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：
三、出示思考题：
1、 如图所示：
（1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？ （2）一元二次方程的解是什么？ （3）这两个解都合要求吗？为什么？ 2、设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？ （2）一元二次方程的解是什么？ （3）合符条件的解是多少？ 3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。

四、练习：P56随堂练习 看课本P53～P54，然后小结 五、小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。

2、设计方案时，关键是列一元二次方程。

3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。

六、作业：
（一）P56，习题2.5，1、2 （二）预习内容：P56～P57 板书设计：
一、 设计方案 二、 练习 三、 小结 1、2学生口答 学生演板 阅读课本 观察与思考 (16-2x) (12-2x)= ×16×12 x1=2 x2=12 x1=2合要求， x2=12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。

x2π=×12×16 X1=≈5.5 X2≈－5.5 X1=5.5 1）花园为菱形 （2）花园为圆形？ （3）花园为三角形 （4）花园为梯形 本节课我们通过列方程解决实际问题，进一步了解了一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并且知道在解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

另外，还应注意用