高中学业水平考试模拟测试卷(一) 2 高中学业水平考试模拟测试卷(二) 11 高中学业水平考试模拟测试卷(三) 19 高中学业水平考试模拟测试卷(四) 27 高中学业水平考试模拟测试卷(五) 38 高中学业水平考试模拟测试卷(一) (时间：90分钟　满分100分) 一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合N＝{1，3，5}，则M∩N等于(　　) A．{2}　 B．{2，3} C．{1，3} D．{1，2，3，4，5} 解析：M∩N＝{1，2，3，4}∩{1，3，5}＝{1，3}，故选C. 答案：C 2．函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为(　　) A．{x|x>－3} B．{x|x>0} C．{x|x>3} D．{x|x≥3} 解析：由x－3>0得x>3，则定义域为{x|x>3}．故选C. 答案：C 3．下列命题中的假命题是(　　) A．∀ x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃ x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 解析：当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2>0，所以B为假命题．故选B. 答案：B 4．设i是虚数单位，若复数z＝5(1＋i)i，则z的共轭复数为(　　) A．－5＋5i B．－5－5i C．5－5i D．5＋5i 解析：由复数z＝5(1＋i)i＝－5＋5i, 得z的共轭复数为－5－5i.故选B. 答案：B 5．已知平面向量a＝(0，－1)，b＝(2，2)，|λa＋b|＝2，则λ的值为(　　) A．1＋ B.－1 C．2 D．1 解析：λa＋b＝(2，2－λ)，那么4＋(2－λ)2＝4，解得，λ＝2.故选C. 答案：C 6．已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5 解析：线段AB的中点为，kAB＝＝－， 所以垂直平分线的斜率k＝＝2，所以线段AB的垂直平分线的方程是y－＝2(x－2) ⇒ 4x－2y－5＝0.故选B. 答案：B　 7．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为(　　) 　　　 A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台　 B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 解析：(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱．(2)三视图复原的几何体是四棱锥．(3)三视图复原的几何体是圆锥．(4)三视图复原的几何体是圆台．所以(1)(2)(3)(4)的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．故选C. 答案：C 8．已知f(x)＝x＋－2(x>0)，则f(x)有(　　) A．最大值为0　 B．最小值为0　 C．最大值为－4　　 D．最小值为－4 解析：由x>0，可得>0, 即有f(x)＝x＋－2≥2 －2＝2－2＝0, 当且仅当x＝，即x＝1时，取得最小值0. 答案：B 9．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；
(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是(　　) A．(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法 B．(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法 C．(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法 D．(1)(2)都用分层抽样法 解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选C. 答案：C 10．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c＝(　　) A．1∶2∶3　 B．3∶2∶1 C．2∶∶1 D．1∶∶2 解析：在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1, 可得A＝30°，B＝60°，C＝90°. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.故选D. 答案：D 11．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么{an}的前7项和S7＝(　　) A．22 B．24 C．26 D．28 解析：因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12, 所以3a4＝a3＋a4＋a5＝12， 解得a4＝4， 所以S7＝＝＝7a4＝28.故选D. 答案：D 12．抛物线y＝x2的焦点到准线的距离是(　　) A. B. C．2 D．4 解析：方程化为标准方程为x2＝4y.所以2p＝4，p＝2.所以焦点到准线的距离为2.故选C. 答案：C 13.＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：＝cos2 －sin2 ＝cos ＝.故选D. 答案：D　 14．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是(　　) A．16π B．8π C．4π D．2π 解析：因为三视图均为边长为2的正方形，所以几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是4π×12＝4π.故选C. 答案：C 15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－10，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则Sn取最小值时，n的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：在数列{an}中，由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3(n∈N*), 所以数列{an}是公差为3的等差数列． 又a1＝－10，所以数列{an}是公差为3的递增等差数列．由an＝a1＋(n－1)d＝－10＋3(n－1)＝3n－13≥0，解得n≥. 因为n∈N*，所以数列{an}中从第五项开始为正值．所以当n＝4时，Sn取最小值．故选B. 答案：B 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．若点(2，1)在y＝ax(a>0，且a≠1)关于y＝x对称的图象上，则a＝________． 解析：因为点(2，1)在y＝ax(a>0，且a≠1)关于y＝x对称的图象上， 所以点(1，2)在y＝ax(a>0，且a≠1)的图象上，所以2＝a1，解得a＝2. 答案：2 17．已知f(x)＝x2＋(m＋1)x＋(m＋1)的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是________(用区间表示)． 解析：依题意Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＝(m＋1)(m－3)<0⇒－1<m<3, 故m的取值范围用区间表示为(－1，3)． 答案：(－1，3) 18．设f(x)＝则f(f(－2))＝________． 解析：因为x＝－2<0，所以f(－2)＝10－2＝>0, 所以f(10－2)＝lg10－2＝－2，即f(f(－2))＝－2. 答案：－2 19．已知＋＝1，且x>0，y>0，则x＋y的最小值是________． 解析：因为＋＝1，且x>0，y>0, 所以x＋y＝(x＋y)＝13＋＋≥13＋2 ＝25， 当且仅当＝，即x＝10且y＝15时取等号． 答案：25 三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c·cos B－b＝2a. (1)求角C的大小；

(2)设角A的平分线交BC于D，且AD＝，若b＝，求△ABC的面积． 解：(1)由已知及余弦定理得2c×＝2a＋b, 整理得a2＋b2－c2＝－ab, 所以cos C＝＝＝－， 又0<C<π， 所以C＝，即角C的大小为. (2)由(1)知C＝，依题意画出图形．在△ADC中，AC＝b＝，AD＝， 由正弦定理得sin ∠CDA＝＝×＝， 又△ADC中，C＝， 所以∠CDA＝， 故∠CAD＝π－－＝. 因为AD是角∠CAB的平分线， 所以∠CAB＝， 所以△ABC为等腰三角形，且BC＝AC＝. 所以△ABC的面积S＝BC·AC·sin ＝×××＝. 21．已知圆C经过A(3，2)、B(1，6)两点，且圆心在直线y＝2x上． (1)求圆C的方程；

(2)若直线l经过点P(－1，3)且与圆C相切，求直线l的方程． 解：(1)方法1：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0), 依题意得， 解得a＝2，b＝4，r2＝5.所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5. 方法2：因为A(3，2)、B(1，6)，所以线段AB中点D的坐标为(2，4), 直线AB的斜率kAB＝＝－2， 因此直线AB的垂直平分线l＇的方程是 y－4＝(x－2)，即x－2y＋6＝0. 圆心C的坐标是方程组的解．解此方程组，得即圆心C的坐标为(2，4)． 圆C的半径长 r＝|AC|＝＝. 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5. (2) 由于直线l经过点P(－1，3), 当直线l的斜率不存在时，x＝－1与圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝5相离，不合题意． 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y－3＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋3＝0. 因为直线l与圆C相切，且圆C的圆心为(2，4)，半径为，所以有＝.解得k＝2或k＝－. 所以直线l的方程为y－3＝2(x＋1)或y－3＝－(x＋1), 即2x－y＋5＝0或x＋2y－5＝0. 高中学业水平考试模拟测试卷(二) (时间：90分钟　满分100分) 一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝(　　) A．{－1，0，1，2} B．{－1，0，1} C．{－1，0，2} D．{0，1} 解析：因为集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}, 所以M∪N＝{－1，0，1，2}． 答案：A 2．“sin A＝”是“A＝30°”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为sin 30°＝，所以“sin A＝”是“A＝30°”的必要条件；
150°，390°等角的正弦值也是， 故“sin A＝”不是“A＝30°”的充分条件．故选B. 答案：B 3．已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a⊥b，则y的值为(　　) A．－12 B．－3 C．3 D．12 解析：因为a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a⊥b, 所以a·b＝0，即4×6＋2y＝0， 解得y＝－12.故选A. 答案：A 4．若a<b<0，则下列不等式：①|a|>|b|；
②>；
③＋>2；
④a2<b2中，正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：对于①，根据不等式的性质，可知若a<b<0，则|a|>|b|，故正确；
对于②，若a<b<0，两边同除以ab，则<，即<，故正确；

对于③，若a<b<0，则>0，>0，根据基本不等式即可得到＋>2，故正确；

对于④，若a<b<0，则a2>b2，故不正确．故选C. 答案：C 5．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　) A．－ B．－ C.　 D. 解析：因为α是第二象限角，sin α＝， 所以cos α＝－ ＝－. 故选B. 答案：B 6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　) A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2－2 D．y＝logx 解析：因为y＝x－1是奇函数，y＝logx不具有奇偶性，故排除B，D；
又函数y＝x2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C.故选A. 答案：A 7．不等式组表示的平面区域是(　　) 解析：由题意可知，(0，0)在x－3y＋6＝0的下方，满足x－3y＋6≥0；
(0，0)在直线x－y＋2＝0的下方，不满足x－y＋2<0. 故选B. 答案：B 8．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下， 组距 (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70] 频数 2 3 4 5 4 2 则样本在(10，50]上的频率为(　　) A. B. C. D. 解析：根据题意，样本在(10，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14, 所求的频率为P＝＝.故选D. 答案：D 9．cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝(　　) A. B．－ C．cos 50° D. 解析：cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝cos 40°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝cos(40°－10°)＝. 答案：D 10．函数y＝log2(x2－3x＋2)的递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(2，＋∞)　 C. D. 解析：由x2－3x＋2>0，得x<1或x>2，又y＝log2(x2－3x＋2)的底数是2，所以在(－∞，1)上递减．故选A. 答案：A 11．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b、c、d，则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、ad、bc、bd、 cd共6种，符合条件的情况为ab共1种，故概率为，选D. 答案：D 12．将函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移m(m＞0)个单位后，得到一个奇函数的图象，则m的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析：y＝sin的图象向左平移m个单位长度后得到y＝sin， 因为y＝sin为奇函数， 所以sin＝0. 所以2m＋＝kπ，k∈Z， 即有m＝－，k∈Z，所以正数m的最小值为. 答案：A 13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：由双曲线的离心率为， 则e＝＝，即c＝a, b＝＝＝a， 由双曲线的渐近线方程为y＝±x, 得其渐近线方程为y＝±x.故选D. 答案：D 14．函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：函数f(x)＝log2x＋x－2的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(1)＝0＋1－2<0，f(2)＝1＋2－2>0， 故函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间是(1，2)．故选B. 答案：B 15．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A．2 B．－2　 C．3 D．－3 解析：以A为原点，AD所在直线为x轴，与AD垂直的直线为y轴建立直角坐标系， 那么＝(1，0)，＝(1，2)，＝(2，－2)，那么解得λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A. 答案：A 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．函数y＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________． 解析：当x－1＝0，即x＝1时，y＝2.所以函数y＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，2)． 答案：(1，2) 17．等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6＝________． 解析：由等差数列的通项公式可得，a3＋a4＝2a1＋5d＝9，a1＋d＝3，所以a1＝2，d＝1，所以a1a6＝2×7＝14. 答案：14 18．某学院A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院C专业应抽取________名学生． 解析：抽样比为1∶10，而C学院的学生有1 200－380－420＝400(名)，所以按抽样比抽取40名． 答案：40 19．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则∠A的度数为________． 解析：根据正弦定理可得，sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A⇔sin(B＋C)＝sin 2A，而sin(B＋C)＝sin A，所以sin A＝sin 2A，所以sin A＝1，所以∠A＝90°. 答案：90° 三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 20．已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数． (1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值． 解：(1)f(x)＝2sin＋a. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)当x∈时， 2x－∈， 所以x＝0时，f(x)取得最小值， 即2sin＋a＝－2， 故a＝－1. 21．已知函数f(x)＝1＋－xα(α∈R)，且f(3)＝－. (1)求α的值；

(2)求函数f(x)的零点；

(3)判断f(x)在(－∞，0)上的单调性，并给予证明． 解：(1)由f(3)＝－，得1＋－3α＝－，解得α＝1. (2)由(1)，得f(x)＝1＋－x.令f(x)＝0，即1＋－x＝0，也就是＝0，解得x＝.经检验，x＝是1＋－x＝0的根， 所以函数f(x)的零点为. (3)函数f(x)＝1＋－x在(－∞，0)上是减函数．证明如下：
设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝(x2－x1). 因为x1<x2<0，所以x2－x1>0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝1＋－x在(－∞，0)上是减函数． 高中学业水平考试模拟测试卷(三) (时间：90分钟　满分100分) 一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝(　　) A．{1} B．{0，1} C．{－1，0} D．{－1，0，1} 解析：x2－x＝0⇒x(x－1)＝0⇒N＝{0，1}，所以M∩N＝{0，1}． 答案：B 2．已知等比数列{an}的公比为2，则值为(　　) A. B. C．2 D．4 解析：＝q2＝4. 答案：D 3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为(　　) A．－ B. C．± D．1 解析：命题“存在x0∈R，x－1＝0”的否定为“对任意的x∈R，x2－1≠0”． 答案：D 4．直线l过点(1，－2)，且与直线2x＋3y－1＝0垂直，则l的方程是(　　) A．2x＋3y＋4＝0 B．2x＋3y－8＝0 C．3x－2y－7＝0　 D．3x－2y－1＝0 解析：设直线l：3x－2y＋c＝0，因为(1，－2)在直线上，所以3－2×(－2)＋c＝0，解得c＝－7，即直线l的方程为3x－2y－7＝0. 答案：C 5．已知直线的点斜式方程是y－2＝－(x－1)，那么此直线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 解析：因为k＝tan α＝－， 所以α＝π－＝，故选C. 答案：C 6．已知复数z满足zi＝2＋i，i是虚数单位，则|z|＝(　　) A.　 B. C．2 D. 解析：由题意得z＝＝1－2i， 所以|z|＝. 答案：D 7．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象(　　) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：y＝cos 2x→y＝cos(2x＋1)＝cos.故选C. 答案：C 8．下列说法不正确的是(　　) A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．同一平面的两条垂线一定共面 C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 解析：A．一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A正确；

B．由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B正确；

C．由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C正确；

D．由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D不正确．故选D. 答案：D 9．函数f(x)＝x3－2的零点所在的区间是(　　) A．(－2，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 解析：因为f(1)＝13－2＝－1<0，f(2)＝23－2＝6>0.所以零点所在的区间为(1，2)． 答案：C 10．已知等差数列{an}中，a2＝2，a4＝6，则前4项的和S4等于(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a2＋(4－2)d⇒d＝＝2，a1＝a2－d＝2－2＝0，所以S4＝＝2(0＋6)＝12.故选C. 答案：C 11．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是(　　) A．6 B．9 C．18 D．36 解析：由题意可知，几何体是以正视图为底面的三棱柱， 其底面面积S＝×4×＝6，高是3，所以它的体积为V＝Sh＝18.故选C. 答案：C 12．双曲线－＝1的一个焦点为(2，0)，则m的值为(　　) A. B．1或3 C. D. 解析：因为双曲线的焦点为(2，0)，在x轴上且c＝2，所以m＋3＋m＝c2＝4，所以m＝. 答案：A 13．设x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为(　　) A．－10 B．－6 C．－1 D．0 解析：由z＝x－2y得y＝x－，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)， 平移直线y＝x－， 由图象可知，当直线y＝x－过点B时，直线y＝x－的截距最大，此时z最小， 由解得即B(2，4)．代入目标函数z＝x－2y，得z＝2－8＝－6， 所以目标函数z＝x－2y的最小值是－6.故选B. 答案：B 14.＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：
＝ ＝ ＝＝sin 30°＝.故选C. 答案：C 15．小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v，则(　　) A．v＝ B．v＝ C.<v< D．b<v< 解析：设甲地到乙地的距离为s.则他往返甲、乙两地的平均速度为v＝＝， 因为a>b>0，所以>1， 所以v＝>b.v＝<＝. 所以b<v<.故选D. 答案：D 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4＝________． 解析：S4＝＝15. 答案：15 17．若函数f(x)＝loga(x＋m)＋1(a>0且a≠1)恒过定点(2，n)，则m＋n的值为________． 解析：f(x)＝loga(x＋m)＋1过定点(2，n)，则loga(2＋m)＋1＝n恒成立，所以⇒所以m＋n＝0. 答案：0 18．已知函数f(x)＝则f 的值是________． 解析：f ＝log2＝－2， f ＝f(－2)＝3－2＝. 答案：
19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5，4)，则椭圆的方程为______________． 解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，将点(－5，4)代入得＋＝1， 又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，所以a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1. 答案：＋＝1 三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 20．已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点． (1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；

(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程；

(3)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长． 解：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1，0)，因为直线过点P、C， 所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. (2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋2y－6＝0. (3)当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y－2＝x－2， 即x－y＝0. 圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，所以弦AB的长为2 ＝. 21．已知等差数列{an}满足a2＋a5＝8，a6－a3＝3. (1)求数列{an}的前n项和Sn；

(2)若bn＝＋3·2n－2，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由a6－a3＝3得数列{an}的公差d＝＝1，由a2＋a5＝8，得2a1＋5d＝8，解得a1＝， 所以Sn＝na1＋d＝. (2)由(1)可得＝＝－， 所以bn＝＋3·2n－2＝－＋3·2n－2. 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋…＋＋(1＋2＋…＋2n－1)＝ －(＋＋…＋＋＋)＋×＝－－＋×(2n－1)＝3·2n－1－－. 高中学业水平考试模拟测试卷(四) (时间：90分钟　满分100分) 一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，全集U＝{1，2，3}，则∁U(P∩Q)等于(　　) A．{3} B．{2，3} C．{2}　 D．{1，3} 解析：因为全集U＝{1，2，3}，集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，所以P∩Q＝{2}， 所以∁U(P∩Q)＝{1，3}，故选D. 答案：D 2．圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的圆心和半径分别是(　　) A．(2，－3)；

B．(2，－3)；
2 C．(－2，3)；
1 D．(－2，3)；

解析：圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝2，据此可知圆心坐标为(2，－3)，圆的半径为，故选A. 答案：A 3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为(　　) A．－ B. C．± D．1 解析：因为3a＋2b与ka－b互相垂直， 所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0， 因为a⊥b，所以a·b＝0， 所以12k－18＝0，k＝. 答案：B 4．若cos＝，则sin＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：因为cos＝， 所以sin＝sin＝cos＝，故选A. 答案：A 5．已知函数f(x)＝＋，则f(x)的定义域是(　　) A．[－1，2) B．[－1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[－1，2)∪(2，＋∞) 解析：根据题意得解得x≥－1且x≠2，故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)，故选D. 答案：D 6．若双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为y＝3x，则正实数a的值为(　　) A．9 B．3 C. D. 解析：双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，由题意可得＝3，解得a＝，故选D. 答案：D 7．若直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为(　　) A．3x＋2y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0 解析：因为2x－3y＋4＝0的斜率k＝，所以直线l的斜率k′＝－，由点斜式可得l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0，故选A. 答案：A 8．已知＝(1，－1，0)，C(0，1，－2)，若＝2，则点D的坐标为(　　) A．(－2，3，－2) B．(2，－3，2) C．(－2，1，2) D．(2，－1，－2) 解析：设点D的坐标为(x，y，z)，又C(0，1，－2)，所以＝(x，y－1，z＋2)， 因为＝(1，－1，0)，＝2，所以(x，y－1，z＋2)＝(2，－2，0)，即则点D的坐标为(2，－1，－2)．故选D. 答案：D 9．已知平面α，β和直线m，直线m不在平面α，β内，若α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由α⊥β，m∥β，可得m⊥α或m∥α或m与α既不垂直也不平行，故充分性不成立；
由α⊥β，m⊥α可得m∥β，故必要性成立，故选B. 答案：B 10．将函数y＝sin的图象经怎样平移后，所得的图象关于点成中心对称(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：将函数y＝sin的图象向左平移φ个单位，得y＝sin的图象，因为该图象关于点成中心对称，所以2×＋2φ＋＝kπ(k∈Z)，则φ＝－(k∈Z)，当k＝0时，φ＝－，故应将函数y＝sin的图象向右平移个单位，选B. 答案：B 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，c＝，b＝3a，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D. 解析：已知C＝，c＝，b＝3a，所以由余弦定理可得7＝a2＋b2－ab＝a2＋9a2－3a2＝7a2，解得a＝1，则b＝3， 所以S△ABC＝absin C＝×1×3×＝.故选B. 答案：B 12．函数y＝的图象大致是(　　) 解析：因为y＝的定义域为{x|x≠0}，所以排除选项A；
当x＝－1时，y＝>0，故排除选项B；
当x→＋∞时，y→0，故排除选项D，故选C. 答案：C 13．若实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最大值是(　　) A. B．4 C．9 D．10 解析：作出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示， 因为A(0，－3)，C(0，2)，所以|OA|>|OC|.联立解得B(3，－1)．因为x2＋y2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，且|OB|2＝9＋1＝10，所以z＝x2＋y2的最大值是10.故选D. 答案：D 14．已知等差数列{an}的前n项和是Sn，公差d不等于零，若a2，a3，a6成等比数列，则(　　) A．a1d>0，dS3>0 B．a1d>0，dS3<0 C．a1d<0，dS3>0 D．a1d<0，dS3<0 解析：由a2，a3，a6成等比数列，可得a＝a2a6，则(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，即2a1d＋d2＝0， 因为公差d不等于零，所以a1d<0， 2a1＋d＝0，所以dS3＝d(3a1＋3d)＝d2>0.故选C. 答案：C 15．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为(　　) A．90° B．60° C．45° D．0° 解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，点A，B，C重合为点M，得到三棱锥M-DEF，如图．因为I、J分别为BE、DE的中点，所以IJ∥侧棱MD，故GH与IJ所成的角等于侧棱MD与GH所成的角．因为∠AHG＝60°，即∠MHG＝60°，所以GH与IJ所成的角的度数为60°，故选B. 答案：B 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则公比q＝______，数列{an}的前4项的和为_______． 解析：公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，所以a＝－， 解得a2＝－，a3＝－q，a4＝－q2， 又a2，a4，a3成等差数列，故2a4＝a2＋a3，解得q＝－，a1＝1，由Sn＝可得S4＝. 答案：－　 17．设函数f(x)(x∈R)满足|f(x)－x2|≤，|f(x)＋1－x2|≤，则f(1)＝________． 解析：由|f(x)－x2|≤，得－≤f(x)－x2≤. 由|f(x)＋1－x2|≤，得－≤f(x)－x2＋1≤，即－≤f(x)－x2≤－， 所以f(x)－x2＝－， 则f(1)－1＝－，故f(1)＝. 答案：
18．若半径为10的球面上有A、B、C三点，且AB＝8，∠ACB＝60°，则球心O到平面ABC的距离为________． 解析：在△ABC中，AB＝8，∠ACB＝60°，由正弦定理可求得其外接圆的直径为＝16，即半径为8，又球心在平面ABC上的射影是△ABC的外心，故球心到平面ABC的距离、球的半径及三角形外接圆的半径构成了一个直角三角形，设球面距为d，则有d2＝102－82＝36，解得d＝6.故球心O到平面ABC的距离为6. 答案：6 19．已知动点P是边长为的正方形ABCD的边上任意一点，MN是正方形ABCD的外接圆O的一条动弦，且MN＝，则·的取值范围是________． 解析：如图，取MN的中点H，连接PH， 则＝＋＝－，＝＋. 因为MN＝，所以·＝2－2＝2－≥－，当且仅当点P，H重合时取到最小值．当P，H不重合时，连接PO，OH，易得OH＝， 则2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝2＋－2||||·cos∠POH＝2＋－||·cos∠POH≤2＋＋||≤＋，当且仅当P，O，H三点共线，且P在A，B，C，D其中某一点处时取到等号， 所以·＝2－≤＋1， 故·的取值范围为. 答案：
三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 20．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B. (1)求角C的大小；

(2)若△ABC的面积为2，c＝2，求△ABC的周长． 解：(1)由sin2 A＋sin2 B－sin2 C＝sin Asin B及正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理得cos C＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)由(1)知C＝. 由△ABC的面积为2得ab·＝2，解得ab＝8， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab×＝(a＋b)2－3ab＝12， 所以(a＋b)2＝36，a＋b＝6， 故△ABC的周长为6＋2. 21．如图，直线l与椭圆C：＋＝1交于M，N两点，且|MN|＝2，点N关于原点O的对称点为P. (1)若直线MP的斜率为－，求此时直线MN的斜率k的值；

(2)求点P到直线MN的距离的最大值． 解：(1)设直线MP的斜率为k′，点M(x，y)，N(s，t)， 则P(－s，－t)，k′＝－，且＋＝1，＋＝1， 所以y2＝2－，t2＝2－. 又k′·k＝·＝＝＝－. 且k′＝－，所以k＝1. (2)当直线MN的斜率k存在时，设其方程为y＝kx＋m， 由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0， 则Δ＝8(4k2－m2＋2)>0， x1＋x2＝，x1·x2＝， 由|MN|＝|x1－x2|＝·＝2， 化简得m2＝. 设点O到直线MN的距离为d，则P到MN的距离为2d， 又d＝， 则4d2＝＝ ＝8－<8， 所以0<2d<2. 当直线MN的斜率不存在时， 则M(－，1)，N(－，－1)， 则P(，1)，此时点P到直线MN的距离为2. 综上，点P到直线MN的距离的最大值为2. 高中学业水平考试模拟测试卷(五) (时间：90分钟　满分100分) 一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∪B＝(　　) A．{2} B．{6} C．{1，3，4，5，6} D．{1，2，3，4，5} 解析：A∪B＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，故选D. 答案：D 2．设p：log2x2>2，q：x>2，则p是q成立的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由log2x2>2得，x2>4，解得x<－2或x>2，所以p是q成立的必要不充分条件．故选A. 答案：A 3．角θ的终边经过点P(4，y)，且sin θ＝－，则tan θ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：因为角θ的终边经过点P(4，y)， 且sin θ＝－＝，所以y＝－3，则tan θ＝＝－，故选C. 答案：C 4．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有(　　) A．8桶 B．9桶 C．10桶 D．11桶 解析：易得第一层有4桶，第二层最少有3桶，第三层最少有2桶，所以至少共有9桶，故选B. 答案：B 5．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8等于(　　) A．45 B．75 C．180 D．360 解析：由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，得到a5＝90，则a2＋a8＝2a5＝180.故选C. 答案：C　 6．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y＋1＝0平行，则m的值为(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 解析：因为直线2x＋y＋1＝0的斜率等于－2，且过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以kAB＝－2，所以＝－2，解得m＝－8，故选A. 答案：A 7．已知向量a＝(，0)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若(a－2b)⊥c，则k＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 解析：由a＝(，0)，b＝(0，－1)，得a－2b＝(，2)，若(a－2b)⊥c，则(a－2b)·c＝0，所以k＋2＝0，所以k＝－2，故选B. 答案：B 8．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(　　) A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂β C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β　 D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β 解析：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：
在A中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故A错误；

在B中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故B错误；

在C中，若l⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故C正确；

在D中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误，故选C. 答案：C 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2A＋sin2B－sin2C＝0，a2＋c2－b2－ac＝0，c＝2，则a＝(　　) A. B．1 C. D. 解析：因为sin2A＋sin2B－sin2C＝0， 所以a2＋b2－c2＝0，即C为直角， 因为a2＋c2－b2－ac＝0， 所以cos B＝＝，B＝， 因此a＝ccos ＝1.故选B. 答案：B 10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝2n＋1＋λ，则λ的值为(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 解析：根据题意，当n＝1时，2S1＝2a1＝4＋λ，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1. 因为数列{an}是等比数列，所以a1＝1，故＝1，解得λ＝－2.故选C. 答案：C 11．若以双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点和点(1，)为顶点的三角形为直角三角形，则b等于(　　) A. B．1 C. D．2 解析：由题意，双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为(－c，0)、(c，0)，因为两焦点和点(1，)为顶点的三角形为直角三角形，所以(1－c，)·(1＋c，)＝0，所以1－c2＋2＝0，所以c＝， 因为a＝，所以b＝1.故选B. 答案：B 12．已知函数f(x)＝2sin，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析：由题意得g(x)＝2sin[2(x－)＋]＝2sin，令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，得x＝，所以函数g(x)图象的一条对称轴方程为x＝.故选C. 答案：C 13．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段BC的中点，点M是直线BD1上异于B，D1的点，则平面DEM可能经过下列点中的(　　) A．A B．C1 C．A1 D．C 解析：连接A1D，A1E，因为A1D1∥BE，所以A1，D1，B，E四点共面．设A1E∩BD1＝M， 显然平面DEM与平面A1DE重合，从而平面DEM经过点A1.故答案为C. 答案：C　 14．已知x、y满足则3x－y的最小值为(　　) A．4 B．6 C．12 D．16 解析：由约束条件作出可行域如图， 联立解得A(2，2)，令z＝3x－y，化为y＝3x－z，由图可知，当直线y＝3x－z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为4.故选A. 答案：A 15．若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则的最大值为(　　) A. B. C. D．1 解析：由x＋4y－xy＝0可得x＋4y＝xy，左右两边同时除以xy得＋＝1，求的最大值，即求＝＋的最小值， 所以×1＝×＝＋＋＋≥2＋＋＝3，当且仅当＝时取等号，所以的最大值为.所以选A. 答案：A 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．函数f(x)＝＋－1的定义域是________． 解析：要使函数f(x)有意义，则即解得－3≤x≤1，故函数的定义域为[－3，1]． 答案：[－3，1] 17．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，，2，则其外接球的半径为________，表面积为________． 解析：设长方体的外接球的半径为R，则长方体的体对角线长就等于外接球的直径，即2R＝，解得R＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝8π. 答案：　8π 18．在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，－1)的圆C和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的标准方程为________． 解析：因为圆心在y＝－2x上，所以可设圆心坐标为(a，－2a)，又因为圆过A(2，－1)，且圆C和直线x＋y＝1相切，所以＝，解得a＝1，所以圆半径r＝＝，圆心坐标为(1，－2)，所以圆方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. 答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝2 19．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝＋m，若函数f(x)有5个零点，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意，函数f(x)是奇函数，f(x)有5个零点，其中x＝0是1个，只需x>0时有2个零点即可，当x>0时，f(x)＝＋m，转化为函数y＝－m和f(x)＝的图象交点个数即可，画出函数的图象，如图所示． 结合图象可知只需<－m<1， 即－1<m<－. 答案：
三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 20．在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(2c－a)cos B－bcos A＝0. (1)求角B的大小；

(2)已知c＝2，AC边上的高BD＝，求△ABC的面积S的值． 解：(1)因为(2c－a)cos B－bcos A＝0， 所以由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B－sin Bcos A＝0， 所以2sin Ccos B－sin(A＋B)＝0， 因为A＋B＝π－C且sin C≠0， 所以2sin Ccos B－sin C＝0，即cos B＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为S＝acsin∠ABC＝BD·b， 代入c，BD＝，sin∠ABC＝，得b＝a， 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac·cos∠ABC＝a2＋4－2a. 代入b＝a，得a2－9a＋18＝0，解得或 又因为△ABC是锐角三角形， 所以a2<c2＋b2，所以a＝3， 所以S△ABC＝acsin∠ABC＝×2×3×＝. 21．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其右顶点是A(2，0)，离心率为. (1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l与椭圆C交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标． (1)解：因为椭圆C的右顶点是A(2，0)，离心率为， 所以a＝2，＝，所以c＝1， 则b＝， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)证明：当直线MN斜率不存在时，设MN：x＝m， 与椭圆方程＋＝1联立得：|y|＝，|MN|＝2. 设直线MN与x轴交于点B，则|MB|＝|AB|，即＝2－m， 所以m＝或m＝2(舍)， 所以直线l过定点. 当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：y＝kx＋n(k≠0)， 与椭圆方程＋＝1联立，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝，Δ＝(8kn)2－4(4k2＋3)(4n2－12)>0，k∈R. 所以y1y2＝(kx1＋n)(kx2＋n)＝k2x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2， 由·＝0，则(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0， 所以7n2＋4k2＋16kn＝0， 所以n＝－k或n＝－2k， 所以直线MN：y＝k或y＝k(x－2)， 所以直线过定点或(2，0)(舍去)． 综上知，直线过定点.