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02届,普通高等学校招生全国统一考试数学(新课程卷)理(附解答)
2020-10-07 20:16:41 ℃2002年普通高等学校招生全国统一考试(新课程卷) 数学(理工农医) 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 2.复数的值是 3.已知为异面直线,,,,则 4.不等式的解集是( ) 5.在内,使成立的取值范围为( ) 6.设集合,则( ) 7.正六棱柱底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线与所成的角是( ) 8.函数是单调函数的充要条件是( ) 9.已知,则有( ) 10.平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,若点满足,其中有且,则点的轨迹方程为( ) 11.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( ) 12.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上年增长7.3%”如果“十·五”期间(2001年—2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为( ) 亿元 亿元 亿元 亿元 二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.函数 图象与其反函数图象的交点坐标为▁▁▁▁▁ 14.椭圆 的一个焦点是 ,那么▁▁▁▁▁▁ 15.直线与曲线所围成的图形绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积等于▁▁▁▁▁▁ 16.已知函数,那么▁▁▁▁▁▁ 三.解答题(本大题共6小题,共74分) 17.(本题满分12分)已知求的值 18.注意:考生在以下(甲)、(乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以(甲)计分 (甲)如图,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为 (1)建立适当的坐标系,并写出点的坐标;
(2)求与侧面所成的角 (乙)如图,正方形的边长都是1,而且平面互相垂直点在上移动,点在上移动,若 (1)求的长;
(2)当为何值时, 的长最小;
(3)当长最小时,求面与面所成的二面角的大小 19.(本题满分12分)某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立), (1)求至少3人同时上网的概率;
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3? 20.(本题满分12分)已知,函数设,记曲线在点处的切线为 (1)求的方程;
(2)设与轴交点为证明:
(ⅰ);
(ⅱ)若则 21、(本题满分12分)已知两点,且点使,, 成公差小于零的等差数列 (1)点P的轨迹是什么曲线? (2)若点P坐标为,记为与的夹角,求 22、(本题满分14分)已知是由非负整数组成的数列,满足,, (1)求;
(2)证明;
(3)求的通项公式及其前项和 2002年普通高等学校招生全国统一考试(新课程卷) 数学(文史类) 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若直线与圆相切,则的值为 2.已知为异面直线,,,,则 3.不等式的解集是( ) 4.函数在上的最大值与最小值的和为3,则的值为( ) 5.在内,使成立的取值范围为( ) 6.设集合,则( ) 7.椭圆的一个焦点是,那么( ) 8.正六棱柱底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线与所成的角是( ) 9.函数是单调函数的充要条件是( ) 10.已知,则有( ) 11.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( ) 12.平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,若点满足,其中有且,则点的轨迹方程为( ) 二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.据新华社2002年3月12日电, 1985年到2000年间,我国农村人均居住面积 如图所示,其中,从▁▁▁▁年到▁▁▁▁年 的五年间增长最快 14.已知, 则 ▁▁▁▁▁▁ 15.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2 ): 其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁▁▁▁(复查至此) 16.设函数在内有定义,下列函数 ;
;
;
中必为奇函数的有▁▁▁▁▁▁(要求填写正确答案的序号) 三.解答题(本大题共6小题,共74分) 17.(本题满分12分)在等比数列中,已知,求前8项的和 18.(本题满分12分)已知,求的值 19.(本题满分12分)(注意:考生在以下(甲)、(乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以下(甲)计分) (甲)如图,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为 (1)建立适当的坐标系,并写出点的坐标;
(2)求与侧面所成的角 (乙)如图,正方形的边长都是1,而且平面互相垂直点在上移动,点在上移动,若 (1)求的长;
(2)当为何值时, 的长最小;
(3)当长最小时,求面与面所成的二面角的大小 20.(本题满分12分) 某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立), (1)求至少3人同时上网的概率;
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3? 21.(本题满分12分)已知,函数,设,记曲线在点处的切线为 (1)求的方程;
(2)设与轴交点为证明:
(ⅰ);
(ⅱ)若则 22.(本题满分14分)已知两点,且点使,,成公差小于零的等差数列 (1)点P的轨迹是什么曲线? (2)若点P坐标为,记为与的夹角,求 2002年普通高等学校招生全国统一考试新课程数学试题答案(文理) 参考答案 一、1、D 2、(文)B,(理)C 3、(文)D,(理)B 4、(文)B,(理)D 5、C 6、B 7、B 8、(文)B,(理)A 9、(文)A,(理)D 10、D 11、B 12、(文)D,(理)C 二、填空题 13、(文)1995,2000;
(理)(0,0),(1,1);
14、(文),(理)-1;
15、(文)甲种,(理);
16、(文)(2),(4),(理);
三、解答题 17、(文)设数列的公比为,依题意, (理) 从而, 18、(文)由倍角公式及原式得 ,即 ,也即 , ,即, (理)(甲)(1)如图,以点为坐标原点,以所成直线为轴,以所在直线为轴,以经过原点且与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系 由已知得,,, (2)坐标系如上,取的中点,于是有,连,有 ,且,, 由,,所以,面, ∴与所成的角就是与侧面所成的角 ∵,, ∴, ,, ∴, 所以,与所成的角,即与侧面所成的角为 (乙)(1)作∥交于点,∥交于点,连结,依题意可得 ∥,且,即是平行四边形 ∴ 由已知, ∴ 又,,即 ∴ (Ⅱ)由(Ⅰ), 所以,当时, 即、分别移动到、的中点时,的长最小,最小值为 (Ⅲ)取的中点,连结、, ∵,,为的中点 ∴⊥,⊥,∠ 即为二面角的平面角 又,所以,由余弦定理有 故所求二面角 19.(理)(1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率, 即 (2)至少4人同时上网的概率为 , 至少5人同时上网的概率为 , 因此,至少5人同时上网的概率小于 20.(理)(1)的导数,由此得切线的方程 , (2)依题得,切线方程中令,得 ,其中, (ⅰ)由,,有,及, ∴,当且仅当时, (ⅱ)当时,,因此,,且由(ⅰ),, 所以 21(文科)(1)的导数,由此得切线的方程 , (2)依题意,在切线方程中令,得, (ⅰ), ∴,当且仅当时取等成立 (ⅱ)若,则,,且由(ⅰ), 所以 (理科)(1)记,由,得 ,,, ∴,,, 因,,是公差小于零的等差数列, 即(), 所以,点的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆 (2)点的坐标为,则, , ∵ , ∴, ∵,∴,, , 22.(理科)(1)由题设得,且、均为非负整数,所以的可能的值为1,2,5,10 若,则,,与题设矛盾, 若,则,,与题设矛盾, 若,则,,,与题设矛盾, 所以 (2)用数学归纳法证明 (i)当,,等式成立 (ii)假设当()时等式成立,即, 由题设, ∵,∴, 也就是说,当时,等式成立 根据(i)和(ii),对于所有,有 (3)由,及,, 得,, 即, 所以
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