中考数学专题 几何证明压轴题 1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

(3) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值. [解析] （1）过A作DC的垂线AM交DC于M, 则AM=BC=2. 又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为. 所以，△DEC≌△BFC 所以，. 所以， 即△ECF是等腰直角三角形. （3）设,则，所以. 因为，又，所以. 所以 所以. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ． ∵点E 、F分别是AB、CD的中点， ∴AE＝AB ，CF＝CD ． ∴AE＝CF ∴△ADE≌△CBF ． （2）当四边形BEDF是菱形时， 四边形 AGBD是矩形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ． ∵AG∥BD ， ∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE＝BE ． ∵AE＝BE ， ∴AE＝BE＝DE ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°． ∴四边形AGBD是矩形 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由． 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－1 A( G ) B( E ) C O D( F ) [解析]（1）BM=FN． 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN． （2） BM=FN仍然成立． （3） 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°． 又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN． 4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若，求CD的长；

（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。

[解析] （1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5 所以∠ADB＝90°，AB＝10 在Rt△ABD中， 又，所以，所以 因为∠ADB＝90°，AB⊥CD 所以 所以 所以 所以 （2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD 所以 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO 设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x 由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以 所以x＝10° 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100° 5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G. （1）求证：点F是BD中点；

（2）求证：CG是⊙O的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径． [解析] (1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF ∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD (2)方法一：连接CB、OC， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′ 方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分) (3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC 可证得：FA＝FG，且AB＝BG 由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2　 由、得：FG2-4FG-12=0 解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去） ∴AB＝BG＝ ∴⊙O半径为2 6、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3）， ⊙A的半径为2．过A作直线平行于轴，点P在直线上运动． （１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由. [解析] 解: 1点P的坐标是（2,3）或（6,3） 2作AC⊥OP,C为垂足. ∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1 ∴△ACP∽△OBP ∴ 在中,,又AP=12-4=8, ∴ ∴AC=≈1.94 ∵1.94<2 ∴OP与⊙A相交. 7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB， C A B D O E DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线， 垂足为点C. 求证：∠ACB=∠OAC. [解析] 证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F， （3分） ∵DE是圆的一条切线，E是切点， ∴OE⊥DC， 又∵BC⊥DE, ∴OE∥AF∥BC. ∴∠1=∠ACB，∠2=∠3. ∵OA=OE， ∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2. 又∵点A是OB的中点， ∴点F是EC的中点. ∴AE=AC. ∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1. 即∠ACB=∠OAC. 8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为． 1求AO与BO的长；

2若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. ①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；

②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ ，试求AA’的长． [解析] 1中,∠O=,∠α= ∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米， ∴米. 米. -------------- (3分) 2设在中, 根据勾股定理: ∴ ------------- (5分) ∴ ∵　　∴ ∴ ------------- (7分) AC=2x= 即梯子顶端A沿NO下滑了米. ---- (8分) 3∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点 ∴， ------------- (9分) ∴------- (10分) ∴ ∴ ∵ ∴ ----------------------- (11分) ∴----- (12分) ∴米. -------- (13分) 9.（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． (1) 求直线AB的解析式；
(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？ 解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b　 由题意，得 解得 所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6． （2）由AO＝6， BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t 1° 当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB． 所以　＝ 　解得　t＝(秒) 2° 当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB． 所以　＝ 　解得　t＝(秒) （3）过点Q作QE垂直AO于点E． 在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝　 在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8 －t所以，S△APQ＝AP·QE＝t·(8－t) ＝－＋4t＝ 解得t＝2（秒）或t＝3（秒）． （注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分） 点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作 PE⊥AB． 10．（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y． （1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围． （2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由． 解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E． 在Rt⊿ABC中，AC＝10， PC＝AC－AP＝10－x．　 ∵　PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC． 故　，即　 ∴⊿PBC面积＝　　　　 又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝　　 即　y，x的取值范围是0＜x＜10． （2）这个判断是正确的． 理由：
由（1）可得，⊿PAD面积＝ ⊿PBC面积与⊿PAD面积之和＝24． 点拨：由矩形的两边长6,8．可得它的对角线是10，这样PC＝10－x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC、△PCD．这样问题就非常容易解决了.