高中学业水平考试模拟测试卷(五) (时间：90分钟　满分100分) 一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∪B＝(　　) A．{2} B．{6} C．{1，3，4，5，6} D．{1，2，3，4，5} 解析：A∪B＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，故选D. 答案：D 2．设p：log2x2>2，q：x>2，则p是q成立的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由log2x2>2得，x2>4，解得x<－2或x>2，所以p是q成立的必要不充分条件．故选A. 答案：A 3．角θ的终边经过点P(4，y)，且sin θ＝－，则tan θ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：因为角θ的终边经过点P(4，y)， 且sin θ＝－＝，所以y＝－3，则tan θ＝＝－，故选C. 答案：C 4．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有(　　) A．8桶 B．9桶 C．10桶 D．11桶 解析：易得第一层有4桶，第二层最少有3桶，第三层最少有2桶，所以至少共有9桶，故选B. 答案：B 5．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8等于(　　) A．45 B．75 C．180 D．360 解析：由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，得到a5＝90，则a2＋a8＝2a5＝180.故选C. 答案：C　 6．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y＋1＝0平行，则m的值为(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 解析：因为直线2x＋y＋1＝0的斜率等于－2，且过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以kAB＝－2，所以＝－2，解得m＝－8，故选A. 答案：A 7．已知向量a＝(，0)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若(a－2b)⊥c，则k＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 解析：由a＝(，0)，b＝(0，－1)，得a－2b＝(，2)，若(a－2b)⊥c，则(a－2b)·c＝0，所以k＋2＝0，所以k＝－2，故选B. 答案：B 8．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(　　) A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂β C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β　 D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β 解析：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：
在A中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故A错误；

在B中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故B错误；

在C中，若l⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故C正确；

在D中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误，故选C. 答案：C 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2A＋sin2B－sin2C＝0，a2＋c2－b2－ac＝0，c＝2，则a＝(　　) A. B．1 C. D. 解析：因为sin2A＋sin2B－sin2C＝0， 所以a2＋b2－c2＝0，即C为直角， 因为a2＋c2－b2－ac＝0， 所以cos B＝＝，B＝， 因此a＝ccos ＝1.故选B. 答案：B 10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝2n＋1＋λ，则λ的值为(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 解析：根据题意，当n＝1时，2S1＝2a1＝4＋λ，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1. 因为数列{an}是等比数列，所以a1＝1，故＝1，解得λ＝－2.故选C. 答案：C 11．若以双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点和点(1，)为顶点的三角形为直角三角形，则b等于(　　) A. B．1 C. D．2 解析：由题意，双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为(－c，0)、(c，0)，因为两焦点和点(1，)为顶点的三角形为直角三角形，所以(1－c，)·(1＋c，)＝0，所以1－c2＋2＝0，所以c＝， 因为a＝，所以b＝1.故选B. 答案：B 12．已知函数f(x)＝2sin，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析：由题意得g(x)＝2sin[2(x－)＋]＝2sin，令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，得x＝，所以函数g(x)图象的一条对称轴方程为x＝.故选C. 答案：C 13．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段BC的中点，点M是直线BD1上异于B，D1的点，则平面DEM可能经过下列点中的(　　) A．A B．C1 C．A1 D．C 解析：连接A1D，A1E，因为A1D1∥BE，所以A1，D1，B，E四点共面．设A1E∩BD1＝M， 显然平面DEM与平面A1DE重合，从而平面DEM经过点A1.故答案为C. 答案：C　 14．已知x、y满足则3x－y的最小值为(　　) A．4 B．6 C．12 D．16 解析：由约束条件作出可行域如图， 联立解得A(2，2)，令z＝3x－y，化为y＝3x－z，由图可知，当直线y＝3x－z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为4.故选A. 答案：A 15．若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则的最大值为(　　) A. B. C. D．1 解析：由x＋4y－xy＝0可得x＋4y＝xy，左右两边同时除以xy得＋＝1，求的最大值，即求＝＋的最小值， 所以×1＝×＝＋＋＋≥2＋＋＝3，当且仅当＝时取等号，所以的最大值为.所以选A. 答案：A 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．函数f(x)＝＋－1的定义域是________． 解析：要使函数f(x)有意义，则即解得－3≤x≤1，故函数的定义域为[－3，1]． 答案：[－3，1] 17．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，，2，则其外接球的半径为________，表面积为________． 解析：设长方体的外接球的半径为R，则长方体的体对角线长就等于外接球的直径，即2R＝，解得R＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝8π. 答案：　8π 18．在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，－1)的圆C和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的标准方程为________． 解析：因为圆心在y＝－2x上，所以可设圆心坐标为(a，－2a)，又因为圆过A(2，－1)，且圆C和直线x＋y＝1相切，所以＝，解得a＝1，所以圆半径r＝＝，圆心坐标为(1，－2)，所以圆方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. 答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝2 19．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝＋m，若函数f(x)有5个零点，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意，函数f(x)是奇函数，f(x)有5个零点，其中x＝0是1个，只需x>0时有2个零点即可，当x>0时，f(x)＝＋m，转化为函数y＝－m和f(x)＝的图象交点个数即可，画出函数的图象，如图所示． 结合图象可知只需<－m<1， 即－1<m<－. 答案：
三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 20．在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(2c－a)cos B－bcos A＝0. (1)求角B的大小；

(2)已知c＝2，AC边上的高BD＝，求△ABC的面积S的值． 解：(1)因为(2c－a)cos B－bcos A＝0， 所以由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B－sin Bcos A＝0， 所以2sin Ccos B－sin(A＋B)＝0， 因为A＋B＝π－C且sin C≠0， 所以2sin Ccos B－sin C＝0，即cos B＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为S＝acsin∠ABC＝BD·b， 代入c，BD＝，sin∠ABC＝，得b＝a， 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac·cos∠ABC＝a2＋4－2a. 代入b＝a，得a2－9a＋18＝0，解得或 又因为△ABC是锐角三角形， 所以a2<c2＋b2，所以a＝3， 所以S△ABC＝acsin∠ABC＝×2×3×＝. 21．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其右顶点是A(2，0)，离心率为. (1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l与椭圆C交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标． (1)解：因为椭圆C的右顶点是A(2，0)，离心率为， 所以a＝2，＝，所以c＝1， 则b＝， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)证明：当直线MN斜率不存在时，设MN：x＝m， 与椭圆方程＋＝1联立得：|y|＝，|MN|＝2. 设直线MN与x轴交于点B，则|MB|＝|AB|，即＝2－m， 所以m＝或m＝2(舍)， 所以直线l过定点. 当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：y＝kx＋n(k≠0)， 与椭圆方程＋＝1联立，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝，Δ＝(8kn)2－4(4k2＋3)(4n2－12)>0，k∈R. 所以y1y2＝(kx1＋n)(kx2＋n)＝k2x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2， 由·＝0，则(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0， 所以7n2＋4k2＋16kn＝0， 所以n＝－k或n＝－2k， 所以直线MN：y＝k或y＝k(x－2)， 所以直线过定点或(2，0)(舍去)． 综上知，直线过定点.