辛玉鑫

（山东省青岛市第六十七中学，山东青岛 266100）

数学建模是学生高中阶段必备的数学核心素养之一，新课程标准中特别强化了数学建模思想的核心地位，并以主题的形式要求学生参与数学建模活动与数学探究活动的全过程。使学生认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力、增强创新意识和科学精神。

数学建模素养不具备外显性，尤其是在单节课程中往往很难评价。本节课运用逆向教学设计思路设计评价方案，基于评价设计整体教学思路，并给出评价量表中每个问题的素养权重表，使得学生可以依据评价量表量化衡量核心素养达成情况。本节课的素养达成目标重点在于数学建模核心素养的培养，授课目标为求解在几座建筑所组成的建筑群中安装无线信号发射器的最优方案。所运用到的几何模型为长方体的外接球，同时需要应用到数据分析，解不等式组，线性规划等相关知识，是一节综合性较强的应用类课程。

（一）提出问题，优化模型

为迎接2021年将在我校举行的全国大学生运动会，需在我校行政楼、实验楼、3，4号教学楼以及体育馆内建立内部无线网络通信系统，要求信号完全覆盖于上述区域。请自行搜集数据，从成本角度给出网络信号发射系统的最佳安装方案，并给出分析过程。

通过对设计图纸的分析整理，借用计算机软件做出五栋楼的立体模型，培养学生直观想象的核心素养，并为后期的计算做准备，进而得到较理想的平面模型。

优化后的平面模型（单位：10 m）

信号发射能覆盖的区域可以看作是一个球，信号完全覆盖可以理解为球，可以完全包含这几栋建筑，所以可以抽象成长方体外接球的问题，可以通过求解长方体外接球的半径来得到信号能够完全覆盖时对信号发射器发射半径的要求。

（二）价格分析

以下为某公司给出的该项目的投标书中产品价格报表，请根据报表分析该公司产品的价格：该公司的产品价格主要受哪些因素的影响？如何影响？

项目名称：青岛市第六十七中校园内部网络通信系统安装项目（以下为本公司现有产品型号参考价格，产品可根据项目需求进行定制）

产品型号 最大覆盖半径/m 报价CRN-40 40 2000 CRN-50 50 2000 CRP-60 60 3000 CRP-75 75 4550 CRP-80 80 5050 CRP-100 100 7000

设计意图：通过画散点图发现散点图大致分两部分，当覆盖范围小于50m的时候，价格没有变化，都是2000；
当价格大于50m时价格递增，通过60m和75m所对应的价格发现，半径增加15m时价格增加了1550，也就是每米100元左右。且半径最少增加5m，所以半径应该是以5的倍数增加，约为每5m收500元，旨在培养学生数据分析的核心素养。

各组最优方案展示：

P= + ×= × + ×=images/BZ_235_559_333_913_555.png安装1个R=121，86，取作125(125 50)2000 500 5 1 2000 15 500 9500−1组安装5个images/BZ_235_559_576_962_829.pngr1～r4均小于50，取作50；
r5≈50.71，近似取作50；
P=5×2000=10000 2组 安装2个images/BZ_235_559_864_942_1105.pngP1=4500 P2=5000 P=4500+5000=2×2000+11×500=9500 P1+P2+P3 3组 安装三个images/BZ_235_559_1129_946_1372.pngr1≈73.19, P1=4500;r2≈49.9, P2=2000;r3≈50, P3=2000;4500+2000+2000=3×2000+5×500=8500 4组 安装4个images/BZ_235_559_1400_1030_1696.pngP=4×2000+1×500=8500

（三）模型分析

可根据信号发射器的个数进行分类。将任务分给四个小组，合作求解成本最低的最佳安装方案。学生展示自己的探究成果，教师记录每种分类下的最优方案的计算式，师生共同比较得到最佳方案。通过该过程培养学生数学建模、数学运算的核心素养，增强合作意识。

根据以上各小组分享，在现有报价下安装3个或4个发射器价格最优。对应价格为：

P=3×2000+5×500=8500或P=4×2000+1×500=8500

（四）模型推广

现有三家公司共同参与竞标，通过类似的分析方法得到以下三家公司的价格表示，请通过对模型的分析选择适当的方案，从价格角度给出建议。（忽略墙壁阻挡，其他设施对发射器安装位置影响等外部因素）

其他两家公司给出的报价中，费用依然是两部分，在研究数学问题时，我们可以将变化的数据抽象为两个变量，将刚才得到的不同分类下最优方案的费用表示成这两个变量的函数，得到表达式分别为

单个发射器成本及安装费用 半径每单位增加费用甲2000 500 1900 650丙2200 400乙

最优方案的选择可以通过以下不等式组的求解来完成。

由此，只需要分别计算每个公司的报价中y与x的关系，就可以确定该公司的最优方案和最低成本。以上分析是从“数”的角度利用不等式得到的计算结果，下面从“形”的角度利用图像加以分析。我们现在将成本表示成关于x和y的函数，利用Matlab做出不同方案下成本z关于两个变量的函数图像，如图1所示。

她之所以让其他人回去，就是怕他们听到许诺醉后吐的这些真言，那一整晚，她听他一遍又一遍地说着那句话，眼泪一颗接一颗地落在那件花了大价钱订制的洁白婚纱上。

图1

方案要最优即成本最小，体现在图像中即z的值要最低。取从下往上的视角观察图像，看到的颜色所代表的个数即为最优方案。将图像转换得到从下往上看的图像，截取其中x、y均大于0的部分并调整坐标轴的方向，在平面直角坐标系中表示出刚才所得到的结果。

（五）结果应用

利用以上分析结果计算得到三家公司报价下的最优成本。

单个发射器成本及安装费用半径每单位增加费用 方案选择 最优方案成本甲 2000 500 y= x 3个或4个 8500 14乙 1900 650 1 4 y> x 4个发射器 8250丙 2200 400 1 5 y< x 1个发射器 8200

设计意图：通过报价数值的改变，结合函数的思想，将其中变化的量表示成函数的自变量，可以得到不同发射器个数下最优方案成本的表达式，然后共同思考如何探究最优成本。通过特殊问题一般化的过程，培养学生数学抽象，逻辑推理，数学运算的核心素养。

以上问题解决时所用的探究方法同样适用于其他类似问题的讨论，如说手机信号增强器的安装方案、照明系统的安装方案等。并且以上讨论都是建立在理想状态下，忽略了很多其他因素的影响，如墙壁对于信号的影响，其他建筑对于信号发射器安装位置的影响等。因此运用结果时要结合综合因素，结论描述需要从多角度进行分析，结合现实、覆盖率、维修、适用性、普遍性的因素等。

（六）素养达成分析

自我评价量表

问题 得分1能够设计合理的测能够利用所测数据量方案，得到每座建筑长宽高2绘制平面模型3 能够结合实际情况对数据进行优化处理4 能够分析出半径为影响价格的因素并在直角坐标系中画出散点图5 能够根据散点图分析价格和半径的相关关系6 能够结合实际情况用分段函数的形式表示半径和价格的关系7 能够根据平面图确定方案的分类依据8 能够有条理地完成不同分类下各种方案成本的核算工作9 能够在不同方案的成本核算过程中灵活地处理数据，进一步优化方案10 能够分析抽象出不同安装个数下成本关于两类费用的函数表达式11 能够用数学理论从代数角度分析出方案选择与两变量之间关系的关联性12 能够运用信息技术工具利用图像分析方案选择与两变量之间关系的关联性13 能够利用数学模型得到的结果判断每个公司报价下的最优方案和最低成本14 能够结合实际，有理有据地阐明方案的合理性

根据以上素养权重对照表，可以得到学生在本节课中各素养达成率，积累一段时间的数据后就可以形成个人阶段性的素养追踪报告，以及班级素养追踪报告，使得核心素养的培养可以量化衡量。

阶段性素养追踪图例

（一）问题分析

以上素养追踪数据的生成有赖于评价量表中素养权重赋值，而评价量表的设计、每个问题的素养权重赋值均具有主观性。

案例中给出的仅为针对课堂教学部分的评价方案，针对核心素养达成情况的追踪还可以通过试卷分析、个人自评、小组互评、教师评价等多种方式展开，进行综合评定。

（二）在日常教学中落实数学建模的必要性

本节课的整体设计思路源于笔者在日常教学中有一个深刻体会：学生根本不知道为什么学数学，学习数学有什么用，尽管无论是考试大纲还是新课程标准中都明确提出了数学学习的终极目标是能用数学的眼光看待世界，用数学的语言描述世界，用数学的思维思考世界[1]，但在日常教学中如何落实这一点是我们需要在教学过程中认真思考的问题。

回顾整个数学史的发展历程，我们会发现每一个数学理论的突破都是由需求产生的，也就是说，每一个新的数学知识的出现都是为了“用”而出现的。如果能在学生学习的同时，让他们尝试去运用所学知识解决他们所熟悉的问题，在应用中体会数学学习的乐趣，在自主思考中达到素养提升的目的，会收到事半功倍的效果，而这也正符合新课程标准中强调的数学建模和数学探究活动的要求。

（三）采用逆向教学设计构建问题导向机制，逐步培养建模思想

本节课采用逆向教学设计构建整体教学过程，在目标导向下进行梯度设置：首先从给定报价的模型入手，进行一般性的讨论；
其次将单个变量改变，引导学生分析价格变化对方案选择的影响，初步形成变量的概念；
最后通过多家公司报价的提出，引导学生自主设置变量，解决一般问题。并以评价量表的形式实现对每阶段的目标达成情况的量化衡量。

数学建模最终要面向的问题是生活中的实际问题，因此建模过程中要考虑很多实际因素对模型的影响。在对模型进行分析计算时，要考虑到诸多实际条件的制约，而不是盲目地进行分析，对于数据的分析也要考虑计算量的影响和实际条件的影响。培养数学建模的思想应该是一个由浅入深，由特殊到一般，由问题化设置到情境化、生活化的系统过程，逆向教学设计与此过程可以很好地契合，结合量化的素养达成情况分析，通过系统的问题设置、情景模拟，尽可能地为学生提供培养建模思想的沃土，让学生的思想可以充分地伸展、生长。

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