2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷（五） 数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合,集合,则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】化简集合和,根据交集定义,即可求得. 【详解】 化简可得 根据指数函数是减函数 ,即,故 故 故选:C. 【点睛】 本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题. 2．已知复数(为虚数单位),则对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】化简,可得,即可求得对应的点. 【详解】 对应的点为,故在第四象限 故选:D. 【点睛】 本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题. 3．已知实数,满足则的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得的最小值. 【详解】 作出可行域,由,得, 当与边界直线重合时,取得最小值. 可取公共点,可知 故选:B. 【点睛】 本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,数形结合解决问题,属于中档题. 4．命题:,命题:直线与直线垂直,则是成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】 由直线与直线垂直 可得,即,解得或. 故:由直线与直线垂直不能推出: 命题是命题不必要条件 由时直线分别是: ,,此时两条直线垂直. 故命题能推出命题 命题是命题充分条件 综上所述,是充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】 本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 5．已知,则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由,可得,根据诱导公式化简,即可求得答案. 【详解】 故选:B. 【点睛】 本考查了由诱导公式求三角函数值,能熟练使用诱导公式是解本题关键,考察了计算能力,属于基础题. 6．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:,式中,,,依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线与直线及轴围成的封闭图形绕轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据“辛卜生公式”:,根据旋转体特点,结合已知,即可求得答案. 【详解】 根据辛卜生公式: 根据题意可知该几何体是由,曲线与直线及轴围成的封闭图形绕轴旋转一周得到. ,,, 根据辛卜生公式 故选:C. 【点睛】 本题考查了求旋转体体积,解题的关键是能够理解辛卜生公式,考查了理解能力和计算能力,属于基础题. 7．已知是上的偶函数,当时,有,当时,,则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用偶函数满足求出函数的周期,然后化简,通过周期性和偶函数性质,即可求得答案. 【详解】 当时,, ,故最小正周期:. , 又为偶函数 故 故选D. 【点睛】 本题考查了函数的周期性,需要掌握的周期为,当所求的变量不在所给的函数定义域内,利用函数的周期和奇偶性化简到定义域内,这是解此类型题的关键. 8．如图是一程序框图,则输出的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由程序框图可得,根据数列的裂项求和,即可得出答案. 【详解】 由程序框图可知: 故选:C. 【点睛】 本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题. 9．已知向量,向量,向量满足,则的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设,,,则,即可求得,将的起点放到坐标原点,则终点在以为圆心,半径的圆上,即可求得的最大值. 【详解】 设,, 故, 即 将的起点放到坐标原点,则终点在以为圆心,半径的圆上. 的最大值即:圆心到原点的距离+半径,即, 故选:D. 【点睛】 本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型. 10．巴蜀中学作为一所中华名校,不仅是培养学生的摇篮,也是培养教师的摇篮,每一年都有许多实习老师到巴蜀中学实习.现有甲乙等位实习老师被分到高二年级的（1）,（2）,（3）三个班级实习.要求每个班级至少有一名实习老师,每个实习老师只能到一个班级实习,则甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意,基本事件数,甲去（3）班,有种,甲去（2）班,有种,即可求得答案. 【详解】 根据题意基本事件数 ①甲去（3）班,有种, ②甲去（2）班,有种, 甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为:, 故选:A. 【点睛】 本题考查排列组合的简单应用.在排列组合的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则. 11．已知抛物线的焦点为,过直线上任一点引抛物线的两条切线,切点为,,则点到直线的距离( ) A．无最小值 B．无最大值 C．有最小值,最小值为1 D．有最大值,最大值为 【答案】D 【解析】设,,可得,,即可求得为切点的切线方程和以为切点的切线方程,设过直线上任一点为,将代入和,即可求得直线的方程,进而求得点到直线的距离. 【详解】 设,, 可得, 以为切点的切线方程为:,即——① 同理可得,以为切点的切线方程为: ——② 设过直线上任一点为 代入①②得 所以直线的方程为,即, 又 ,即 过定点, 当时,到的距离的最大值为:. 当过点时,距离的最小值为 故选:D. 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化. 12．已知函数有4个不同的零点，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,故,化简为:,即,,构造函数,求其最值即可求得实数的取值范围. 【详解】 由, 得, 可得:,, 设,则, 当时, 当时, 在上单调递增,在上单调递减, 故,, 当,. ,,,.要使方程有4个不同的零点, 则,可得,, 故选:D. 【点睛】 本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键. 二、填空题 13．二项式展开式中的常数项为______. 【答案】－32 【解析】写出二项式展开通项公式:,即可求得答案. 【详解】 二项式展开通项公式: 当时, 二项式展开式中的常数项为:. 故答案为:. 【点睛】 本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题. 14．已知函数,将的图像向右平移个单位后得到的函数图像关于轴对称,则的值为______. 【答案】 【解析】将化简可得:, 将的图像向右平移个单位后得:,根据图像关于轴对称,即可求得答案. 【详解】 由辅助角公式可得: 将的图像向右平移个单位后得: 图像关于轴对称 ,,又, ,. 故答案为:. 【点睛】 本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图像变换和三角函数的性质的应用,其中根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,掌握三角函数的图像变换和三角函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 15．已知双曲线:(,)的左,右焦点为,,以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点,线段与双曲线的交点为的中点,则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】因为以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点,故解得,求得,由中点坐标公式解得,将其代入,即可求得双曲线的离心率. 【详解】 以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点, 解得: 故, 又 , ,代入双曲线方程 可得:,化简可得 ,又, . 故答案为:. 【点睛】 本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题. 16．已知数列,满足,的前项和为,对任意的,当时,都有,则的取值范围为______. 【答案】 【解析】由,当,得.由 可得,即可求得为等差数列,结合当时,都有,即可求得的取值范围. 【详解】 由, 当,得. ——① 可得——② 由①②得:,故为等差数列. 又,最大,则,,, 即, 又,可得 故答案为:. 【点睛】 本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 三、解答题 17．已知数列,是一个等差数列,且,,数列是各项均为正数的等比数列,且满足:,. （1）求数列与的通项公式; （2）求证:. 【答案】（1），（2）证明见解析 【解析】（1）因为为等差数列,设公差为,则即可求得首项和公差,即可求得.因为为等比数列,,,即可求得公比,进而求得. （2）因为,,所以,根据数列求和错位相减法,即可求得,进而求得答案. 【详解】 （1） 为等差数列,设公差为, . 为等比数列,,设公比为,则, ,, ,. （2）令, ——① 可得: ——② 由①-②得:, . 故. 【点睛】 本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型. 18．2019年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新高,比去年218(十亿元)多了50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据(单位:十亿元).绘制如下表1: 表1 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额 0.9 8.7 22.4 41 65 94 132.5 172.5 218 268 根据以上数据绘制散点图,如图所示. (1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为销售额关于的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及下表中的数据,建立关于的回归方程,并预测2020年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位) (3)把销售额超过10(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过100(十亿元)的年份叫“狂欢年”,从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取3个,求取到的“狂欢年”个数的分布列与期望. 参考数据:. 参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,. 【答案】（1）更适宜（2），预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元（3）答案见解析 【解析】（1）根据其图像的形状,即可得出答案. （2）根据,,即可求得关于的回归方程,即可预测2020年天猫双十一销售额; （3）因为畅销年个数为,狂欢年个数为,的可能取值为,分别求出,,,,即可求得随机变量的分布列和数学期望. 【详解】 （1）根据其图像的形状可知,更适宜. （2）, , ,当时,（十亿元）, 预测2020年双十一的销售额为十亿元. （3）畅销年个数为,狂欢年个数为,的可能取值为 ,, ,, 0 1 2 3 ∴. 【点睛】 本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力. 19．已知,在中,内角,,的对边分别为,,,,,若. （1）求角; （2）若,求面积的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为,,可得: ,根据正弦定理可得,即可求得答案. （2）由余弦定理:,,则,根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】 （1） ,, , 可得:, . 由正弦定理: 故: , , . （2）由余弦定理:, , ,当且仅当时,, . 面积的最大值为:. 【点睛】 本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题. 20．已知椭圆：的两个焦点为,,焦距为,直线:与椭圆相交于,两点,为弦的中点. （1）求椭圆的标准方程; （2）若直线:与椭圆相交于不同的两点,,,若（为坐标原点）,求的取值范围. 【答案】（1）（2）或 【解析】（1）因为为弦的中点,设,,将其代入利用点差法,即可求得答案. （2）因为,,三点共线,, 根据三点共线性质可得:,则,将直线和椭圆联立方程消掉,结合已知,利用韦达定理即可求得答案. 【详解】 （1） 焦距为,则, 设,, 为弦的中点,根据中点坐标公式可得:,, 又 将其,代入椭圆: 将两式作差可得:, , ——①. ——② 由①②得: 椭圆的标准方程为. （2） ,,三点共线, 根据三点共线性质可得: ,则 设,,则, . 将直线和椭圆联立方程消掉. 可得:. ——①, 根据韦达定理:,, 代入,可得:,, ,即. ,, ——②, 代入①式得,即, , 满足②式, 或. 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决. 21．已知函数. （1）求的单调区间与极值；

（2）若不等式对任意恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】（1）单减区间为,的单增区间为,,无极大值.（2） 【解析】（1）因为,定义域为,则,即可求得的单调区间与极值; （2）,故,将其化简可得,,由（1）知在上单增,,,即可求得正实数的取值范围. 【详解】 （1） ,定义域为, 又,,,. 的单减区间为,的单增区间为 ,无极大值. （2） ,故 将化简可得: , . ,, 由（1）知在上单增, , ,即. 令, 令, 则, 在上单减,,, ,且在上,,,单增, 在上,,,单减. . 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力. 22．在直角坐标系中,曲线:(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:,曲线与曲线相交于,两点. （1）求曲线的直角坐标方程与直线的一般方; （2）点,求. 【答案】（1）：，直线：（2） 【解析】（1）将曲线:化简为:,根据消参,即可得到的直角坐标方程,将和直角坐标方程作差,即可求得直线的一般方程. （2）将:方程,改写成直线参数方程: （为参数）,将其代入,即可求得. 【详解】 （1）:即. ——① :——② 将①-②得: :, 曲线的直角坐标方程: ,直线的一般方程为:. （2）:, 在上, 直线的参数方程为:（为参数）, 代入:,整理得, 根据韦达定理: ,, ,. 故:. 【点睛】 本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题. 23．已知函数. （1）若,求不等式的解集; （2）证明:对任意,. 【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】（1）当时,,分别讨论,和时求解,即可求得答案; （2）因为,根据即可求得答案. 【详解】 （1）当时, ①当时,,得；

②当时,,得, ∴ ③当时,,得, ∴. （2） . 对任意,. 【点睛】 本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.