2007-2008高等数学下册期中考试试卷 姓名：
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一、 填空题（） 1、[4分] 与直线及都平行，且过原点的平面方程为 2、[4分]设可微，则各为 3、[4分]设，则 4、[4分] 设函数在点的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向 5、[4分]曲面在点处的切平面方程为，法线方程为 二、 （8分）设，求 解：， 三、 （8分）设具有连续的偏导数，且，方程确定了是的函数，试求 解：，解出 从而 四、 [8分] 求函数在点的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数 解：，则沿梯度方向上函数的方向导数为 五、 [8分]设直线在平面上，而平面与曲面相切于点，求之值。

解：
由曲面得切平面法向量 从而有切平面方程为 由直线得：
从而；

六、 [8分] 计算二重积分，其中 解：
用将区域划分为两个 七、 [8分] 计算 解：由积分限作出区域图，由图知化为极坐标计算容易 原式 八、 [8分] 计算，其中为平面曲线绕z轴旋转一周的曲面与平面所围的区域。

解：由交线知在xoy面上的投影域为 用柱坐标计算 九、 [8分] 设由曲面与所围成的立体中每点的密度与该点到xoy平面距离成正比，试求该立体的质量M 解：由交线知在xoy面上的投影域为 用柱坐标计算 十、 计算，其中 解：令，由对称性 原式= 十一、 [8分]在曲线上求一点，使曲面上过点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为最大 解：令 从而切平面为，四面体的体积为 问题等价为在条件下的最大值 令 则由推出， 由约束条件知 由问题的实际意义与驻点的惟一性知，就是我们要求的点。

十二、 [附加题5分] 计算积分，式中曲线是在上的一段弧。

解：曲线可以表示为 十三、 [附加题5分] 计算积分，其中是球面被锥面所截的部分 解：由交线知曲面在xoy面上的投影域为 十四、 [附加题10分] 计算积分，其中是抛物面被平面所截下的有限部分 解：由交线知曲面在xoy面上的投影域为 由对称性知