李 斌，李梦奇，李冬英，梁 睿

（邵阳学院，邵阳 422000）

在高速、高效、节能的柔性生产线上，以及大学用于教学的实验室，可拆装机器人由于其拆装便捷、轻质灵活、响应迅速的特性而被广泛应用。由于频繁拆卸带来的误差，机器人定位不准确，机器人的工作空间不确定，这给机器人工作空间点集的准确预测带来难度。

精准预测需要依据机器人运动学模型[1]。机器人运动学模型分为两大类：齐次变换矩阵类（D-H模型，MD-H模型，S模型等）[2,3]、代数类（POE模型，CPC模型，四元数模型等）[4]，当前机器人中使用最广泛的是D-H模型，但D-H模型在两相邻关节平行或垂直时，存在奇异点导致机器人的工作空间有部分点位无法到达，导致预测的空间点集不完整。由于POE模型满足完整性和连续性，没有奇异点能完整描述机器人的空间点集合，本文基于POE方法建立运动学模型进行机器人正逆解运算，进行仿真计算，预测可拆装机器人的工作空间。

机器人末端执行器位姿可以通过建立运动学模型，描述相邻两连杆的相对空间位姿，然后将各个关节的位姿叠加获得。

1.1 旋量代数基础理论

根据Chasles定理[4]，刚体任意空间运动都能用刚体绕一直线旋转和沿此直线平移的复合运动表示，此复合运动称为螺旋运动，其无穷小量为螺旋运动旋量ξ∈R6。

在空间中一轴做螺旋运动，其单位方向向量为ω=[ωx,ωy,ωz,]，将ω的反对称矩阵表示为：

轴附近选取任意一点，其转动角为θ，此运动的螺旋轴为，其在李代数中相对应的4×4矩阵如式(2)所示：

其旋转运动可表示为：

其平移运动可表示为：

那么任意螺旋运动都可用旋量指数积形式表示为：

1.2 POE运动学模型

根据POE模型建立规则，建立基坐标系S和末端坐标系T，如图1所示，计算末端坐标系相对基坐标系的位姿M如式(6)所示：

图1 可拆装机器人简图

获得机器人POE模型参数，如表1所示。

表1 机器人POE参数模型

基于旋量理论建立的POE模型使参数变化曲线光滑，克服了运动学结算过程中的奇异性问题。

2.1 机器人运动学正解

针对可拆装机器人的POE运动学模型求正解，就是已知机器人的各个关节角度θi求得末端执行器的位姿，而是相邻关节的位姿关系式。通过关系式的相乘实现位姿的转换，最终求得末端执行器的位姿。

末端执行器位姿矩阵：

注：其中ci表示cosθi；
si表示sinθi；
表示(cosθ2)2；
表示(sinθ2)2，px,py,pz也可以有运动学模型计算得到，由于px,py,pz表达式过于复杂此处省略。

2.2 机器人运动学逆解

机器人逆运动学求解是建立在正运动学基础上的，通过正解求得位姿反向求解出机器人各关节角度，一般求逆解可以应用几何解析法，代数法，Paden-Kahan子问题法[6]，若是求解的逆运动学方程解析解过于复杂，还可以使用Matlab作为辅助工具。

从式(10)～式(18)看出求逆解的过程十分复杂，此处需选用牛顿拉夫逊法（Newton-Raphson Method）进行求解，步骤如下：

1）牛顿拉夫逊法求解，确定函数G(θ)=F(θt)-Tt，Tt实质就是正解计算时求得的末端位姿。

2）首先需要设定初始值θ0，求解次数k=0，写出一节泰勒展开式：

注意事项：

（1）此处G(θ)可微分；

（2）J+为伪逆矩阵，目的是为了优化雅克比矩阵不可逆时无解现象，当J矩阵的行数大于列数，当J矩阵的列数大于行数。

机器人工作空间是机器人可到达最远工作点和最近工作点的集合，此点集合标志着机器人的工作区域和本身特性，是确定机器人性能和保障操作员安全的重要指数。

结合Matlab仿真实验计算可拆分机器人工作空间，机器人关节角区间设置如表2所示。

表2 机器人关节角区间参数

使用蒙特卡洛法在六个关节角对范围内选取随机数值，然后分别对D-H模型和POE模型进行正解运算，选取10000、15000、20000、25000、30000、35000随机点分布于机器人工作空间中，形成点云集合。

在Matlab中使用改进的alphaShape函数对机器人空间点云进行拟合体积计算，步骤如下：

1）选取三角网格作为工作空间点云包络的基本单元，减少计算量。

2）选取优质三角网格，任意一个三角网格某条边长大于2倍半径（alpha），抹除此三角网格。

3）当三角网格某条边上的两端点都在以alpha为半径的一个圆上，此时三角网格的其余点在此圆内，则此网格需要抹除。

4）最后计算优化后的点云包络体积，得到工作空间体积，如图2所示。

图2 POE模型和D-H模型点云包络

由表3可知，同样机型同样的去点数下，在使用POE模型预测工作空间比D-H模型要更加完整，点集覆盖范围更全面，包络格质量更均匀。

表3 POE模型和D-H模型包络体积

在柔性生产线中具备高灵活性，高适应性，高响应性的可拆装机器人被广泛应用，但是由于其应用环境的时常变换，对于机器人工作空间的限制各有不同。本文对可拆装机器人进行POE运动学建模，进行正逆解解算，验证可拆装机器人POE模型的合理性，并采用蒙特卡洛法选取大量的随机点形成工作空间点集，随后进行网格优化后形成点云包络格，计算出工作空间体。结果表明：

同等数量点情况下，可拆装机器人建立POE运动学模型预测工作空间比DH模型更加完整，点集覆盖范围更广。

同等数量点情况下，POE模型网格比D-H模型更加均匀，工作空间外轮廓更加平滑，表明POE模型的奇异点少，连续性好。

在点数逐步提升的过程中，POE模型和D-H模型工作空间都有明显的提升，但POE模型增长速率明显减缓趋于稳定，POE模型计算全工作空间速率更加迅速。

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