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基于理解,逆向设计觅蹊径——以高一“函数的单调性”复习课为例
2023-03-01 13:00:10 ℃刘淑文
(上海市嘉定区第一中学,上海)
随着基础教育课程和教学改革的深入推进,在新课程标准、新教材的“双新”大背景下,教师必须不断地学习和丰富自己的理论知识,适时改变教学模式和方法,将理论应用于实践。基于理解的逆向教学设计以培养学生的核心素养为目标,“以终为始”设计教学活动,为教师的教学实践提供了方法和依据。教师只有在学生真正理解的基础上进行教学设计,以教学目标为导引,确定完成目标的合适的评估证据,设计有效的学习体验和教学,才能让学生把所学的知识迁移到新的环境和挑战中,进而培养学生的核心素养。教学设计应该关注知识之间的整体性,要参照教材和课程标准,研究每一节在每个单元中的作用、在整个高中学习中的作用,将每一节作为一个单元设计的有机组成部分,从单元设计的角度进行整体教学设计,用更有效的学习任务引导学生构建知识体系,巩固知识的同时,层进式提高学生的学习能力。
以下是笔者对高一“函数单调性”复习课的一次逆向设计探究。
单调性的教学是高一第一学期的内容,从具体的一次函数、二次函数等初等函数的学习上升到用符号语言研究函数的性质,将思维从具体引向抽象,从感性上升到理性,这对学生是一个挑战。单调性学习中渗透着数形结合、从特殊到一般、从具体到抽象、从文字语言向符号语言转化等重要思想方法,在函数性质学习中有承上启下的作用,为具体研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数性质以及数列最值问题提供了一般方法和借鉴。从对学生的问卷调查和访谈中了解到,学生在单调性学习中存在概念不清、忽视定义、用特值代替“任意”,利用单调性解决不等式问题时忽略定义域,解决函数性质综合性问题能力弱等情况。因此,教师需要在教学设计中对学生的易错问题、重难点问题加以强化,使学生通过参与课堂实践巩固知识,强化解题方法,在反思和总结中将知识内化,在问题解决中获得成就感,达成学习目标。
《普通高中数学课程标准》和《上海市高中数学学科教学基本要求》对单调性的学习要求是:了解单调性的概念,掌握单调性的基本性质,能利用单调性描绘函数的图象,借助图象,会用符号语言表达单调性,理解单调性的作用和实际意义,会对单调性等基本性质进行研究,掌握研究单调性的一般方法。基于以上要求及学生在单调性问题处理中易犯的错误和存在的困惑,教学设计应该强化对单调性概念的理解,注重单调性的应用,关注单调性与函数其他性质的关联,把握函数的整体性质。同时要渗透数形结合、分类讨论、特殊到一般、具体到抽象、感性到理性等思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力。
在高三的函数单调性复习中,笔者发现,学生对单调性概念及内涵的挖掘不够深刻,习惯于用特殊值代替任意性,往往停留在对教师解法的简单模仿上,方法僵化。反思这种现象,笔者认为单调性的教学需要在高一打好基础、做好铺垫,使学生对单调性的本质有深刻的理解。在本节单调性的复习课上,笔者尝试引入“微资源”,力图帮学生搭建单调性学习的知识网络,深化单调性概念,为函数性质的进一步学习和研究打下基础。
为突破学生在解决单调性问题中出现的思维障碍,本节复习课笔者重点设计了四个板块:(1)热身小练习;
(2)单调性概念辨析;
(3)判断、证明函数的单调性;
(4)单调性的应用。
【板块一】热身小练习
2.若函数y=x2+ax+1在(-∞,2]上单调递减,则实数a的取值范围是a≤-4.
3.若f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,又f(-2)=0,则x·f(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).
注:热身小练习是课前设置的实践演练,通过知识点回顾,既可以检测学生的复习效果,也能让学生了解知识的薄弱之处,从而更有针对性地进行课堂学习。
【板块二】单调性概念辨析
函数的单调性反映了函数的变化趋势,是函数的局部性质,为了让学生更好地理解函数概念和本质,笔者设计了如下的“微资源”。
资源1:(1)函数单调性定义:如果函数y=f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,①都有_______,则称f(x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个_______;
②都有_______,则称f(x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个_______.
(2)函数单调性的图象特征:增函数的图象,从左往右看,图象是________;
减函数的图象,从左往右看,图象是_________.
注:单调性定义是证明和判断单调性的最基本方法。对定义的回顾,强化了概念意识,为概念的挖掘做好准备;
单调性的图象特征,能够帮助学生直观地理解单调性,渗透数形结合的重要思想方法。
资源2:你如何理解函数的单调性?定义中有哪些需要注意的关键字?
注:单调性概念对学生而言较为抽象,了解学生现有的认知水平,可帮助学生从感性认识上升到理性认识,培养学生的抽象思维能力。教师提醒学生关注数学概念的生成过程的同时,还要注意数学概念中语言的严谨性、准确性,培养学生严谨的数学思维品质。
资源3:已知下列命题:
①定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)是R上的增函数;
②定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上不是减函数;
③定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数;
④定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数.
其中正确命题的序号有_______.
注:学生经常会忽略单调性定义中两个自变量选择的任意性,容易犯用特殊值代替一般性的错误。对四个问题的辨析,能够促进学生对单调性本质的理解。
【板块三】如何判断、证明函数的单调性
单调性的判断、证明方法并不唯一,而定义法是最重要和最基本的方法。这一板块笔者从正向和逆向两个方面入手,强调定义法在证明和判断单调性中的重要作用,通过“微资源”为学生搭建知识网络,加强数学基本功训练。
注:本题的设计意图有两个。
1.复习巩固运用定义法判断或证明函数单调性的一般步骤。
(1)设元:在给定区间上任取x1,x2,且x1<x2;
(2)作差:f(x2)-f(x1);
(3)变形:对上述差值进行变形(因式分解、配方、或利用不等式的知识);
(4)判号:判断f(x2)-f(x1)的符号,得出f(x2),f(x1)的大小;
(5)定论:根据定义判断函数f(x)的单调性。
2.所选函数是学生熟悉的反比例函数,便于学生利用数形结合的思想方法分析问题。
注:资源1是正向问题,已知函数的解析式,判断函数的单调性,资源2是逆向问题,已知函数的单调性,确定待定字母的范围。通过正反两个问题的设置,强化解决单调性判断和证明问题的一般方法。正向问题向逆向问题的递进,让学生在体会函数单调性概念本质的同时,也复习了恒成立问题的一般解决方法,将所学知识有机结合,培养数学高阶思维。
【板块四】函数单调性的应用
单调性的应用是单调性学习的难点,能否将学习的知识灵活运用,是检验教学效果、评价学生课堂学习行为的重要依据。这一板块的设计,聚焦教学目标,是对课堂教学达成度的检验证据。
资源1:函数y=x2-2ax在(-∞,1)上是减函数,则实数a的取值范围是_________.
资源2:请你构造一个二次函数,使它在区间[-1,1]上是单调递减__________.
资源3:函数f(x)=ax2+4(a+1)x-3在[2,+∞)上递减,则a的取值范围是__________.
资源4:若函数f(x)为R上的减函数,且f(x)的图象经过点A(0,3)和B(3,-1),则不等式的解集为__________.
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)
C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
注:五个“微资源”之间层层递进,由易到难、由具体到抽象,符合学生的认知规律,使学生有“跳一跳就能摘到果子”的感觉,提升学生学习知识的成就感。
(一)基础练习
(Ⅰ)填空题
1.若函数y=f(x)的定义域是R,则“对于任意x∈R,恒有f(x)<f(x+1)”是“y=f(x)在R上是增函数”的必要非充分条件.
【说明】本题考查学生对单调性概念的掌握,让学生感悟定义中“任意”两字的准确性和严谨性。
2.若函数f(x)=kx2-4x+8在区间[5,20]上单调递减,则实数k的取值范围为
【说明】本题属于易错题,考查学生的分类讨论思想,培养学生思维的严谨性。
【说明】本题是单调性的逆向问题。解决方法通常有两种,一种是变量分离,将函数转化为反比例型函数;
另一种是逆用单调性定义,将其转化为恒成立问题。
【说明】本题着重考查学生数形结合和分类讨论的思想方法。
5.若函数f(x),g(x)均为R上增函数,则下列命题中正确的是(2).
(1)f(x)+g(x)及f(x)g(x)均为增函数;
(2)f(x)+g(x)为增函数,f(x)g(x)单调性无法确定;
(3)f(x)+g(x)单调性无法确定,f(x)g(x)为增函数;
(4)f(x)+g(x)及f(x)g(x)的单调性均无法确定.
【说明】本题需要学生既要会用定义证明正确的命题,也要会举反例证明错误的命题,这类问题常常因为考虑问题不全面而判断错误。
(Ⅱ)选择题
【说明】分段函数的单调性问题是易错和难点问题。学生可借助函数的图象进行数形结合考虑,注意对自变量分界位置函数值大小的比较。
(Ⅲ)解答题
7.已知函数f(x)是奇函数,且f(x)在定义域(-1,1)上递减,若f(1-a)+f(1-a2)<0,试求实数a的取值范围.
【说明】本题将奇偶性与单调性结合,考查学生综合运用知识的能力,学生的易错点是忽略函数的定义域。
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
【说明】本题综合考查函数的奇偶性和单调性。第(1)题强化解决奇偶性的基本方法,渗透分类讨论的数学思想。第(2)题是单调性问题的逆向考查,强化逆用函数单调性定义,将字母变量分离转化为恒成立问题的思想。在课堂教学和作业设计中要注意对函数综合问题的考查,体现单元设计理念。
(二)拓展练习
9.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,解不等式:f(x)-f(x-2)>3.
【说明】本题是利用单调性解不等式问题,题目中函数性质以关系式f(xy)=f(x)+f(y)呈现,这种抽象函数问题是难点问题,学生需整合已知条件,分析其内在联系,通过已知不等式建立函数值之间的关系,进而应用单调性解决问题。此类问题注重对学生独立分析问题、解决问题能力的培养,有利于学生将知识内化成能力。
(三)个性化练习
请你结合自己在函数单调性问题中遇到的困难,自己寻找资源,为同学设计一道有关函数单调性的问题。
【说明】个性化作业要求学生为同伴设计作业,一方面可以通过资源搜集强化学生对薄弱知识的掌握,另一方面可以增进同伴之间的合作互助学习,促进共同进步。
【教学设计反思】
通过本课的教学设计实践,笔者更深刻体会到各个年级的数学学习是一个有机整体,知识学习的过程是一个循序渐进的过程。只有在高一、高二打好基础,才能在高三的复习中“厚积薄发”。教育的主体是有生命力、有思考力、有创造力的学生,教师在教育教学中要始终把学生作为主体,在实践中始终关注学生的所思所想,基于理解进行逆向教学设计,从单元教学的角度设计教学,帮助学生打造泛舟数学海洋的双桨,促进学生的终身发展。
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