游娜

（陆军步兵学院，江西 南昌 330100）

声源或观察者相对运动时，观察者接收到的频率与波源实际频率不同的现象，称为多普勒效应。多普勒效应在多个领域有重要作用，医学领域中超声频移诊断，探头和反射体之间有相对运动时，产生频移现象，还可以测量血流速度；
交通领域安装多普勒测速仪,通过接收反射波的频率反推出车辆行驶速度；
天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论、卫星跟踪系统等，多普勒效应实际应用中遇到的运动形式是多样的，更为复杂，而在大多数大学物理学的教科书中和相关研究中，对多普勒效应的论述不仅是限于在一条直线上，而且只考虑观察者和波源都是做匀速直线运动的简单情况。因此，本文在分析多普勒效应的特点基础上，讨论变速运动过程中的另一种特殊情况，波源和观察者在共线和不共线时均做匀加速直线运动的经典多普勒效应。

1.1 瞬时性

在实际情况中，观察者接收到的频率是对应着某一时刻波源发出来的频率，而它们之间的关系又与观察者之间的相对位置变化有关，因而，观察者测得的频率具有瞬时性。为了将问题形象化，基于瞬时性建立数轴,确定正方向沿着波的传播方向，以波源发出时刻的位置和被接收时刻的位置连线作为瞬时数轴，记录不同时刻波源和观察者的位置。

1.2 不同时性

根据机械波的性质可知，波源发射波的时刻相对观察者接收的时刻要提前，也就是波发出的时间和观察者接收时间不一致 ,如果观察者与波源距离越远，则时间差也越大。根据不同时性这一特征，任意时刻观察者接收到的波可能不是一个完整的，为了简化问题，将不同时刻发出的波到观察者接收时刻，这段时间差观察者接收到的是完整波的个数，计算经过多长时间观察者把发出的所有波接收完毕。

1.3 规律不变性

波源和观察者发生相对运动，它们所测量的波的波长、频率和波速不同，但研究对象都是这列波，根据波的性质，波长、频率和波速之间应该满足波长等于波速除以频率的关系。波源在整个空间发出的是球面波,然而每个方向上看是等效的，因此可将问题简化成沿着一个方向看成是一个纵波，根据此特性就可以定义观察者接收到完整波的个数。

普通物理教材中的多普勒效应是指：由于波源或观察者相对于介质运动,使观察者接收到的频率f和波源实际发出的频率f0不相同。按照定义,设在时间间隔内波源共发出个波,此波在介质中传到观察者的位置，假设在时间内全部接收,观察者接收到的频率应是：

按照上述思路，先考虑波源与观察者在同一直线上做匀变速运动的情况。以运动方向为x轴,假定都沿x轴正方向运动,从静止开始做匀加速直线运动，波源与观察者的加速度分别为aS、aR，任意时刻速度大小设为和，波速为。如图1所示，从某一时刻开始计时，波源在S1处静止开始运动并发出连续的波，经的时间总共发出的波数为在这段时间内波源从S1处运动到S2处，由运动学公式可得S1S2之间的距离为：

设波源发出的第一个波由S1处传到观察者所在R1处所需时间刚好也为则此时观察者的速度大小为波源运动到S2处时刻为并发出了最后一个波，该波被观察者在R2处接收时刻为将这一时刻减去第一个波发出到被观察者接收的时刻正是，同时也是观察者从R1运动到R2所用时间，再根据匀变速运动规律，得出R1R2的距离为：

将⑵⑶两式代入⑷式将所得等式：

根据运动学知识可得，某一时刻波源和观察者的速度分别为：

代入上式中并整理得出：

在要求波源的速度和观察者的速度远远小于波的传播速度前提下，即

在“低速”近似条件下，对上述方程求解得：

其中一个解为负数舍去，所以：

将该式子代入（1）式便得到

若波源与观察者的运动方向与x轴正方向相反,则应相应将正号改成负号,于是便得到在经典条件下，波源与观察者在同一条直线上做初速度为0的匀加速直线运动时的多普勒效应。接下来，将问题进一步深化，讨论波源与观察者不在一条直线上做初速度为0的匀加速直线运动时的多普勒效应的情况。

波源S静止不动,观察者以加速度为aR从静止开始运动,如图2所示。在0时刻波源S发出第一个波，则在时刻被观察者在R1处接收。经过△t1时间波源发出最后一个波，被观察者在R2处接收，此时为观察者接收全部的波所用时间为：

在满足R1S>>R1R2条件下，即“高频”条件下：

接下来的数据处理与波源和观察者在同一直线上运动情况相同，同理可解出：

将该式子代入（1）式便得到

即得出波源不动,观察者做匀加速直线运动并且它们不在一条直线上的情况下，观察者接收到的频率与波源的频率之间的关系，其中公式中的α为观察者运动方向和观察者与波源连线的夹角。

观察者静止不动，波源以加速度as运动，从静止做匀加速直线运动,如图3所示。在0时刻波源在S1发出第一个波，在时刻被观察者在R处接收。经过时间波源发出最后一个波，观察者在时刻接收。

整理解出：

代入(1)式便得：

该式子表示波源在做匀加速直线运动时，观察者在R处接收到的频率与波源频率之间的关系，其中β为波源运动方向与波源和观察者连线之间的夹角。

波源和观察者都非静止状态，并分别以初速度为0，加速度为as、aR做匀加速直线运动，如图4所示。

波源和观察者分别以加速度as及加速度aR从静止开始做匀加速直线运动,两条直线交于O点,夹角为θ。在t=0时刻,波源的位置在S点(到O点的距离为a),观察者的位置在R点(到O点的距离为b)，此两点的连线它与波源和观察者运动方向的夹角分别为α和β。波源发出的第一个波由S1点传到观察者所在的R1点则所需时间为此时在△t1时刻波源在S2处发出最后一个波被观察者在R2处接收时刻为且所以：

在三角形OS1R1中根据余弦定理：

同理在三角形S1RR1和三角形OS2R2中分别有：

根据几何关系于是有：

将(9)、(10)代入到(8)式中化简得：

将该等式右边进行二项式展开后得到：

因此上式代入到(6)式则：

接下来的数据处理方法与之前的类似便能得到观察者接收到的频率与波源频率的关系式：

该式即为经典的多普勒效应在观察者和波源初速度都为零且均做匀加速直线运动情况下一般表达式,外加需要满足“低速”条件，即经典条件。

从(12)式出发进一步对该经典的多普勒效应进行讨论：

②由于波源和观察者的速度都是时间的函数，所以推出的多普勒公式也不是一个定值，同样也是随时间变化的函数。另外，当波源与观察者不在一条直线上运动时观察者接收到的频率不一定与时间成正相关，根据图3能够定性的分析出观察者接收到的频率先增大后减小，所以观察者接收到的音调并不一定是越来越高。

③(12)式可以认为是一般结果，式中若α=0，β=0，则有：

即与前面(5)式结果一致。进行对比看出，观察者与波源不在一条直线上运动的情况是在(5)的基础上再分别将它们的速度投影在两者之间的连线上，该特点与观察者与波源都做匀速直线运动情况一致。并且，当考虑到波源与观察者不同的运动方向的情况，速度取不同的正、负值。

④任何规律和公式都有一定的适用条件，以上推出的多普勒效应公式也是在一定范围内成立的，(12)式是在同时满足了“高频”条件即和波源的速度及观察者的速度都要满足远远的小于波速即“低速”条件下，可见(12)式严格说应该是波源与观察者均做匀加速直线运动时的经典多普勒效应近似公式。

为了更好讨论在匀变速运动情况下的多普勒效应，先分析出多普勒效应的3个性质，即瞬时性、不同时性、规律一致性，基于此再进一步讨论波源和观察者在同一直线上运动的多普勒效应和不在一条直线上运动的多普勒效应，并分别分析推导在波源、观察者其中一个做匀加速运动的情况和两者都做匀加速直线运动情况时的接收频率公式，并且发现在“高频”和“低速”的条件下其他情况的讨论可以看成是波源与观察者均做匀加速直线运动时的特殊情况，即得到了波源与观察者做匀加速直线运动时的经典多普勒效应一般公式。

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