第 2 讲

　三角恒等变换与解三角形

　(小题 )

　热点一

　三角恒等变换

　1.三角求值 “ 三大类型 ”

　“ 给角求值 ”“ 给值求值 ”“ 给值求角 ” .

　2.三角恒等变换 “ 四大策略 ”

　(1)常值代换：常用到

　“ 1” 的代换， 1＝ sin2θ＋ cos2θ＝tan 45 等°.

　(2)项的拆分与角的配凑：如

　sin2α＋ 2cos2α＝(sin 2α＋cos2 α)＋ cos2α， α＝ (α－β)＋ β等 .

　(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次

　.

　(4)弦、切互化 .

　例 1

　(1)(2019

　·榆林模拟 )若 α，β都是锐角， 且 cos α＝

　5，sin( α＋ β)＝

　3，则 cos β等于 ()

　5

　5

　2

　5

　2

　5

　A. 25

　B. 5

　25或25

　5或 5

　C. 25

　5

　D. 5

　25

　答案

　A

　解析

　因为 α， β都是锐角，且 cos α＝ 5

　<1，

　5

　2

　所以

　π

　π

　3

　<α< ，

　2

　1 3 2

　又 sin(α＋β)＝ 5，而 2<5< 2 ，

　3π

　5π

　所以

　4 <α＋β< 6 ，

　4

　所以 cos(α＋ β)＝－

　1－ sin2 α＋ β＝－ 5，

　sin α＝

　1－ cos2α＝ 25 5，

　cos β＝ cos(α＋ β－ α)＝ cos(α＋ β)cos α＋ sin( α＋ β)sin α

　5

　25 .

　5， sin( α－ β)＝－

　10， α，β均为锐角，则 β等于 ()

　(2)已知 sin α＝ 5

　10

　5π

　π

　A. 12

　B. 3

　π

　π

　C.4

　D. 6

　答案

　C

　解析

　因为 α， β均为锐角，所以－ π

　π

　2<α－β<2.

　又 sin(α－β)＝－

　10，所以 cos(α－ β)＝3

　10

　10

　10 .

　又 sin α＝

　5，所以 cos α＝ 2 5 ，

　5

　5

　所以 sin β＝sin[ α－ (α－ β)]

　sin αcos(α－ β)－ cos αsin(α－β)

　5

　3

　10

　2

　5

　10

　2

　＝

　5

　×

　10

　－

　5

　× －

　10

　＝

　2 .

　π

　所以 β＝

　.

　4

　(3)

　3

　－

　1

　＋ 64sin220°＝ ________.

　2

　2

　sin 20

　° cos 20°

　答案

　32

　解析

　因为

　3

　－

　1

　3cos220°－ sin 220°

　＝

　sin2 20°cos220

　°

　sin2 20

　° cos220°

　3cos 20 ＋°sin 20

　°3cos 20 －°sin 20

　°

　＝

　1sin240°

　4

　2cos 20°－ 30°2cos 20°＋ 30°

　1sin240°

　4

　＝

　16cos 10 cos° 50

　°16sin 80

　°

　sin240

　°

　＝

　°

　sin 40

　32sin 40 cos° 40

　°

　＝

　sin 40

　°

　＝

　32cos 40

　°，

　所以

　3

　－

　1

　1

　(1－ cos 40 )°＝ 32.

　2

　2

　＋ 64sin220°＝ 32cos 40 ＋°64×

　sin 20° cos 20°

　2

　跟踪演练 1

　π

　3，则 cos

　2 018 π

　(1)已知 sin

　－α＝

　2α＋

　等于()

　6

　3

　3

　2

　1

　A. 3

　B. 3

　2

　1

　C.－3

　D. －3

　答案

　D

　2 018 π

　2π

　解析

　cos 2α＋

　3

　＝ cos

　2α＋

　＋ 672π

　3

　＝ cos

　2α＋

　2π

　3

　，

　∵ sin

　π

　＝ cos

　π

　3

　－ α

　＋α

　＝

　3

　，

　6

　3

　2 018 π

　2π

　∴ cos

　2α＋

　3

　＝ cos 2α＋ 3

　2cos2 α＋ π－1＝ 2－ 1＝－ 1.

　333

　(2)(2019 吕·梁模拟 )已知 α∈ 0，

　π， β∈

　0，

　π， tan α＝

　cos 2β ，则 (

　)

　2

　2

　1－ sin 2β

　π

　π

　A. α＋β＝

　2

　B. α－ β＝4

　π

　π

　C.α＋β＝ 4

　D. α＋ 2β＝ 2

　答案

　B

　解析

　tan α＝

　cos 2β ＝

　2β－ sin2β

　＝ cos β＋ sin β cos β－sin β＝cos β＋ sin β

　cos

　1－ sin 2β cos2β＋ sin2β－

　2sin βcos β

　cos β－ sin β2

　cos β－ sin β

　1＋ tan β

　π

　α∈

　π

　， β∈

　π

　π

　π

　＝

　＝ tan

　＋ β，又因为

　0，2

　0， 2

　，所以 α＝ ＋ β，即 α－ β＝

　1－ tan

　β

　4

　4

　4.

　热点二

　利用正弦、余弦定理解三角形

　a

　b

　c

　1.正弦定理：在 △ ABC 中， sin A＝ sin B＝ sin C＝ 2R(R 为 △ ABC 的外接圆半径变形： a＝ 2Rsin A， b＝ 2Rsin B， c＝ 2Rsin C， sin A＝ a ， sin B＝ b ， sin C＝

　2R

　2R

　sin A∶ sin B∶ sin C 等 .

　2.余弦定理：在 △ ABC 中， a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A.

　b2＋ c2 －a2

　变形： b2＋ c2－ a2＝ 2bccos A， cos A＝

　.

　

　).

　， a∶ b∶c＝ 2R

　1

　1

　1

　3.三角形的面积公式：

　S＝ 2absin C＝2acsin B＝ 2bcsin A.

　例 2

　(1)(2019 ·东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考

　)在△ ABC 中， A，B，

　π → →

　C 所对的边分别为

　a，b， c， B＝ 3， AB·BC＝－ 2，且满足 sin A＋ sin C＝ 2sin B，则该三角形

　的外接圆的半径

　R 为 (

　)

　4

　3

　2

　3

　A. 3

　B.

　3

　C.

　3

　D.2

　答案

　B

　解析

　由题意，因为

　→ →

　1

　AB·BC＝ accos(π－ B)＝－ ac＝－ 2，所以 ac＝4.

　2

　由余弦定理得

　b2＝a2＋c2－ 2accos B.

　又因为 sin A＋ sin C＝ 2sin B，所以 a＋ c＝ 2b，

　所以

　a＋c

　2

　4

　＝ (a＋ c)2－ 3ac，

　所以

　3 a＋ c 2

　4

　＝12，所以 (a＋c)2＝ 16，所以 a＋ c＝ 4，

　所以 b＝ 2，所以

　2R＝ b ＝

　2 ＝ 4

　3，

　sin B

　π

　3

　sin 3

　3

　所以R＝ 3.

　(2)(2019 葫·芦岛调研 )△ ABC 的周长为

　10＋ 2 7，且满足 sin A∶ sin B∶ sin C＝ 2∶ 3∶

　7，则

　△ ABC 的面积为 (

　)

　A.6

　3

　B.4

　7

　C.8

　7

　D.12

　答案

　A

　解析

　由正弦定理及

　sin A∶sin B∶ sin C＝ 2∶3∶

　7，

　可得 a∶ b∶ c＝ 2∶ 3∶ 7，

　于是可设 a＝ 2k， b＝ 3k，c＝ 7k( k>0) ，

　由余弦定理可得

　cos B＝

　a2＋c2－ b2

　4k2＋ 7k2－ 9k2

　7

　3 21

　.

　2ac

　＝

　2× 2k· 7k

　＝

　， ∴ sin B＝ 1－cos2B＝

　14

　14

　又 2k＋ 3k＋ 7k＝ 10＋ 2 7，∴ k＝ 2，即 a＝ 4， c＝2 7，

　∴ S△ABC

　1

　1

　3

　21

　＝ acsin B＝

　2

　·4·2 7·

　＝6 3，

　2

　14

　即 △ABC 的面积为 6

　3.

　跟踪演练 2

　(1)在△ ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为

　a，b， c.若△ ABC 的面积为 S，且

　a＝ 1,4S＝ b2＋ c2－ 1，则△ ABC 外接圆的面积为 (

　)

　π

　A.4 π B.2π C.π D.2

　答案

　D

　解析

　由余弦定理得，

　b2＋ c2 － a2＝ 2bccos A，a＝ 1，

　所以 b2 ＋c2 －1＝ 2bccos A，

　又 S＝1bcsin A,4S＝b2 ＋ c2－1， 2

　1

　所以有 4× 2bcsin A＝2bccos A，

　π

　即 sin A＝cos A，所以 A＝ ，

　4

　由正弦定理得，

　1

　＝2R，得 R＝

　2，

　π

　2

　sin4

　π

　所以 △ABC 外接圆的面积为

　2.

　(2)(2019 广·州模拟 )在△ ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为

　a的取

　a， b， c，若 A＝ 3B，则 b

　值范围是 ()

　A.(0,3)

　B.(1,3)

　C.(0,1]

　D.(1,2]

　答案

　B

　解析

　A＝ 3B?

　sin A＝ sin 3B＝ sin 2B＋ B ＝ sin 2Bcos B＋ cos 2Bsin B

　sin B sin Bsin B

　sin B

　2sin Bcos2B＋cos 2Bsin B＝2cos2B＋ cos 2B＝ 2cos 2B＋ 1， sin B

　即 ab＝sinsin AB＝ 2cos 2B＋ 1，

　又 A＋ B∈(0 ，π)，即 4B∈(0， π)? 2B∈ 0， π? cos 2B∈ (0,1)， ∴a∈ (1,3).

　2b

　热点三

　正弦、余弦定理的实际应用

　1.用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题

　或物理问题等

　.

　2.解决三角形应用题的基本思路

　画图

　解三角形

　检验

　实际问题 ――→数学问题 ―――→ 数学问题的解 ――→ 实际问题的解 .

　3.用正、余弦定理解决问题的一般步骤：

　(1)选定或确定要创建的三角形，

　要首先确定所求量所在的三角形，

　若其他量已知， 则直接解；

　若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解

　.

　(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理

　.

　例 3

　(1) 某游轮在 A 处看灯塔

　B 在 A 的北偏东

　75°的方向上，距

　A 12

　6 海里处，灯塔

　C 在

　A 的北偏西

　B 在南偏东

　

　30°的方向上，距

　A 8

　3 海里处，游轮由

　A 处向正北方向航行到

　60°的方向上，则此时灯塔

　C 与游轮的距离为

　(

　)

　

　D 处时再看灯塔

　A.20 海里

　

　B.8

　3 海里

　C.23

　2 海里

　

　D.24 海里

　答案

　

　B

　解析

　

　如图所示，在

　△ ABD

　

　中， ∠DAB ＝ 75°， ∠ADB ＝ 60°，

　B＝ 180°－ 75°－ 60°＝ 45°，

　由正弦定理得

　AD ＝

　AB

　，

　sin B

　sin ∠ADB

　2

　∴ AD ＝ AB sin B ＝

　12

　6× 2 ＝24.

　sin∠ ADB

　3

　2

　在 △ACD 中， AD ＝ 24， AC＝ 8

　3， ∠CAD ＝ 30°，

　由余弦定理得

　CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD·ACcos 30 °

　＝ 242＋ (8

　3)2－ 2× 24×8

　3×

　

　23＝ 192，

　∴CD＝8

　3.

　(2)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼

　CD 的高度， D 为楼顶，线段 AB 的长度为 600 m，

　在 A 处测得∠ DAB ＝ 30°，在 B 处测得∠ DBA＝ 105°，且此时看楼顶

　D 的仰角∠ DBC＝ 30°，

　已知楼底

　C 和 A，B 在同一水平面上，则此楼高度

　CD ＝________m.( 精确到 1 m)

　答案

　212

　解析

　在 △ ABD 中，由正弦定理，

　得 BD

　＝

　AB

　，由 AB ＝ 600，得

　sin 30

　°

　sin 180 °－ 105 °－ 30°

　600sin 30 °

　BD ＝ sin 45

　＝ 300 2，在 Rt△BCD 中，

　°

　因为 ∠DBC ＝ 30°，所以 CD ＝1

　BD＝ 150 2≈ 212.

　2

　跟踪演练 3

　(1)如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔

　15 000 m，速度为 1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为

　15°，经过 108 s 后又看到山顶的俯角为 75°，则山顶的海拔高度为

　________m.( 取

　3＝ 1.732)

　答案

　6 340

　解析

　如图所示，

　108 s＝ 0.03 h，

　AB＝ 1 000× 0.03 ＝30(km).

　∵∠ C＝ 75°－ 15°＝ 60°， ∵

　AB

　＝ BC

　，

　sin 60

　°sin 15

　°

　∴ BC＝

　ABsin 15

　°

　sin 60

　＝ 20 3sin 15 (km)° ，

　°

　∴ C 到 AB 边的距离 h＝ BCsin 75

　＝° 20 3sin 15 sin° 75 ＝°10

　3sin 30 ＝° 5 3

　5× 1.732＝ 8.66(km) ，

　∴ 山顶的海拔高度为

　15 000－ 8 660＝ 6 340(m).

　(2)如图所示，为测量竖直旗杆

　CD

　的两点 A， B，在 A 处测得旗杆底部

　

　的高度，在旗杆底部

　C 所在水平地面上选取相距

　C 在西偏北

　20°的方向上，旗杆顶部

　D 的仰角为

　

　4

　21m

　60°；在

　B 处测得旗杆底部

　

　C 在东偏北

　

　10°的方向上， 旗杆顶部

　

　D 的仰角为

　

　45°，则旗杆

　

　CD

　

　的高度为

　________m.

　答案

　12

　解析

　设 CD ＝ x，x>0.

　∵ 在 Rt△ BCD 中， ∠ CBD＝ 45°，

　BC＝ x.

　∵ 在 Rt△ ACD 中， ∠ CAD＝ 60°，

　AC＝ CD ＝ x . tan 60 ° 3

　在 △ABC 中， ∵∠ CAB ＝ 20°，∠ CBA＝ 10°，

　∴∠ ACB＝ 180°－ 20°－ 10°＝ 150°，

　∴ 由余弦定理得

　AB2＝AC 2＋ BC2－ 2AC·BC·cos 150 °，

　即 (4 21)2＝ 1x2＋ x2＋ 2·x ·x· 3＝ 7x2，

　3323

　x＝ 12.

　旗杆 CD 的高度为 12 m.

　真

　题

　体

　验

　1.(2017 山·东，理， 9)在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为

　a， b， c.若△ ABC

　形，且满足

　sin B(1＋ 2cos C)＝ 2sin Acos C＋ cos Asin C，则下列等式成立的是

　(

　

　为锐角三角

　)

　A. a＝ 2b

　

　B. b＝ 2a

　

　C.A＝ 2B

　

　D.B＝ 2A

　答案

　解析

　

　A

　∵ 等式右边＝

　

　sin Acos C＋ (sin Acos C＋cos Asin C)＝ sin Acos C＋ sin(A＋ C)

　sin Acos C＋ sin B，

　等式左边＝ sin B＋2sin Bcos C，

　∴ sin B＋2sin Bcos C＝ sin Acos C＋ sin B.

　由 cos C>0，得 sin A＝ 2sin B.

　根据正弦定理，得

　a＝ 2b.

　π

　2.(2019 全·国 Ⅱ ，理， 10)已知 α∈ 0，2 ， 2sin 2α＝ cos 2α＋ 1，则 sin α等于 (

　)

　1

　5

　3

　2

　5

　A. 5

　B. 5

　C. 3

　D. 5

　答案

　B

　解析

　由 2sin 2α＝ cos 2α＋ 1，得 4sin αcos α＝ 1－ 2sin2α＋ 1，即 2sin αcos α＝ 1－ sin2α.因为

　π

　，所以 cos α＝

　1－ sin2α，所以 2sin α

　1－sin 2α＝ 1－ sin2α，解得 sin α＝

　5

　α∈

　0，2

　5 ，故选

　B.

　3.(2019 全·国 Ⅱ ，理， 15)△ ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为

　a， b， c.若 b＝ 6，a＝ 2c， B

　π

　＝ ，则△ ABC 的面积为 ________.

　3

　答案

　6 3

　解析

　方法一

　π

　因为 a＝2c，b＝ 6，B＝ ，所以由余弦定理 b2＝ a2＋ c2－2accos B，得 62＝ (2c)2

　3

　＋ c2－

　π

　1

　1

　× 4 3

　2×2c× ccos ，得 c＝ 2 3，所以 a＝ 4 3，所以 △ABC

　的面积 S＝ acsin B＝

　3

　2

　2

　π

　3.

　× 2 3× sin ＝ 6

　3

　方法二

　因为 a＝

　π

　2c， b＝6， B＝ ，所以由余弦定理 b2＝ a2＋ c2－ 2accos B，得 62 ＝(2c)2＋ c2

　3

　－ 2× 2c× ccos

　π

　π

　，得 c＝ 2 3，所以 a＝ 4 3，所以 a2＝ b2＋ c2，所以 A＝ ，所以 △ ABC 的面

　3

　2

　积 S＝1× 2 3× 6＝6 3. 2

　押

　题

　预

　测

　4， α∈

　π

　，则 sin

　π

　0， 4

　－ α的值为 ________.

　1.已知 sin 2 α＝ 5

　4

　答案

　10

　10

　解析

　π

　π

　π

　π

　因为 2 － α＝ － 2α，则 2α＝ － 2

　－ α ，

　4

　2

　2

　4

　所以 sin 2α＝ sin

　π

　π

　＝ cos 2

　π

　－ 2

　－α

　－ α ，

　2

　4

　4

　4

　π

　所以

　5＝ 1－ 2sin2

　4－ α，

　所以 sin2

　π

　π

　π

　，

　－ α＝ 1 ，又 － α∈

　0，4

　4

　10

　4

　所以 sin

　π

　10

　－ α＝

　4

　10 .

　2.在△ ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为

　bcos C＝ 1＋cos 2C，C 是锐角，且 a

　a，b， c，若 ccos B

　1＋ cos 2B

　2 7， cos A＝ 1，则△ ABC 的面积为 ________. 3

　答案

　7 2

　解析

　由正弦定理可得 bcos C＝ sin Bcos C，

　ccos B sin Ccos B

　又由余弦的倍角公式可得

　1＋ cos 2C

　＝

　2cos2C

　，

　1＋ cos 2B

　2

　2cos B

　所以 sinsin BC＝ coscos CB，即 sin 2B＝ sin 2C，

　π

　所以 B＝C 或 B＋C＝ ，

　2

　1又cosA＝3，所以

　

　A∈

　

　π，所以0， 2

　

　B＝C，

　所以 a2 ＝b2 ＋c2－ 2bccos A，整理得 2b2－

　2b2

　＝ 28，

　3

　解得 b＝ c＝ 21，所以 S＝ 1bcsin A＝ 7 2.

　2

　3.在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为

　a，b，c，A＝30°，C＝ 45°，c＝ 3，点 P 是平面 ABC

　内的一个动点，若∠

　BPC ＝60°，则△ PBC 面积的最大值是 ________.

　答案

　9

　3

　8

　解析

　∵ A＝30°， C＝ 45°， c＝ 3，

　∴ 由正弦定理 a

　＝ c

　，

　sin A

　sin C

　1

　可得 a＝ c·sin A＝

　3×2＝ 3

　2

　sin C

　2

　2 .

　2

　又 ∠BPC＝ 60°，

　∴ 在 △PBC 中，令 PB＝ m，PC ＝n，

　m2＋ n2－ 9

　由余弦定理可得

　cos∠ BPC＝

　2＝1，

　2mn

　2

　9

　9

　3

　2

　时等号成立 ) ，

　∴ m2＋ n2－ ＝ mn≥ 2mn－ (当且仅当

　m＝ n＝

　2

　2

　2

　9

　1

　9

　3

　∴ mn≤

　2，∴ Smax＝ 2mnsin∠ BPC＝ 8 .

　A 组

　专题通关

　π

　1，则 cos 2α等于 (

　)

　－α＝

　1.(2019 沈·阳市东北育才学校模拟 )已知 cos 2

　5

　7

　7

　A. 25

　B.－25

　23

　23

　C.25

　D. －25

　答案

　C

　解析

　π

　1，又由 cos 2α＝ 1－ 2sin2α＝1－ 2×

　1 ＝23

　.

　由 cos

　－ α＝1，得 sin α＝

　2

　5

　5

　25

　25

　2.tan 70 ＋°tan 50 －° 3tan 70 tan° 50

　的°值为 (

　)

　3

　A. 3

　B. 3

　C.－

　3

　D.－ 3

　3

　答案

　D

　解析

　tan 70

　＋°tan 50

　°

　因为 tan 120 °＝

　＝－ 3，

　1－ tan 70 tan° 50

　°

　即 tan 70 °＋ tan 50 －° 3tan 70 °tan 50

　＝°－

　3.

　3.(2019 吕·梁模拟 )已知△ ABC 的三个内角

　A， B，C 所对的边分别为

　a，

　a， b，c，若 2cos B＝ c

　则该三角形一定是 (

　)

　A. 等腰三角形

　B. 直角三角形

　C.等边三角形

　D. 等腰直角三角形

　答案

　A

　a

　a2＋ c2－ b2

　a2＋ c2－ b2 a

　解析

　由

　2cos B＝ c及余弦定理得 2×

　2ac

　＝

　ac

　＝ c，整理得 c2＝ b2， ∴b＝ c，

　∴△ ABC 为等腰三角形 .

　π

　4.(2019 黄·冈调研 )已知 a，b，c 分别为△ ABC 的三个内角

　A，B，C 的对边， 且 C＝ 4，c＝ 2，

　a＝ x，若满足条件的三角形有两个，则

　x 的取值范围是 (

　)

　A.

　2<x<1

　B.

　2< x<2

　C.1<x<2

　D.1< x<

　2

　答案

　B

　解析

　在 △ ABC 中，由正弦定理得

　a

　＝ c

　，

　sin A

　sin C

　即

　x

　＝

　2

　，可得 sin

　1

　A＝ x，

　sin A

　π

　2

　sin4

　π 3π

　π

　2 1

　由题意得， 当 A∈ ，

　且 A≠ 时，满足条件的 △ ABC 有两个，所以

　2

　<2x<1

　，解得

　2< x<2，

　4

　4

　2

　则 x 的取值范围是 (

　2， 2).

　5.(2019 甘·肃省静宁县第一中学模拟

　)某船开始看见灯塔在南偏东

　30°方向，后来船沿南偏东

　60°的方向航行 15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是

　(

　)

　A.5 km

　B.5

　2 km

　C.5

　3 km

　D.10 km

　答案

　C

　解析

　根据题意画出相应的图形，如图所示，其中

　C 为灯塔， A 为某船开始的位置，

　B 为船

　航行 15 km 后的位置 .

　由题意可得，在

　△ ABC 中，

　CAB＝ ∠ B＝ 30°， AB＝ 15， ∴∠ ACB＝ 120°，

　在 △ABC 中，由正弦定理得

　BC

　＝AB，

　sin∠ CAB

　sin C

　15×

　1

　AB·sin ∠CAB

　15× sin 30

　2

　＝

　°

　3，

　∴ BC＝

　sin 120

　＝

　3

　＝ 5

　sin C

　°

　2

　即船与灯塔的距离是

　5

　3 km.

　2cos(

　α－ β

　β－cos(

　α－ 2β

　2，则

　1－ tan2α

　6.(2019 韶·关调研 )已知

　等于()

　)cos

　)

　＝ 4

　1＋ tan2α

　3

　4

　A.－4

　B.－3

　3

　4

　C.4

　D. 3

　答案

　A

　解析

　2cos(α－ β)cos β－ cos(α－ 2β)＝ 2cos(α－ β)cos β－ cos(α－ β－ β)

　2cos(α－β)cos β－ cos(α－ β)cos β－ sin(α－ β)sin β

　cos(α－β)cos β－ sin(α－ β)sin β

　cos(α－β＋ β)＝cos α，

　cos α＝ 2， sin2α＝1－ cos2α＝7，

　48

　∴ tan2α＝7，从而

　1－ tan

　2α

　3

　.

　＝－

　1＋ tan2α

　4

　7.在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为

　a，b，c，acos B＋ bcos A＝2ccos C，c＝

　7，且△ ABC

　的面积为

　

　3

　3，则△ ABC

　

　的周长为

　

　(

　

　)

　2

　A.1 ＋

　

　7

　

　B.2＋

　

　7

　C.4＋

　

　7

　

　D.5＋

　

　7

　答案

　D

　解析

　在 △ ABC 中， acos B＋ bcos A＝2ccos C，

　则 sin Acos B＋ sin Bcos A＝ 2sin Ccos C，即 sin(A＋ B)＝2sin Ccos C，

　π

　∵ sin(A＋ B) ＝ sin C≠ 0， ∴cos C＝ ， ∴ C＝ ，

　3

　由余弦定理可得，

　a2＋ b2－ c2＝ ab，

　即 (a＋ b)2－ 3ab＝ c2＝ 7，

　又 S＝1absin C＝ 3ab＝3 3， ∴ ab＝ 6，

　242

　(a＋ b)2＝ 7＋3ab＝ 25，a＋ b＝ 5，

　∴△ ABC 的周长为 a＋ b＋c＝ 5＋ 7.

　8.在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是

　a，b，c，若 acos B－ bcos A＝

　c，则 acos A＋ bcos B

　2

　acos B

　的最小值为 ()

　4

　3

　A. 3

　B. 3

　3

　2

　3

　C. 3

　D.

　3

　答案

　D

　解析

　∵ acos B－ bcos A＝ c，

　2

　1

　1

　1

　1

　∴由正弦定理化简得， sin Acos B－sin Bcos A＝ sin C＝ sin(A＋B)＝ sin Acos B＋ cos Asin B，

　2

　2

　2

　2

　整理得， sin Acos B＝3cos Asin B，∴ cos Acos B>0 ，

　tan A＝3tan B；

　则acos A＋ bcos B＝ cos A＋ b＝ cos A＋ sin B

　acos B

　cos B

　a

　cos B

　sin A

　≥ 2

　cos A sin B

　2

　tan B

　＝ 2

　1

　2 3

　·

　＝

　tan A

　＝

　3

　.

　cos B sin A

　3

　由 cos A＝ sin B，得

　π

　A＝B或 A＋B＝ ，

　cos B

　sin A

　2

　又由已知条件知

　A≠ B，

　π

　故当且仅当 A＋ B＝2时，等号成立 .

　∴ acos A＋ bcos B的最小值为 2

　3

　acos B

　3 .

　9.已知 2sin θ＝ 1－ cos θ，则 tan θ等于 (

　)

　A. －

　4或 0

　B.4或 0

　3

　3

　4

　4

　C.－3

　D. 3

　答案

　A

　解析

　因为 2sin θ＝1－ cos θ，

　θ

　θ

　θ

　θ

　所以

　4sin

　2cos

　2＝ 1－ 1－2sin22 ＝2sin22，

　解得 sin

　θ

　θ

　θ

　θ

　或 2，

　＝0 或 2cos ＝ sin

　，即 tan

　＝ 0

　2

　2

　2

　2

　θ

　又 tan θ＝ 2tan2 ，

　θ2

　1－ tan 2

　当 tan

　θ

　时， tan θ＝ 0；

　＝0

　2

　当 tan

　θ

　4

　＝2

　时， tan θ＝－ .

　2

　3

　10.(2019 安·徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考

　)设△ ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分

　别为 a， b， c，则下列命题正确的是 ()

　①若 a2 ＋b2

　π

　<c2，则 C>；

　2

　π

　②若 ab>c2，则 C>3；

　③若 a3 ＋b3

　π

　＝c3，则 C<；

　2

　π

　④若 2ab>(a＋ b)c，则 C>2；

　π

　⑤若 (a2＋ b2)c2<2a2b2，则 C< .

　3

　A. ①②③

　B. ①②⑤

　C.①③④

　D. ①③⑤

　答案

　D

　解析 对于 ① ，a2＋ b2<c2，可以得出

　a2＋ b2－ c2

　π

　cos C＝

　2ab

　<0 ，所以 C>

　，故正确；

　2

　对于 ②， ab>c2? cos C＝

　a2＋ b2－ c2

　2ab－ ab

　π

　2ab

　>

　＝

　1，得出 C< ，故错误；

　2ab

　2

　3

　π

　对于 ③，其逆否命题为 “若 C≥ ，则 a3＋ b3≠ c3”.

　2

　π

　当 C≥ 时， c2≥ a2＋ b2? c3≥ ca2＋ cb2>a3＋ b3，即 a3＋b3≠c3 成立，故正确；

　2

　对于 ④，取 a＝b＝ 2， c＝1，满足 2ab>(a＋ b)c，利用余弦定理得

　π π

　C<

　<

　，故错误；

　3

　2

　对于 ⑤，因为 2abc2≤ (a2＋b2) c2<2a2b2，所以有 c2<ab，即 cos C＝

　a2＋ b2－ c2

　2ab－ ab

　＝

　1

　，所

　2ab

　>

　2ab

　2

　π

　①③⑤ .

　以 C< ，故正确，所以正确命题的序号是

　3

　11.在△ ABC 中，A，B，C 的对边分别是

　a，b，c.若 A＝ 120 °，a＝ 1，则 2b＋ 3c 的最大值为 (

　)

　2

　21

　A.3

　B.

　3

　3

　5

　C.3 2

　D.

　2

　答案

　B

　解析

　因为 A＝ 120°， a＝1，

　设三角形外接圆半径为

　R，

　由正弦定理可得

　

　a ＝ sin A

　

　b

　sin B

　

　＝

　c

　＝ 2R

　sin C

　1 ＝23， sin 120 ° 3

　所以 b＝ 2 3

　2

　3

　，

　3 sin B， c＝

　3

　sin C

　故 2b＋ 3c＝ 4

　3

　2

　3sin C

　3

　sin B＋

　3

　3 sin(60°－ C)＋ 2 3sin C

　＝ 4

　3

　2

　21

　3

　sin C＋ 2cos C＝

　3

　sin(C＋φ).

　所以 2b＋ 3c 的最大值为

　2

　21

　3 .

　12.(2019 黄·冈调研 )已知圆 C：x2＋ (y－ 1)2＝ R2 与函数 y＝ 2sin x 的图象有唯一交点，

　且交点的α

　4cos2 － α－ 2

　2

　等于()

　横坐标为 α，则

　sin 2

　α

　A. － 2

　B.2

　C.－ 3

　D.3

　答案

　B

　解析 根据题意，圆 C： x2＋ (y－ 1)2＝ R2 与函数 y＝ 2sin x 的图象有唯一交点，则圆 C 在交点处的切线与函数 y＝ 2sin x 在交点处的切线重合；

　又由交点的横坐标为

　α，则交点的坐标为

　(α， 2sin α)，

　对于 y＝ 2sin x，其导数

　y′ ＝ 2cos x，

　则有 y′ |

　＝α

　α，则有

　2sin α－ 1＝－

　1

　，

　x

　＝ 2cos

　α－ 0

　2cos α

　变形可得

　α＝ 2cos α(1－ 2sin α)＝2cos α－4sin αcos α，

　4cos2

　α

　2

　α

　－ α

　－ α－ 2

　2cos2 － 1

　则

　2

　＝

　2

　sin 2α

　sin 2α

　2cos α－ 2cos α－ 4sin αcos α＝ 2. 2sin αcos α

　13.(2019 洛·阳统考 )已知 tan α＋

　π

　2，则

　2sin α

　＝ ________.

　＝

　4

　3sin α＋ cos α

　答案

　1

　3

　解析

　已知 tan α＋

　π

　＝2，展开得到

　1＋ tan α

　4

　＝ 2

　1－ tan α

　2

　1

　2sin α

　＝

　2tan α

　＝

　3

　1

　? tan α＝ ，则

　1＋ 1

　＝ .

　3

　3sin α＋ cos α 3tan α＋ 1

　3

　b＋ a＝ 2asin B－ c ，

　14.(2019 韶·关调研 )在△ ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边， 且 sin C

　sin B－sin A

　则 A＝ ________.

　答案

　π

　4

　解析

　由正弦定理

　a ＝

　b

　＝ c

　得 b＋ a＝ 2asin B－ c，

　sin A

　sin B

　sin C

　c

　b－a

　整理得 b2－ a2＝ 2acsin B－c2，即 b2＋ c2－ a2＝ 2acsin B＝ 2bcsin A，由余弦定理得 b2＋c2－a2＝ 2bccos A，

　π

　∴ 2bccos A＝ 2bcsin A，即 cos A＝ sin A， ∴ A＝ 4.

　15.(2019 茂·名模拟 )《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登

　陆时再现了这一现象

　

　(如图所示

　

　)，不少大树被大风折断

　

　.某路边一树干被台风吹断后

　

　(没有完全

　断开 )，树干与底面成

　

　75°角，折断部分与地面成

　

　45°角，树干底部与树尖着地处相距

　

　10 米，

　则大树原来的高度是

　

　________米 (结果保留根号

　

　).

　答案

　5

　2＋5

　6

　解析

　如图所示，

　设树干底部为

　O，树尖着地处为

　B，折断点为

　A，

　则 ∠AOB ＝ 75°， ∠ ABO＝ 45°，

　所以 ∠OAB ＝ 60°.

　由正弦定理知，

　AO

　＝ AB

　＝

　10

　，

　sin 45

　°sin 75

　°sin 60

　°

　所以 OA＝ 10 6

　15

　2＋ 5

　6

　(米 )，

　3

　(米 )， AB＝

　3

　所以 OA＋ AB＝ 5 2＋ 5 6(米 ).

　π

　DE 与 AB ，AC 分别交于点

　D，

　16.如图，在△ ABC 中， BC＝ 2，∠ ABC＝

　，AC 的垂直平分线

　3

　E，且 DE ＝

　6，则 BE2＝ ________.

　2

　答案

　5＋

　3

　2

　解析

　如图，连接

　CD，由题设，有

　∠BDC ＝ 2A，

　所以 CD

　＝ BC

　＝

　2

　，

　π sin 2A

　sin 2A

　sin 3

　故 CD＝

　3

　sin 2A.

　又 DE ＝CD sin A＝

　3

　＝

　6，

　2cos A

　2

　所以 cos A＝

　2

　π

　2

　，而 A∈ (0， π)，故 A＝ ，

　4

　因此 △ADE 为等腰直角三角形，

　所以 AE＝DE ＝

　6

　2 .

　在 △ABC 中， ∠ACB＝

　5π

　AB

　＝

　2

　，

　，所以

　12

　5π

　π

　sin12

　sin4

　故 AB＝

　3＋ 1，

　2

　2

　6

　2

　6

　2

　5

　在 △ABE 中， BE ＝ ( 3＋1) ＋

　2

　－2×(

　3＋ 1)× ×

　2

　＝＋3.

　2

　2

　B 组

　能力提高

　17.(2019 广·东省中山一中等七校联考

　)如图所示， 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B, C 分别在 x

　π

　轴和 y 轴非负半轴上，点

　A 在第一象限，且∠

　BAC＝2， AB＝ AC＝ 4，那么 O, A 两点间距离

　的 (

　)

　A. 最大值是

　4

　2，最小值是

　4

　B. 最大值是 8，最小值是

　4

　C.最大值是 4

　2，最小值是

　2

　D.最大值是

　8，最小值是

　2

　答案

　

　A

　解析

　

　π

　设 ∠ CBO＝ θ0≤θ<2 ， E 为

　

　BC

　

　的中点，

　当 θ＝ 0 时，如图

　

　1，此时点

　

　C 与点

　

　O 重合，易知

　

　OA＝ 4；

　图 1

　图 2

　当 0<θ<π

　2 的三角形， 根据题意， 可知 ∠OBC ＝ ∠ BOE ，∠AEB

　4 时，A，O，E 三点构成如图

　π

　＝

　2，AE＝OE ＝2

　2 ，

　π

　则 ∠AEO ＝ ＋ 2θ，

　2

　∴ cos∠AEO＝ cos

　

　π

　2＋ 2θ＝－ sin 2θ， 2θ∈

　

　π

　0，2 ，

　∴ OA2＝ OE2＋ AE2－ 2OE·AEcos∠AEO

　＝ 16＋16sin 2 θ，

　即 16<OA2<32 ，解得 4<OA<4

　2；

　π

　当 θ＝ 4时，如图

　3，四边形

　ABOC 是正方形， OA＝4

　2，

　图 3

　图 4

　π

　π

　三点构成如图

　4 的三角形，

　当

　<θ<

　时， A，O，E

　4

　2

　π

　π－ 2θ

　∴∠ AEO ＝ 2＋(

　)，

　π

　π－ 2θ

　π

　＋

　， π

　，

　∴ cos∠AEO＝ cos 2

　(

　) ＝－ sin 2θ， 2θ∈ 2

　同理可求得 4<OA <4

　2.

　18.已知在△ ABC 中，∠ ABC＝90°， AB＝ 3， BC＝ 2，P 为△ ABC 内一点，∠ BPC＝ 135 °，则

　AP 的最小值为 ________.

　答案

　17－ 2

　解析

　设 ∠ PBC＝ θ， ∠ BCP＝ α，因为 ∠BPC ＝ 135°，

　所以 θ＋ α＝ 45°，则 α＝45°－ θ，

　2

　所以 cos α＝ cos(45 °－θ)＝ 2 (cos θ＋ sin θ)，

　2

　sin α＝sin(45 －°θ)＝ 2 (cos θ－sin θ)，

　在 Rt △ABC 中，可得 cos C＝ 2 ， sin C＝ 3 ，

　13

　13

　则 cos∠ACP＝ cos(C－ α)＝ cos Ccos α＋ sin Csin α

　＝ 2

　× 2

　3

　× 2

　13

　2 (cos θ＋ sin θ)＋

　13 2 (cos θ－ sin θ)

　＝ 5

　2

　cos θ－

　2

　sin θ，

　2

　13

　2

　13

　在 △BCP 中，由正弦定理得

　PC ＝

　BC

　＝

　2

　＝ 2

　2，

　sin θ sin∠ BPC

　sin135

　°

　则 PC＝ 2 2sin θ，

　在 △ACP 中，由余弦定理可得：

　AP2 ＝AC2 ＋PC2－ 2AC·PCcos∠ ACP

　＝ (

　13)2＋ (2 2sin θ)2－2× 13× 2 2sin θ· 5

　2

　cos θ－

　2

　2

　sin θ

　2

　13

　13

　13＋12sin2θ－ 20sin θcos θ

　＝ 13＋12×

　1－ cos 2θ

　－ 10sin 2θ

　2

　＝ 19－(6cos 2θ＋ 10sin 2θ)＝19－ 2

　34sin(2θ＋ φ)，

　且 0°<2θ<90°，

　所以当 2θ＋ φ＝ 90°时， AP 取得最小值，

　此时 AP2＝ 19－ 2

　34，

　所以 AP 的最小值为

　19－ 2 34＝ 17－ 2.