二、随机变量及其概率分布 这一部分，数学一、数学三和数学四的内容完全一致． Ⅰ、考试大纲要求 ㈠ 考试内容 随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 ㈡ 考试要求 概率分布的概念，常用概率分布，随机变量函数的分布． (1) 理解概率分布的概念，掌握其三种基本形式：离散型概率分布，连续型概率密度，分布函数；
掌握概率分布的特点、性质，会根据概率分布计算有关事件的概率；

(2) 掌握下列概率分布：0-1分布、二项分布、超几何分布和泊松分布等离散型概率分布，以及均匀分布、指数分布和正态分布等连续型概率分布，包括分布的表达式、特点、性质、数字特征和典型应用，以及与其他分布的关系；

(3) 理解0-1分布、二项分布、超几何分布和泊松分布等离散型概率分布之间的关系；

(4) 会根据随机自变量的分布，求其函数的分布的方法． Ⅱ 考试内容提要 ㈠ 随机变量及其概率分布 1、基本概念 (1) 随机变量 随机变量，直观上指取值带随机性的变量，数学上指基本事件（样本点）的函数．实际中遇到的随机变量有离散型和连续型两大类：可能值个数有限或可数的随机变量称做离散型的；
连续型随机变量的值域是数轴上的有限或无限区间．通常用后面几个大写拉丁字母（如）表示随机变量． (2) 概率分布 随机变量X的概率分布，指它的“值域”及它取各可能值或在值域内各部分取值的“概率”二者的总称．实际中遇到的概率分布有离散型和连续型两大类，分别描绘离散型和连续型随机变量． 2、离散型随机变量的概率分布 设X是离散型随机变量，是它的一切(m个或可数个)可能值的集合．离散型随机变量X的概率分布有如下一些常用的表示方法． ；

． 其中，．对于任意实数a<b , 有 ， (2.1) 其中Σ表示对于满足的一切求和． 3、连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量X的概率分布，由一非负函数——概率密度函数决定：对于任意实数，有 ． （2.2） 严格地说，只有有概率密度的随机变量才称做连续型的． 概率密度的基本性质是：
． 此外，任意连续型随机变量取任何给定值的概率等于：． 4、随机变量的分布函数 分布函数可以描绘任何随机变量的概率分布．不过，有简单的函数式的分布函数很少，因此分布函数不便用于处理具体的随机变量，多用于一般性研究． (1) 定义 随机变量的分布函数定义为．它在点处的值，是事件的概率，即在上取值的概率． (2) 性质 性质1)～3)为基本性质． 1) ，是单调不减函数；

2) 右连续：． 3) ==0， ==1． 4) 根据分布函数求事件的概率，例如 (2.3) 5) 连续型随机变量X的分布函数为 ， (2.4) 其中是的概率密度．连续型随机变量的分布函数是连续函数，对于几乎一切，有 ． (2.5) 6) 离散型随机变量X的分布函数为 ， (2.6) 其中Σ表示对于不大于的一切求和．离散型随机变量的分布函数是阶梯函数． ㈡ 常用概率分布 1、常用概率分布表 考试大纲要求掌握的离散型概率分布有：0-1分布，二项分布，超几何分布和泊松分布，考试大纲要求掌握的连续型概率分布有：均匀分布，正态分布和指数分布． 表2.1 常用离散型概率分布（） 分布名称 P{X=k} 可 能 值k 参 数 数学期望 方 差 0-1 和 1和0 二项 0,1,…, n， 超几何 0,1,…, 泊松 自然数 表2.2 常用连续型概率分布 分布名称 概率密度 值域 参 数 数学期望 方 差 均匀 a，b 正态 指数 1/ 2、常用概率分布的典型应用 (1) 0-1分布 只有“成功”和“失败” 两种对立结局的试验称做伯努利试验；
伯努利试验成功的次数X服从0-1分布，参数——成功的概率，——失败的概率．例如产品抽样验收：抽到不合格品——成功，抽到合格品──失败；
射击：命中──成功，脱靶──失败…… (2) 二项分布 以表示X服从参数为的二项分布． 1) 独立重复试验成功次数的分布 设X是n次伯努利试验成功的次数，则，参数是每次试验成功的概率．例如，n次独立重复射击命中的次数X服从二项分布，参数是每次射击的命中率． 2) 自有限总体的还原抽样 设总体含N个个体，其中M个具有某种特征A（如不合格品）．设X是n次还原抽样具有特征A的个体出现的次数，则布，其中（如不合格品率）． (3) 超几何分布 设总体含N个个体，其中M个具有特征A，则n次非还原抽样具有特征A的个体出现的次数X服从参数为的超几何分布． (4) 泊松分布 1) 二项分布概率的近似计算 设服从二项分布，参数充分大、p充分小而p适中，则有如下近似公式——泊松定理：
(2.7) 实际中，当时即可利用此式，不过应尽量地大，否则近似效果不佳． 2) 随机质点流 我们把源源不断地出现在随机时刻的质点形成的“流”称做随机质点流．例如，到达商店的顾客、用户对商品质量的投诉、暴雨、交通事故、重大刑事案件、大震后的余震、设备的故障LL所形成的随机质点流．以表示在长为的时间内出现的随机质点的个数，则服从参数为的泊松分布：
， (2.8) 其中是单位时间出现的随机质点的平均个数，称做质点流的强度． (5) 均匀分布 几何型概率的数学描述．向区间上均匀地掷随机点试验，产生均匀分布．区间上均匀分布的分布函数有简单的表达式 (2.9) (6) 指数分布 设是在服从参数为的泊松分布的随机质点流中，相继出现的两个随机质点时间间隔——等待时间（例如，设备无故障运转的时间、设备的使用寿命或维修时间、设备相继出现两次故障的时间间隔LL），则等待时间服从参数为的指数分布．参数为的指数分布函数有简单的数学表达式 (2.10) (7) 正态分布 以表示随机变量X服从参数为的正态分布．以和分别表示的概率密度和分布函数，附表1是的数值表；
．附表2的最下边一行是标准正态分布的水平双侧分位数（见附表2），满足 ． (2.11) 1）对于任意常数a和，若X～，则；

2）若X～和Y～相互独立，则 ；

3）许多自然现象和社会现象都可以用正态分布律来描述．许多概率分布的极限分布是正态分布（中心极限定理）． 4）许多重要分布，如分布，分布和分布都是正态变量的函数的分布． 3、 常用概率分布之间的关系 (1) 与二项分布的关系 1) 设随机变量独立且都服从参数为p的0-1分布，则 ~． 2) 泊松定理 设，则当充分小而n充分大且适中时，X近似服从参数为的泊松分布． 3) 棣莫弗-拉普拉斯定理 设，则当n充分大时，近似服从正态分布． 4) 自有限总体的非还原抽样产生超几何分布，而还原抽样则产生二项分布．当总体容量和抽样次数充分大，但相对N较小时，超几何分布和二项分布的概率相近：
， (2.12) 其中p = M / N．实际中，当和抽样次数充分大且时可以利用此近似公式． (2) 与正态分布的关系 1) 许多重要分布，如分布，分布和分布都是正态变量函数的分布． 2) 许多概率分布的极限分布是正态分布．例如，若，则当充分大时近似服从正态分布（棣莫弗-拉普拉斯定理）． 3) 在相当广泛的条件下，大量独立同分布随机变量之和近似服从正态分布（列维-林德伯格定理）． ㈢ 随机变量的函数的概率分布 设, 其中是连续函数或分段连续函数．要求根据的概率分布求的概率分布． 1、一般情形 设法将的概率分布通过的概率分布表示：
． 用这种方法，在许多情形下可以求出的概率分布． 2、离散型情形 若已知，且函数的一切可能值两两不等，则(i =1,2,…)就是Y的概率分布，否则将各相等的值对应的概率相加，即可得到的概率分布． 3、连续型情形 一般，先求的分布函数，再对求导数，即可得到的概率密度f (y)． 特别，设是严格单调的连续函数，是函数的值域，是的惟一反函数；
是连续型随机变量，其概率密度为，则也是连续型随机变量，其概率密度通过表示为 (2.13) Ⅲ、典型例题分析 〖填空题〗 例2.4（连续型分布） 假设X是在区间（0,1）内取值的连续型随机变量，而．已知，则满足的常数k= ． 例2.11（泊松分布） 设一本书的各页的印刷错误个数X服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p= ． 分析 以X表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以表示随意抽取的第k页上印刷错误的个数，由条件知X和服从同一泊松分布，未知分布参数决定于：
于是=2．由于随机变量显然相互独立，因此 例2.12（分布函数） 设10件产品中恰好有2件不合格品，从中一件一件地抽出产品直到抽到合格品为止，则最后抽出产品件数X的分布函数为 ． 分析 先求X的概率分布．易见，X有1,2,3等3个可能值，且 于是，X的分布函数为 例2.18（由分布函数求事件的概率） 设随机变量X的分布函数为 则P= ． ． 〖选择题〗 2.19（分布函数） 设随机变量X和Y相互独立，其分布函数相应为和，则随机变量的分布函数为 (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． [ C ] 分析 由分布函数的定义以及X和Y独立性，知随机变量的分布函数为 例2.25（正态分布） 设随机变量，则随的增大，概率 (A) 单调增大． (B) 单调减小． (C) 保持不变． (D) 增减不定． [ C ] 分析 应选(C)．因为对于任意和，为常数：（查表） ． 例2.27（分布函数） 假设X是只有两个可能值的离散型随机变量，Y是连续型随机变量，且X和Y相互独立，则随机变量X+Y的分布函数 (A) 是阶梯函数． (B) 恰好有一个间断点． (C) 是连续函数． (D) 恰好有两个间断点． [ C ] 分析 (C)．事实上，设X的概率分布为：；
而Y的分布函数为．因为X和Y相互独立，故由全概率公式，有 由此可见X+Y是的分布函数是连续函数． 〖解答题〗 例2.30(分布函数) 一个正立方体容器盛有3/4的液体, 假设在其6个侧面（含上、下两个底面）的随机部位出现了一个小孔，液体经此小孔流出．求剩余液体液面的高度X的分布函数． 解 不妨假设正立方体容器的边长为１．引进事件：，即事件A表示“小孔出现在容器的下底面”．由于小孔出现在正立方体的6个侧面是等可能的，易见． 从而，．对于任意x＜0，显然０；
而．由于小孔出现的部位是随机性，可见对于任意，有 该式中4x表示容器的四个侧面x以下的总面积，而容器6个侧面的总面积为６． 对于任意x≥0.75，显然．于是，最后得 例2.31（分布函数） 假设一装置启动后无故障工作的时间（小时）服从指数分布，平均无故障工作的时间为2百小时；
每次启动（在无故障的情形下）只需工作10小时便自行关机．试求该装置每次启动无故障工作的时间Y的分布函数． 解 因服从指数分布，且(百小时)，故分布参数=0.5，故的分布函数为 易见，．设是Y的分布函数，则对于y<0，=0；
对于y>0.1，=1；
对于,有 于是，的分布函数为 例2.33（有限几何分布） 设试验E是一伯努利试验，其成功的概率为p, 而失败的概率为q=1－p．现在将E独立地一次接一次地进行直到成功或完成n次试验为止，其中n≥2是给定的自然数．试求所作试验次数X的概率分布． 解 试验次数X是一随机变量．为求X的概率分布，引进事件：={第j次试验成功}（j=1,2,…,n）．显然P() = p．而由于试验的独立性，知事件…相互独立． 设试验进行到成功或n次为止，则X的可能值为1,2,…,n 且；
对于2≤k≤n－1， 于是，X的概率分布为有限几何分布：
． 例2.35（泊松定理） 假设某自动生产线上产品的不合格品率为0.02，试求随意抽取的30件中， (1) 不合格品不少于两件的概率；

(2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的概率． 解 以表示抽到的30件产品中不合格品的件数，则服从参数为（30，0.02）的二项分布：
1) 不合格品不少于两件的概率 2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率 例2.36（二项分布） 假设有10台设备，每台的可靠性（无故障工作的概率）为0.92，每台出现故障时需要由一人进行调整．问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？ 解 由条件知每台设备出现故障的概率为0.08．以表示10台设备中同时出现故障的台数，则服从参数为（10，0.08）的二项分布．需要安排的值班人数k应满足条件：．需要对不同的k进行试算．首先，设k=１和k＝２，相应得 因此，至少需要安排2个人值班． 例2.37（二项分布） 假设一部机器在一个工作日因故停用的概率为0.2．一周使用5个工作日可创利润10万元；
使用4个工作日可创利润7万元；
使用3个工作日只创利润2万元；
停用3天及多于3天亏损2万元．求所创利润的概率分布． 解 设X——一周5个工作日停用的天数；
Y——一周所创利润．X服从参数为(5,0.2)的二项分布．因此，有 一周所创利润Y是X的函数：
． 例2.38(二项分布) 某生产线平均每三分钟生产一件产品，假设不合格品率为0.01．问为使至少出现一件不合格品的概率超过95%最少需要多长时间？ 解 设n——至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n件产品中不合格品的件数服从参数为（n，0.01）的二项分布；
按题意，n应满足条件 于是，为至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要298.0729×3895分，将近14小时55分． 例3.41（复合泊松分布） 假设一日内到过某商店的顾客数服从参数为的泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为．分别以和表示一日内到过该商店的顾客中购货和未购货的人数，分别求和 的概率分布． 解 由条件知+是一日内到过该商店的顾客的人数，服从参数为的泊松分布．设X——一日内到过该商店的顾客中购货的人数．由条件知，在一日内有个顾客到过该商店的条件下，购货人数的条件概率分布为 由全概率公式可见，对于m=0,1,2,…，有 于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数服从参数为的泊松分布．同理，服从参数为的泊松分布． 例2.44（随机质点流） 假设一商店每周（7天）平均售出56台电冰箱，其中因为质量问题要求返修的占5‰ ．试求一个季度（90天）售出的电冰箱中返修件数X的概率分布． 解 以表示=90天内售出的电冰箱台数．可以假设服从参数为的泊松分布．由条件知=56，从而=8（台）．这样，服从参数为=8t的泊松分布：
． 随机变量X的可能值为自然数m=0,1,2,…．记．由全概率公式，有 其中．因此返修件数X服从参数为3.6的泊松分布：
． 例2.47（正态分布）假设随机变量X服从正态分布，求满足的常数a． 解 由条件知 其中是标准正态分布函数．由熟知的事实，可见 例2.48（正态分布） 假设随机测量的误差，求在100次独立重复测量中，至少三次测量的绝对误差大于19.6的概率的近似值． 解 由条件知．设为100次独立重复测量中事件出现的次数，则 ． 易见服从参数为(100 , 0.05)的二项分布，近似服从参数为5的泊松分布．因此 〖证明题〗 例2.52（分布函数） 设和都是随机变量的分布函数，a和b是非负常数且，证明具有随机变量的分布函数的基本性质． 证明 只需验证满足分布函数的三条基本性质．由条件知a和b非负且a+b =1．由于和都是分布函数，可见对于任意，有 对于任意实数，由于，可见 即单调不减．由和的右连续性，可见也右连续．最后， 于是也是分布函数． 例2.53（分布函数） 假设随机变量X服从参数为的指数分布，是其分布函数，证明随机变量Y=在区间(0,1)上服从均匀分布． 证明 指数分布函数为设为Y=的分布函数．由于分布函数的值域为(0,1)，可见当时；
当时．设，有 于是，是区间(0,1)上的均匀分布函数，从而Y=在区间(0,1)上服从均匀分布．