2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学（必修+选修）

　本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至10页，满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

　第Ⅰ卷（共60分） 注意事项：

　1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

　2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上， 参考公式：

　如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)－P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A,B) －P(A)=P(B) 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。

　（1） 定义集合运算：A⊙B=﹛z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B﹜,设集合A (0,1),B (2,3),则集合A⊙B的所有元素之和为

　(A) 0

　 (B)6

　(C)12

　 (D)18

　(2)设 (A)0

　 　(B)1

　(C)2

　 (D)3 （3）函数

　(A)

　(B)

　 (C)

　 (D) (4)设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为 (A)（1，－1）

　 (B)（－1， 1）

　(C) （－4，6）

　(D) （4，－6） （5）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝－f(x)，则f(6) 的值为 (A) －1

　 (B)0

　(C)1

　 (D)2 （6）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=,b=1，则c= (A)1

　 (B)2

　(C) －1

　 (D)

　（7）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为 (A)

　 (B)2

　(C)

　(D)2 （8）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 (A)1∶

　 (B)1∶3

　(C)1∶3

　 (D)1∶9 （9）设p∶∶0，则p是q的 (A)充分不必要条件 　　　　　　　

　(B)必要不充分条件 (C)充要条件　　　　　　　　　　　　

　 (D)既不充分也不必要条件 (10)已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是 (A)－1

　 (B)1

　(C)－45

　 (D)45 （11）已知集集合A=｛5｝，B={1，2}，C＝｛1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (A)33

　 (B)34

　(C)35

　 (D)36 （12）已知x和y是正整数，且满足约束条件则x－2x3y的最小值是 (A)24

　 (B)14

　(C)13

　 (D)11.5 2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学（必修+选修Ⅰ） 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项：

　1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

　2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

　二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。

　（13）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是　　　　　. （14）设为等差数列的前n项和，＝14，－＝30，则＝　　　　. （15）已知抛物线，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(两点，则y的最小值是 　　　　　 （16）如图，在正三棱柱ABC-中，所有棱长均为1，则点B到平面ABC的距离为　　　　.

　 三、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 设函数f(x)=

　(Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 讨论f(x)的极值. （18）（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝A且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. (Ⅰ)求； (Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008). （19）（本小题满分12分） 盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

　(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； (Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念； (Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率. (20) （本小题满分12分） 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值； (Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小； (Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD. （21）（本小题满分12分） 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程. （22）（本小题满分14分） 已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…. (Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列 (Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

　 答案 2006年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学答案

　一、选择题

　 1、D

　2、C

　3、A

　4、D

　5、B

　 6、B

　 7、C

　8、C

　9、A

　 10、D

　 11、A

　 12、B 二、填空题

　 13、150

　 14、54

　15、32

　 16、

　四、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。

　（1） 定义集合运算：A⊙B=﹛z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B﹜,设集合A＝ ｛0,1｝,B＝ ｛2,3｝,则集合A⊙B的所有元素之和为（D）

　(A) 0

　 (B)6

　(C)12

　 (D)18 解：当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D

　 (2)设（ C

　 ） (A)0

　 　(B)1

　(C)2

　 (D)3 解：f（f（2））＝f（1）＝2，选C （3）函数（A

　）

　(A)

　(B)

　 (C)

　 (D) 解：函数y=1+ax(0<a<1)的反函数为，它的图象是函数向右移动1个单位得到，选A

　(4)设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（D

　 ） (A)（1，－1）

　 (B)（－1， 1）

　(C) （－4，6）

　(D) （4，－6） 解：4a＝（4，－12），3b－2a＝（－8，18），设向量c＝（x，y），依题意，得4a＋（3b－2a）＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6，选D （5）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝－f(x)，则f(6) 的值为（ B

　） (A) －1

　 (B)0

　(C)1

　 (D)2 解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B （6）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=,b=1，则c=（ B

　 ） (A)1

　 (B)2

　(C) －1

　 (D)

　解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，选B （7）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ C

　） (A)

　 (B)2

　(C)

　(D)2 解：不妨设双曲线方程为（a>0，b>0），则依题意有， 据此解得e＝，选C （8）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ C

　） (A)1∶

　 (B)1∶3

　(C)1∶3

　 (D)1∶9 解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1∶3，选C （9）设p∶∶0，则p是q的（A

　 ） (A)充分不必要条件 　　　　　　　

　(B)必要不充分条件 (C)充要条件　　　　　　　　　　　　

　 (D)既不充分也不必要条件 解：p：Û－1<x<2，q：0Ûx<－2或－1<x<2，故选A (10)已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（

　D

　） (A)－1

　 (B)1

　(C)－45

　 (D)45 解：第三项的系数为，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为可得n＝10，则＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为＝45，选D

　（11）已知集集合A=｛5｝，B={1，2}，C＝｛1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ A

　） (A)33

　 (B)34

　(C)35

　 (D)36 解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A

　（12）已知x和y是正整数，且满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值是（

　B

　） (A)24

　 (B)14

　(C)13

　 (D)11.5 解：画出可域：如图所示 易得 B点坐标为（6，4）且当直线z＝2x＋3y 过点B时z取最大值，此时z＝24，点 C的坐标为（3.5，1.5），过点C时取得最小值， 但x，y都是整数，最接近的整数解为（4，2）， 故所求的最小值为14，选B

　 三、解答题 17．解：由已知得

　 ， 令，解得

　 . （Ⅰ）当时，，在上单调递增

　当时，，随的变化情况如下表：

　0

　 + 0

　0

　极大值

　极小值

　从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

　当时，函数没有极值.

　当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值.

　18． 解：（I） 的最大值为2，.

　又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，

　. 过点，

　 又∵ . （II）解法一：，

　. 又的周期为4，，

　解法二：

　 又的周期为4，，

　 19． 解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意

　（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则

　（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为

　所以 .

　20．解法一：

　平面，

　又， 由平面几何知识得：

　（Ⅰ）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角， 四边形是等腰梯形，

　 又 四边形是平行四边形。

　 是的中点，且 又， 为直角三角形，

　在中，由余弦定理得

　故异面直线PD与所成的角的余弦值为 （Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，为二面角的平面角 ，

　二面角的大小为 （Ⅲ）连结， 平面平面，

　又在中， ， ，

　故时，平面

　解法二：

　 平面

　 又，， 由平面几何知识得：

　 以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，

　（Ⅰ），

　， 。

　。

　故直线与所成的角的余弦值为 （Ⅱ）设平面的一个法向量为， 由于，， 由

　 得

　 取，又已知平面ABCD的一个法向量，

　又二面角为锐角， 所求二面角的大小为 （Ⅲ）设，由于三点共线，， 平面，

　由（1）（2）知：

　，。

　故时，平面。

　 21．解：设椭圆方程为 （Ⅰ）由已知得 ∴所求椭圆方程为 . （Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 由，消去y得关于x的方程：

　由直线与椭圆相交于A、B两点， 解得 又由韦达定理得

　原点到直线的距离 . 解法1：对两边平方整理得：

　（*）

　 ∵，

　整理得：

　又，

　从而的最大值为， 此时代入方程（*）得

　 所以，所求直线方程为：. 解法2：令，

　 则

　当且仅当即时，

　此时.

　所以，所求直线方程为 解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.

　 设直线l的方程为，

　 则直线l与x轴的交点，

　 由解法一知且，

　 解法1：

　=

　.

　下同解法一.

　 解法2：

　 下同解法一.

　22．解：（I）由已知得

　又

　 是以为首项，以为公比的等比数列. （II）由（I）知，

　将以上各式相加得：

　（III）解法一：

　存在，使数列是等差数列.

　 数列是等差数列的充要条件是、是常数 即 又

　当且仅当，即时，数列为等差数列. 解法二：

　存在，使数列是等差数列. 由（I）、（II）知，

　又

　当且仅当时，数列是等差数列.