小学生几何直观能力培养的策略 摘 要 几何直观能力是指借助于见到的或想象出来的几何图形的形象关系，对数学的研究对象，即空间形式和数量关系，进行直接感知、整体把握的能力。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。本文在把握几何直观内涵的基础上，分析几何直观能力的培养对小学生数学学习的意义，结合实践探索培养小学生几何直观能力的有效策略。

关键词  几何直观   几何直观能力   培养策略 “几何直观”一词在以往的教学中一直是隐形于教师心中的，自从的《义务教育数学课程标准2011版》发布以后，“几何直观”作为数学学习的核心概念之一，被正式提到小学数学教学上来。培养学生从几何直观上分析问题、解决问题的能力，已成为数学教学的一项重要任务。在数学教学中，如何培养小学生的几何直观能力？成为广大一线数学教师重新审视与思考的问题。

一、 培养小学生几何直观能力对数学学习的意义 几何直观能力是指借助于见到的或想象出来的几何图形的形象关系，对数学的研究对象，即空间形式和数量关系，进行直接感知、整体把握的能力。既有深刻的形象思维特点，又有强烈的抽象思维特点。几何直观能力由低到高应包括：空间想像能力，直观洞察能力，用“图形语言”来思考问题能力。它对于学生来说是一种从动手操作中，或从图形中，借观察或想象等方式所形成的一种经验，当这种经验在一定的数学活动中酝酿、发酵之后，便实现了一个从“形”到“数”的思维跳跃过程，由此悄然形成了一种关于解决此方面问题的直觉。借助于这种经验与直觉，能够运用图形进行思考与表达。几何直观能力的形成具有以下几个意义：
1.借助于图形，直观地感知，可以使一些复杂的问题简单化，便于描述与交流。

比如，在教学有余数除法时，需要引导学生理解“余数要比除数小”这一规律，采用让学生用不同根数的小棒（13～20根）搭正方形的方法，通过观察搭正方形后剩余的小棒数量，学生便可以从余数中发现都比正方形所需要的4根这个数要小的规律。如果出现≧4时，引导：“还能再搭出一个正方形吗”？从而引导学生发现余数要比除数小的规律，理解余数为什么比除数小的原因。

2.利用几何直观，直观的感知使抽象变得具体。  小学生数学学习更多的需要从经验入手，通过观察比较，或通过动手操作，从而获得对图形的认识，并发展空间观念。如在推导平行四边形面积公式时，引导学生通过观察，想象把平行四边形转化为学过的长方形，即沿着平行四边形的高剪下一个三角形拼到另一侧就可以转化为长方形，在这样的猜想、尝试与操作对比的过程中，学生能够发现并找到两者之间的联系，从而推导面积公式并体会到转化思想，为后面其它图形面积公式的推导作以思考导向。

3.利用几何直观，帮助学生有效寻求解题策略。

心理学家皮亚杰根据儿童的认知理论将儿童化为四个阶段，而小学生正处于具体运算水平阶段，很难理解复杂的数量关系，我们只有借助图形使之直观化，形象化，简单化，才能帮助学生有效寻求解题策略。例如：在教学《数的奇偶性》一课时，“（1）小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。摆渡过11次后，船在南岸还是北岸？为什么？”问题出示后，学生自然而然地把手当作小船来回摆动，或是如课本上图示，来解决问题。这就是把问题的呈现进行直观化，几何化的一个过程。

“（2）有人说摆渡100次后，小船在北岸，他的说法对吗？为什么？”一部分学生产生困扰：“要这样来回摆100次吗？”于是，单纯地依靠操作便难以很快解决问题，此时，若是引导学生以表格的形式呈现出摆渡次数与船所在的位置关系表达出来，学生便可以找到规律迅速而正确地解决有关此类问题。

三、小学生几何直观能力培养的策略 华罗庚先生有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”[6]这首词形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值。东北师大的史宁中教授曾提到，小学阶段培养的重点在于会借形来思考与表达。小学数学学习更多地关注的是实验几何、经验几何和直观几何，让学生感受几何直观的作用，培养学生的几何直观能力。

1.教师要具有强烈的数形结合意识。

教师的数形结合意识对学生的思维起着导向性的作用，有助于促进学生数形结合意识的形成，有利于学生直观思考习惯的形成。

比如，列表法是思维的一种直观呈现方法。关于列表法的使用，在小学数学教材五年级上册《旅游费用》中提到的关于租车的问题，可以说列表法解决问题的作用比较突出，有利于学生进行有序地、不遗漏地思考。

此节教学中，笔者比较注重列表法呈现思考的结果。结果，在后续的教学中，笔者发现，有关此类问题的解决大部分学生不仅采用列表法呈现，而且连一些后进生在列表法应用的过程中，也能正确地解决问题。不仅如此，在解决本册后面的“鸡兔同笼”问题时，学生还能自然地借助于表格形式进行呈现。当又借助于列表在教学“鸡兔同笼”问题进行思维呈现之后的一两年中，笔者发现，原来一直不被学生接受的列表法已成为学生自然而然的思维呈现方式。

2.增加学生体验的机会，使学生感受数学数形结合起来的妙处与乐趣。

在以具体形象思维为主要特征的小学阶段，教材中有大量的引导学生进行直观思考的机会，或是动手操作，或是借助于图形来思考等等，把握这样的机会，并适时创造这样的机会使学生在学习数学的过程中感受到数与图形结合起来的乐趣，增加学生学好数学的信心。

比如，解决问题：2003年第4届世界杯女子足球赛，中国队所在的小组共有4支球队，每2支球队之间都进行一场比赛。（1）中国队在小组赛中要进行几场比赛？（2）整个小组共赛多少场？ 通过课堂上对学生的观察发现，学生的思考有四种方式，除了线段式，交叉连线式，还有表格式与叙述式，可是书上却呈现出四边形式，如何引导学生对于四边形这一图形呈现方法的理解与掌握呢？笔者在教学时从三个队之间的比赛入手进行引导，用A、B、C三个字母代表不同队，然后借助于不同颜色的粉笔结合图示引导并列出了一共需 要比赛多少场的算式，然后，进行比赛队伍数的增加，逐步形成了上面的四边形、五边形与六边形。当在五边形里形成了一个美丽的五角星图案时，全班学生不由地发出惊奇的赞叹声。当六队之间的比赛场次情况则形成了一个美丽的六边形时，学生想到了不仅是弹子跳棋的设计，还想到了那从天空中飘落的雪花。

以A队为第一队，思考其共要进行多少场比赛，然后在不重复的前提下，思考B、C队分别还需要进行多少场比赛，以此类推，在对图形的观察中不仅找到了算式产生的来源，学生还体会到的数字的神奇，数学的奇妙，数与形结合的奥妙与美！ 3.解决问题方式多样化，使数形结合相伴成为一种自然。

在使用数学教材的过程中我们发现，教材中有许多的问题呈现方式借助于图来呈现，有许多的解决问题的方法，不仅有着传统的数与式的运算，更有着图与形的引导与呈现。

（1）教材中数形结合的呈现：比如以新世纪小学数学教材第四版二年级下册的“十年变化”为例，关于两位数加法的计算，教材中不仅有代表着形的数线的方法呈现，也有计数器的方法呈现，同时还有代表着数的横式的计算与竖式的计算方法呈现。在计算方法的学习中，有数、有形的多种方法呈现已成为教材的特点之一。

这就提示我们一线教师，在教学中，不要只把几何直观能力的培养只局限于有于图形的面积或体积等图形的教学之中，还可以在数与代数领域进行。

（2）在解决问题时，可以把问题或题目中的关键句借助于图形进行多样化呈现来帮助理解题目意思。

比如“分数应用题（二）”一节的教学，在出示题目后，学生可以借助于图来理解题意。在引导学生理解“第二天比第一天多1/5时，可以借助于不同的方式来表达。

 上面的8幅图是在老师出示题目之后，让学生自己理解题意后的图示，反映出学生正确的理解与多样的表达。学生不同的表达方式在班级进行交流与分享后，便给学生留下数形结合强烈而直观的印象，直接促进学生几何直观能力的形成。

（3）还可以把解决问题的方法进行借助图形进行多样化呈现，使学生不仅有选择思考自己喜欢方法的机会，还在题目与解决问题方法的不同呈现方式中形成多样化的思考及数形结合思考习惯的形成。

比如在教学小学数学“住新房”一课计算12×14时，除了教材中呈现的方法之外，把住房中的每户用一个圆来表示，便成为帮助学生理解的点子图   在这样的图示是住房图的一种抽象后直观地表达，学生不仅可以直观看到每一步算出的是哪一部分，理解两位数算法的算理，每当学生进行乘法的计算时，便能自然地想到点子图，并借助于图来思考与表达，这也为后续的乘法分配律的学习及直角坐标系的认识等知识作以铺垫。

4.寻找问题中数形结合的思维点，进行数形结合的有效沟通。

我们的生活的世界五彩缤纷，当把我们的眼光聚焦于“数量关系与空间形式”时，便成为我们的数学研究。数与形的存在并不是孤立的，它们是彼此联系的，但在我们教学中，特别是在教学中常常为了学习与研究的方便把它们单独罗列出来，这便造成了数与形的分家，找准数形结合的思维点，使数形之间进行有效地沟通，便成为培养学生数形结合，几何直观思维能力的关键点，直接影响着学生几何直观思维习惯的形成。

比如笔者在对五年级数学上册“找因数”一课的研究中，曾在四年级进行“借助于图形的直观理解找因数”方法的成功尝试，教学主要流程如下：
（1）用12个小正方形拼成一个长方形，有哪几种拼法？请你试着想一想、拼一拼或画一画。（没有五数上教材，也没有方格纸） （2）集体交流拼法 （老师让学生把自己不同的拼法用小正方形帖在白纸上，然后老师帖在黑板上） （3）用乘法算式来表达自己的拼法 （4）根据乘法算式中数的特点把拼法排序 （5）观察乘法算式中的数与12有着怎样的关系。

（6）引出“找因数” (7)去掉重复的拼法（把有着相同数的拼法之一去掉） 找因数练习：
（1）找出9和15的因数；

（2）找出24的全部因数。（没有五数上教材中的填空引导） 在引导学生把“用12个小正方形可以拼成哪几种长方形”的教学之后，让学生找9和15的因数，老师不做任何提示，全班学生没有动手操作的，而是直接用乘法算式说出了9和15的因数，即使在找24的因数时有五分之一的学生用小正形画出拼的图，也没有学生再动手拼。

 从学生的这种表现可以看到操作所产生的直观对于找因数的作用，对学生已产生了深刻的印象，在学生的头脑中找把找因数与用小正方形拼的方法自觉地联系地一起，初步运用了几何直观，从拼小正方形的方法理解到用乘法算式即可解决找因数的问题。实现了一个从“形”到“数”的思维跳跃过程，由此悄然形成了一种关于解决此方面问题的直觉。

5.寻找从形到数的思维弹跳点，适时抽象。

任何一种方法都其局限性，每一种方法都有其一定的适用范围。要想突破范围的限制，达到解决问题的最佳效果，就要把各种方法有机地结合起来，灵活地加以应用，以促进学生几何直观思维的灵活性。

比如教学五数下“分数除法（二）一课，教材中借用圆饼图引导学生理解4张大饼，每几分之几张一份可以分成多少份？的列式方法和算理，在饼图之后，又借助于线段图，从另外一种角度来引导学生理解，旨在进行一个数除以分法方法的归纳与发现。

在教学中我们发现，在上面的饼图与及（1）（2）题的线段图中，学生能借助图的理解，从中直接发现“除以一个数就等于乘这个数的倒数”的规律。但是到了下面的（3）题时，学生很难以理解2÷2/3为什么等于2×3/2。为什么会出现这种情况？难道是“除以一个数就等于乘这个数的倒数”的规律在下图中不适用？ 在教材编写老师的启发下，使我们理解到，到此时，不必要非得让学生从图中发现2÷2/3为什么等于2×3/2的答案。对此点我们进行了教学尝试与讨论，发现，此图正是学生从图向分数除法计算方法的一个跳跃点。如果让学生自己去发现，一个班很难有几个学生发现，如果老师借图引导2÷2/3为什么等于2×3/2这一问题，还是会有相当一部分学生难以理解。这岂不印证了“数缺形时少直观，形缺数时难入微”这一说法？此处的教学使我们充分感受到，作为易懂的图形会带给我们的不仅有着直观的认识，还有着一些干扰。而此处，我们在教学时，则采用适当引导，为学生留下思维的余地，不要求学生必须理解或掌握的方法，结合上图形的理解进行算式的书写与算法的不完全归纳，从而总结出分数除法的计算方法。

总的来说，发展学生的几何直观能力，形象是前提，抽象是本质，适度是关键。最重要就是做好形象与抽象、直观与理性的有机融合。虽然本次课题研究暂告一段落，但我们的思考还远远没有结束。正如专家所说，“几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。”[8] 参考文献：
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