叶剑波

（厦门市同安区新城小学，福建 厦门 361100）

在《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中，增加了一个新的核心概念，即量感。量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知，是人体感觉器官对现实物体（如长度、面积、体积、质量、速度、时间、角度）等可测量属性的感觉。“量感”是数学学习的关键能力之一，它与“数感”关系密切、相辅相成，都是形成数学抽象能力的经验基础。量感定量解决问题的方式和直观感知的特性，与数感形成的双层直观感觉，更有利于学生深入直观理解数学知识和知识形成过程。量感形成是高阶思维的产物，与深度学习的特征有相似之处，需要经历充足的活动与体验，形成一定的联系与结构。

小学核心素养培养具有“整体性”的特点，因此在进行量感相关教学时，教师可立足单元整体教学，从教材、课时、数与量关系等方面进行整体把握，通过适宜的活动，帮助学生充分感悟量的产生、累加、比较等过程，建立科学的计量观念。通过量感勾连现实世界与数学知识的密切联系，形成知识体系的相应结构，在深度学习中促进量感的形成，为培养数学抽象能力奠定基础。［1］本文以人教版小学数学三年级下册《面积》单元教学为例，通过立足单元整体性，构建面积相关的量感知识模型，探析学生量感培养的路径。

单元整体教学指把“横向”的教学单元内容、“纵向”的知识体系（人教版教材编排时，将同一学习内容分成几个阶段进行教学，呈逐步渗透、进一步深化、螺旋上升的编排思想）作为一个完整的信息载体，进行综合架构，以教学的基本单元呈现。对于需要感知类型的量感养成而言，实施单元整体教学有助于量感的培养。［2］

在面积相关量感的教学时，笔者基于对人教版教材的整体分析，以三年级《面积》单元为出发点，溯源而上寻找学生已有的学习基础，顺流而下发现“面积”知识的后续相关知识网络。［3］具体的面积知识系列结构表见表1：

表1 面积知识系列结构表

从表中不难发现，“面积”知识承接了从一维的空间（线）的度量，到二维空间（面）的度量过渡，继而发展到表面积的学习，并将与立体图形的学习相勾连。因此，对“面积”的量感培养，并非单调、单向的发展，而是呈现螺旋状的不断上升。基于教材年级间的“上下贯通”，更有利于单元间的“前后延伸”。准确定位面积相关量感培养在整体教材体系中的位置，才能够在教学中有针对性地培养学生的量感。

在《面积》单元教学前，笔者对学生及教师进行问卷调查及访谈，发现关于该单元学习，存在“面积公式的记忆及套用‘不教也会’，面积概念的理解、面积守恒观念、面积公式的过程性推导及运用‘教也不会’”等问题。由于教材中删去了“面积”的定义的具体文字描述，在学生的导学单反馈中出现以下情况：

自学1：什么是面积？

概况：43%的学生选择书本的表面。（应为书本表面的大小）

自学2：字典的哪些面有面积？

概况：35%的学生选择正面，52%的学生选择正反两面。（字典为类长方体，有6 个面有对应的面积）

自学3：测量长7.5 米、宽8 米的教室地板面积。

概况：89%的学生选择背诵并套用公式，但因为三年级还没有学习小数乘法而无法计算结果，只有少数学生能够根据数一数的方法，求出面积大小。

根据上述生情，笔者认为，“面积”的直观量感形成应该经历“认识面→面的大小”的完整过程。因此，在本单元的学习顺序中，应该立足学生生情，基于面积量感形成的核心本质——“面积概念、守恒观念”，重构课时内容安排（见图1）。

图1 人教版三年级下册《面积》单元课时结构

量感形成需要主观性和层次性。课时调整后，赋予学生更多面积公式形成的前置经验，引导学生理解面积核心本质，从整体上把握单元知识的连续性，明晰面积量感的培养过程。

在人教版教材关于“面积”的编排中，相对于“面积的感悟”而言，“面积的计算”占据更多的课时，教学自然也会侧重于“面积的计算”。但如果学生没有亲身体验面积标准单位的建立、公式的形成过程，在解决问题时难免生搬硬套，在填写面积计量单位时容易张冠李戴。这都是量感不足导致的。［4］因此在教学中，可以根据学生对“面积”这一量感的发展需求，以单元整体的宏观角度，遴选合适的主题活动、动手操作等直观体验方式，让学生充分感受量、体验量、理解量，这样“感悟量”的活动设计有利于发展量感。

从单元整体教学视角出发，在感受标准面积单位时，需考虑面积单位的认识过程及后续面积的计算教学。可设计教学环节一：比较等量手掌印总面积的大小（突出标准面积单位产生的必要性）。环节二：比较不等量身份证总面积的大小（为面积计算埋下伏笔）。环节三：定义标准量的数学意义并与现实生活量作比较（升华量感体验），如1 平方厘米（键盘按键面积）、1平方分米（手掌印面积）、1 平方米（讲台桌桌面面积），充分提升学生对于单位面积的直观体验。

“面积计算”的教学环节中，单位面积量的迭代累计过程体验至关重要。一是要引导学生感受面积单位产生的意义。在比较两个长方形的面积大小时，利用观察比较法、重叠法等形式，让学生用一种图形作为单位来测量。二是经历确定面积单位的过程。教材中通过对目标面积铺设三种基本图形，在是否能密铺的情况下，明确选择正方形作为基础面积单位优于圆形和三角形，考查量感的准确性。三是丰富面积单位的表象。通过多种生活经验（如拇指指甲盖的面积约为1 平方厘米，制作1 平方米的正方形等）强化量感；
通过铺设的方法测量实际面积，丰富测量经验和巩固面积量感；
通过估算面积大小，逐步修正估测策略。

不管是本章节从长度到面积的学习，或是后续面积到体积的学习，都可以通过设计多种直观体验活动，建立“一个单位”标准量，再通过多重感官参与，在不断修正和思考中，基于“一个单位”发展至“几个单位”（类似于感知数量累积的形式），使学生的量感发展更加合理、准确。

量感是一种直观感受和判断，这样一种“量的感觉”是很难独立学习的。在学习《面积》单元时，伴随着量感的形成，可以借助知识学习整体性的对比，除了教学“面积”相关知识外，还应授之以渔，渗透量感形成的一般路径。本单元可以从单元整体结构和知识联系整体着手，联系各个单一因素，选取具体的参照物、标准量、习得方法等加以比较、考察，以便更加深入、系统地形成对量的认识。［5］

（一）对比工具，掌握概念

在学习“面积”之前，学生已有长度、时间、质量等常见量的学习经验。在学习这些不同类型量时，往往需要根据其概念特征，选择不同的测量工具进行测量。在面积测量教学时，可引导学生对比周长测量工具，明确根据面积的“面的大小”概念，选取“小正方形”这一同类型量进行测量，进一步掌握面积概念。在同种量的测量工具中，选择合适的大小作为标准也能培养量感，提升学生解决问题的能力。

对比工具1（绳子和小方块）：学生已有周长测量的方法，使用测量一维长度的直尺进行测量，或者使用绕线法、滚动法进行周长的测量。要测量二维面积的大小，显然用一维长度进行度量是不行的，同一个图形不同的测量目标，需要选择不同的测量工具。通过制造矛盾，引发学生对面积和周长本质的区分，明晰其概念。（发散思考：如果要测量体积，需要选择什么工具？）

对比工具2（1 平方分米和1 平方厘米）：使用多个1 平方分米或1 平方厘米的小方块密铺长6 厘米、宽3厘米的长方形。实际操作中，根据被测量图形的大小，选择合适的面积单位进行测量。密铺2 平方分米的长方形，学生有两种选择：“2 个1 平方分米的小方块、200 个1 平方厘米的小方块”，都可以实现密铺（可拓展学习面积单位间的进率）。

（二）沟通方法，关联意义

数学学习是一个循序渐进的过程。测量工具的选择与使用，让长方形面积公式的产生初见端倪，学生对面积计算开始有了直观层面的认识。为了使测量方法（计算公式）的学习更加深刻，可以沟通之前其他量的计算方式，引导学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的数量计算过程，提升归纳推理能力，凸显面积的直接计量与间接计量的内在关联，深入理解面积计算公式的意义。

在周长教学中，关于长方形周长测量计算的方法，归纳为长方形四条边累加总长度即为周长，根据数的特点，可以进一步简写成“（长+宽）×2”。在面积测量环节时，当教师放手让学生根据已有经验选择对应的工具测量时，学生根据所选工具的不同，往往有不同的测量方法。教师应及时通过回忆方法对比，优化数方格的方法，归纳为可以用行数×列数（即“长×宽”）。学生在“选择—尝试—优化”的过程中巩固对面积概念的理解，体会“求面积”的过程，就是数一数图形中面积单位的总量。让学生经历面积计算公式的建构过程，形成量感。

（三）类比形式，深度运用

在教师用书的备课资料中，皮亚杰总结：对一维测量（长度）和二维测量（面积）来说，守恒性和测量能力是同时出现的。但是在教学实践中，学生对面积的守恒性理解比较困难。只有建立在面积守恒的理解下，面积的测量才是有效的。因此需要采取多种形式题目的类比，让学生有“部分集成整体”的守恒观念，在运用中理解，在理解中深度运用。

在面积守恒观念养成的过程中，可运用皮亚杰的面积守恒定律设计以下活动：一是采用两组相同面积的方块，使其位置、方向不同，让学生测量面积的大小；
二是把纸板剪成两块，并组成不同形状的面积，测量剪拼后面积的大小；
三是相同的六个正方形联结（不重叠）摆放，对比它们分散摆放后的面积，测量结果为面积大小相同。多种形式类比，明确面积守恒的定律，其深度运用将为面积的加减及后续其他图形面积的剪拼以及体积的学习奠定基础。

总之，教师应立足单元整体教学，关注学生前置经验及后续发展，以单元整体知识为核心，进行课时教学设计，遴选丰富有效的量感体验活动，突出知识体系的完整性，通过数与量的联系、对比，强化知识和技能的迁移与应用，深度培养学生的量感。

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