专题12：电场力的性质 1．场强三个表达式的比较   公　式 适用条件 特　点 定义式 E＝ 任何电场 某点的场强为确定值，大小及方向与q无关 决定式 E＝ 真空中点电荷 某点的场强E由场源电荷Q和该点到场源电荷的距离r决定 关系式 E＝ 匀强电场 d是沿电场方向的距离 2. 几种典型电场的电场线 3. 等量同种和异种点电荷的电场 比较项目 等量同种点电荷 等量异种点电荷 电场线图示     交点O处的场强 为　零 最　大 由O沿中垂线向外场强的变化 向外先增大后减小 向外逐渐减小 关于O点对称的两点A与A′，B与B′场强的关系 等大、反向 等大、同向 题型1：库仑力作用下的平衡问题 分析带电体力学问题的方法与纯力学问题的分析方法一样，学会把电学问题力学化．分析方法是：
(1)确定研究对象．如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”，一般是先整体后隔离． (2)对研究对象进行受力分析． (3)列平衡方程(F合＝0或Fx＝0，Fy＝0) 【例1】(2009·浙江，16)如图6－1－3所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为q(q＞0)的相同小球，小球之间用劲度系数均为k0的轻质弹簧绝缘连接．当3 个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l.已知静电力常量为k，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为(　　) 解析：对最右边的小球受力分析可知，小球受到另外两个带电小球对它向右的库仑力，大小分别为F1＝ 和F2＝，由力的平衡可知弹簧弹力的大小F＝F1＋F2＝；
故弹簧的伸长量为Δl＝，所以选C. 答案：C 1－1如图6－1－4所示，悬挂在O点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电 荷量不变的小球A.在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B.当B到达悬点O的正下方并与A在同一水平线上，A处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ，若两次实验中B的电荷量分别为q1和q2，θ分别为30°和45°.则q2/q1为(　　) A．2 B．3 C．2 D．3 解析：由库仑定律得F＝ 又r＝lsin θ 由以上各式可解得qB＝ ， 因qA不变，则 答案：C 如图6－1－18所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电介质小球a、b，左边放一个带正电的固定球＋Q时，两悬球都保持竖直方向．下面说法中正确的是(　　) A．a球带正电，b球带正电，并且a球带电荷量较大 B．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较小 C．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较大 D．a球带正电，b球带负电，并且a球带电荷量较小 解析：要使ab平衡，必须有a带负电，b带正电，且a球带电较少，故应选B. 答案：B 1－2　(2010·合肥模拟)在光滑绝缘的水平地面上放置四个相同的金属小球，小球 A、B、C位于等边三角形的三个顶点上，小球D位于三角形的中心，如图6－1－5所示．现让小球A、B、C带等量的正电荷Q，让小球D带负电荷q，使四个小球均处于静止状态，则Q与q的比值为(　　) 解析：由库仑定律和力的平衡知识可得：
， 解得：，故D正确． 答案：D 如图6－1－15所示，两个带同种电荷的带电球(均可视为带电质点)，A球固定，B球穿在倾斜直杆上处于静止状态(B球上的孔径略大于杆的直径)，已知A、B两球在同一水平面上，则B球受力个数可能为(　　) ①．3 ②．4 ③．5 ④．6 A．①③正确 B．②④正确 C．①②正确 D．③④正确 解析：根据题意，由题图可知B球必定要受到的力有三个，分别是重力、杆的弹力、A给B的库仑力，这三个力的合力可以为零，所以①正确；
在三力平衡的基础上，如果库仑力增大，为保持平衡状态，杆要给B球沿杆向下的摩擦力，反之如果库仑力减小，为保持平衡状态，杆要给B球沿杆向上的摩擦力，从而实现四力平衡，②正确，应选C． 答案：C 如图6－1－24所示，在竖直放置的光滑半圆形绝缘细管的圆心O处放一个点电荷，将一个质量为m、带电荷量为q的小球从圆弧管的端点A处由静止释放，小球沿细管滑到最低点B处时，对管壁恰好无压力，则处于圆心O处的电荷在AB弧中点处的电场强度的大小为(　　) A．E＝ B．E＝ C．E＝ D．无法计算 解析：小球下滑过程中由于电场力沿半径方向，总与速度方向垂直，所以电场力不做功，该过程小球的机械能守恒．设小球滑到最低点B处时速度为v，则有：mgR＝mv2　①，小球在B点时对管壁恰好无压力，则小球只受重力和电场力的作用，电场力必指向圆心，由牛顿第二定律可得：Eq－mg＝　②.由①②可求出E＝，所以C正确． 答案：C 如图6－1－19，光滑绝缘细杆与水平面成θ角固定，杆上套有一带正电的小球，质量为m，带电荷量为q.为使小球静止在杆上，可加一匀强电场．所加电场的场强满足什么条件时，小球可在杆上保持静止(　　) A．垂直于杆斜向上，场强大小为 B．竖直向上，场强大小为 C．垂直于杆斜向下，场强大小为 D．水平向右，场强大小为 解析：小球受竖直向下的重力，若电场垂直于杆的方向，则小球受垂直于杆方向的电场力，支持力方向亦垂直于杆的方向，小球所受合力不可能为零，A、C项错；
若电场竖直向上，所受电场力Eq＝mg，小球所受合力为零，B项正确；
若电场水平向右，则小球受重力、支持力和电场力作用，根据平行四边形定则，可知E＝mgtan θ/q，D项错． 答案：B 如图6－1－12所示，真空中A、B两个点电荷的电荷量分别为＋Q和＋q，放在光滑绝缘水平面上，A、B之间用绝缘的轻弹簧连接．当系统平衡时，弹簧的伸长量为x0.若弹簧发生的均是弹性形变，则(　　) A．保持Q不变，将q变为2q，平衡时弹簧的伸长量等于2x0 B．保持q不变，将Q变为2Q，平衡时弹簧的伸长量小于2x0 C．保持Q不变，将q变为－q，平衡时弹簧的缩短量等于x0 D．保持q不变，将Q变为－Q，平衡时弹簧的缩短量小于x0 答案：B 如图6－1－16所示，有一水平向左的匀强电场，场强为E＝1.25×104 N/C，一根长L＝1.5 m、与水平方向的夹角为θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6 C；
另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6 C，质量m＝1.0×10－2 kg.现将小球从杆的上端N静止释放，小球B开始运动．(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)小球B开始运动时的加速度为多大？ (2)小球B的速度最大时，与M端的距离r为多大？ 解析：(1)开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得mgsin θ－－qEcos θ＝ma ① 解得：a＝gsin θ－－ ② ②代入数据解得：a＝3.2 m/s2. ③ (2)小球B速度最大时合力为零，即mgsin θ－－qEcos θ＝0 ④ 解得：r＝ ⑤ 代入数据解得：r＝0.9 m. 答案：(1)3.2 m/s2　　(2)0.9 m 如图6－1－25所示，倾角为θ的斜面AB是粗糙且绝缘的，AB长为L，C为AB的中点，在A、C之间加一方向垂直斜面向上的匀强电场，与斜面垂直的虚线CD为电场的边界．现有一质量为m、电荷量为q的带正电的小物块(可视为质点)，从B点开始在B、C间以速度v0沿斜面向下做匀速运动，经过C后沿斜面匀加速下滑，到达斜面底端A时的速度大小为v.试求：
(1)小物块与斜面间的动摩擦因数μ；

(2)匀强电场场强E的大小． 解析：(1)小物块在BC上匀速运动，由受力平衡得N＝mgcos θ，f＝mgsin θ 而f＝μN，由以上几式解得μ＝tan θ. (2)小物块在CA上做匀加速直线运动，受力情况如图所示，则 N′＝mgcos θ－qE，f′＝μN′ 根据牛顿第二定律得mgsin θ－f′＝ma，v2－v＝2a· 由以上几式解得E＝. 答案：(1)tan θ　(2). (2010·浙江六校联考)一根长为l的丝线吊着一质量为m，带电荷量为q的小球静止在水平向右的匀强电场中，如图6－1－26所示，丝线与竖直方向成37°角，现突然将该电场方向变为向下且大小不变，不考虑因电场的改变而带来的其他影响(重力加速度为g)，求：
(1)匀强电场的电场强度的大小；

(2)小球经过最低点时丝线的拉力． 解析：(1)小球静止在电场中的受力如图所示：
显然小球带正电，由平衡条件得：
mgtan 37°＝Eq① 故E＝② (2)电场方向变成向下后，小球开始摆动做圆周运动，重力、电场力对小球做正功．由动能定理：
(mg＋qE)l(1－cos 37°)＝mv2③ 由圆周运动知识，在最低点时， T－(mg＋qE)＝m④ 联立以上各式，解得：T＝mg⑤ 答案：(1)　(2)mg 题型2：电场强度的叠加与计算 电场的叠加要根据电荷的正、负，先判断场强的方向，然后利用矢量合成法则，结合对称性分析叠加结果． 【例2】 (2009·海南单科，10)如图6－1－6所示，两等量异号的点电荷相距为 2a.M与两点电荷共线，N位于两点电荷连线的中垂线上，两点电荷连线中点到M和N的距离都为L，且L≫a.略去(a/L)n(n≥2)项的贡献，则两点电荷的合电场在M和N点的强度(　　) 不定项 A．大小之比为2，方向相反 B．大小之比为1，方向相反 C．大小均与a成正比，方向相反 D．大小均与L的平方成反比，方向相互垂直 解析：两电荷在M点的合电场为 由于L≫a，所以EM＝，所以EM∝a，方向水平向右；
两电荷在N点的合电场为EN＝2×，由于L≫a，所以EN＝，所以 EN∝a，方向水平向左，且EM＝2EN，故选项A、C正确，B、D错误． 答案：AC 2－1　AB和CD为圆上两条相互垂直的直径，圆心为O.将电荷量分别为＋q和－q 的两点电荷放在圆周上，其位置关于AB对称且距离等于圆的半径，如图6－1－7所示．要使圆心处的电场强度为零，可在圆周上再放一个适当的点电荷Q，则该点电荷Q(　　) A．应放在A点，Q＝2q B．应放在B点，Q＝－2q C．应放在C点，Q＝－q D．应放在D点，Q＝－q 解析：由平行四边形定则得出＋q和－q在O点产生的合场强水平向右，大小等于其中一个点电荷在O点产生的场强的大小．要使圆心处的电场强度为零，则应在C点放一个电荷量Q＝－q的点电荷，故C选项正确． 答案：C 如图6－1－14所示，A、B为两个固定的等量同号正电荷，在它们连线的中点处有一个可以自由运动的正电荷C，现给电荷C一个垂直于连线的初速度v0，若不计C所受的重力，则关于电荷C以后的运动情况，下列说法中正确的是(　　) A．加速度始终增大 B．加速度先减小后增大 C．速度先增大后减小 D．速度始终增大 解析：在两个等量的同号正电荷的电场中，两电荷连线垂直平分线上的场强从连线中点开始，沿平分线向外，场强在O点为零，在无穷远处也为零，因此沿平分线向外的场强变化是先增大后减小，电场力先增大后减小，加速度先增大后减小，A、B项错误；
由于在两电荷连线中垂线的场强方向从中点沿中垂线向外，因此正电荷C从连线中点垂直于连线向外运动，电场力与初速度同向，因此电荷C一直做加速运动，速度始终增大，C项错误，D项正确． 答案：D 如图6－1－23所示，两个带等量的正电荷的小球A、B(可视为点电荷)，被固定在光滑的绝缘的水平面上，P、N是小球A、B的连线的水平中垂线上的两点，且PO＝ON.现将一个电荷量很小的带负电的小球C(可视为质点)，由P点静止释放，在小球C向N点的运动的过程中，下列关于小球C的速度图象中，可能正确的是(　　) A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 解析：本题考查同种等量电荷周围的电场线的分布．在AB的垂直平分线上，从无穷远处到O点电场强度先变大后变小，到O点变为零，负电荷受力沿垂直平分线运动，电荷的加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点加速度变为零，速度达到最大，v－t图线的斜率先变大后变小；
由O点到无穷远，速度变化情况另一侧速度的变化情况具有对称性．如果PN足够远，②正确，如果PN很近，①正确，应选C． 答案：C 如图6－1－21所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电量为－q外，其余各点处的电量均为＋q，则圆心O处(　　) A．场强大小为，方向沿OA方向 B．场强大小为，方向沿AO方向 C．场强大小为，方向沿OA方向 D．场强大小为，方向沿AO方向 解析：在A处放一个－q的点电荷与在A处同时放一个＋q和－2q的点电荷的效果相当，因此可以认为O处的场是5个＋q和一个－2q的点电荷产生的场合成的，5个＋q处于对称位置上，在圆心O处产生的合场强为0，所以O点的场强相当于－2q在O处产生的场强．故选C. 答案：C 2－2　(2010·广州测试二)如图6－1－8所示，在绝缘的光滑水平面上有A、B两个点电荷，A带正电，B带负电，电荷量都是q，它们之间的距离为d.为使两电荷在电场力作用下都处于静止状态，必须在水平方向加一个匀强电场．求：两电荷都处于静止状态时，AB连线的中点处场强大小和方向．(已知静电力常数为k) 解析：设点电荷在AB连线中点处产生的场强为E1，所加的匀强电场的场强为E0，AB连线中点处的合场强为E.根据点电荷场强的计算公式：A点电荷在AB连线中点处产生的场强为：，方向由A指向B.B点电荷在AB连线中点处产生的场强为：EB＝，方向由A指向B.根据电场叠加原理：E1＝EA＋EB＝，方向由A指向B 根据电荷受力平衡和库仑定律有：E0q＝，得E0＝，方向由B指向A 根据电场叠加原理：E＝E1－E0＝，方向由A指向B. 题型3：对电场线的理解及应用 (1)粒子所受合力的方向指向轨迹的凹侧，由此判断电场的方向或电性 (2)由电场线的疏密情况判断带电粒子的加速度情况． (3)功能关系判断速度变化：如果带电粒子在运动中仅受电场力作用，则粒子电势能与动能的总量不变，电场力做正功，动能增大，电势能减小． 【例3】如图6－1－9所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同 速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，运动轨迹如图6－1－9中虚线所示，则(　　) A．a一定带正电，b一定带负电 B．a的速度将减小，b的速度将增加 C．a的加速度将减小，b的加速度将增加 D．两个粒子的动能，一个增加一个减小 解析：设电场线为正点电荷的电场线，则由轨迹可判定a带正电，b带负电．若电场线为负点电荷的电场线，则a为负电荷，b为正电荷，A错．由粒子的偏转轨迹可知电场力对a、b均做正功，动能增加，B、D错，但由电场线的疏密可判定，a受电场力逐渐减小，加速度减小，b正好相反，选C. 答案：C 3－1 如图6－1－10所示，AB是某个点电荷的一根电场线，在电场线上O点由静止释放一个负电荷，它仅在电场力作用下沿电场线向B运动，下列判断正确的是(　　) A．电场线由B指向A，该电荷做加速运动，加速度越来越小 B．电场线由B指向A，该电荷做加速运动，其加速度大小变化由题设条件不能确定 C．电场线由A指向B，电荷做匀加速运动 D．电场线由B指向A，电荷做加速运动，加速度越来越大 解析：电场线的切线方向是正电荷在该处的受力方向，和负电荷受电场力的方向相反，所以电场线由B指向A，只给出一条电场线不能判断各点电场的强弱(因为不能确定电场线的疏密)，也就不能判断电场力大小及加速度的变化，所以只有B正确． 答案：B 3－2　一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的速度一时间图象如图6－1－11所示．则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的(　　) 解析：由速度－时间图象可知，电荷的速度越来越大，且加速度也是越来越大，故电荷在运动过程中，应受到逐渐增大的电场力作用，所以电场线的方向应由B指向A.由于加速度越来越大，所以电场力越来越大，即B点的电场强度应大于A点的电场强度，即B点处电场线应比A点处密集，所以正确答案为C.学生由于对v－t图象的斜率即加速度值理解不够，不能正确得出电荷加速度变大的结论，而得不到正确的结果． 答案：C