王琴琴， 周孟德， 孙晨晋， 任宇航， 张新雨， 刘 巍

(大连理工大学 机械工程学院, 辽宁 大连 116024)

压电作动器作为能实现电能-机械能相互转换的微纳精度执行器，具有体积小，位移分辨率高，响应速度快及输出驱动力大等特点，被广泛应用于光学扫描定位、航空航天及生物医学等领域进行精密定位与控制[1]。在高速风洞飞行器动稳定性评估试验中，压电作动器作为角位移输出装置的驱动元件，通过电压驱动的方式驱动压电叠堆作动器产生微位移，经角度转换放大装置转化为不同频率的简谐运动[2]。然而压电材料存在迟滞非线性现象，即输入电压与输出位移呈多值映射性，使压电作动器输出位移偏移预设值，从而影响角位移装置的输出精度，甚至造成整个动稳定性评估系统失稳[3]。控制系统输入信号频率不固定，而压电元件输出位移不仅与当前输入信号有关，还受输入信号频率影响。因此，建立压电叠堆作动器的率相关迟滞非线性模型，是实现执行器线性化控制的前提和保障，有利于提高控制系统的精度和稳定性。

针对压电元件的迟滞建模问题，国内外学者进行了大量的科学研究。目前，描述迟滞现象的模型主要分为：

1) 基于迟滞内在物理机制的物理模型(如Jiles-Atherton模型[4]及Duhem模型[5]等)。

2) 仅考虑系统输入输出数学关系的唯象模型(如Prandtl-Ishlinskii(PI)模型、Bouc-Wen模型[6]及Hammerstein模型[7]等)。

3) 基于机器学习方法的智能模型(如神经网络模型[8]及支持向量机模型[9]等)。

PI模型结构简单且存在数学解析逆模型，是当前应用最广的迟滞建模方法之一，但PI模型只适用于描述对称的迟滞曲线。压电叠堆作动器迟滞环具有非对称及非光滑的特点。许多学者提出了改进的PI模型(如变间隔阈值PI模型[10]、基于非对称play算子的PI模型[11]及改进增强型PI模型[12]等)，这类改进模型通过将模型进行分段描述及增加模型参数的方法，改善了PI模型奇对称的局限性，但改进后的模型存在结构复杂、参数多的问题，并且在输入信号频率大范围变化时，建模精度降低，无法描述迟滞的动态率相关特性。

本文针对压电叠堆作动器的迟滞非线性、非对称特性，在PI迟滞模型backlash算子基础上，提出了符合压电作动器迟滞环非对称，输入、输出非负特性的asymmetric unilateral backlash(aubacklash)算子；
考虑到迟滞现象的率相关记忆特性，构建了基于aubacklash算子的率相关BP神经网络(BPNN)迟滞模型。搭建了压电叠堆作动器迟滞建模精度评估系统，采用Levenberg-Marquardt(L-M)算法辨识了aubaklash算子参数，确定了BP神经网络迟滞模型的最优结构。通过单一高低频及复合频率信号下的实验数据，验证了本文提出的建模方法的准确性与频率适应性。

对压电叠堆作动器施加激励电压，其升压与降压阶段的输出位移曲线不重合，呈现出一对多的多值映射非线性，且迟滞曲线随输入电压信号的频率变化表现出明显的率相关特性，如图1所示。压电叠堆作动器迟滞非线性还具有局部记忆特性，即当前时刻的输出位移不仅取决于当前时刻输入，还受历史输出位移的影响。

图1 压电叠堆作动器率相关迟滞非线性

本文提出的压电叠堆作动器率相关迟滞模型结构如图2所示。图中，aubacklash算子用于描述静态非线性迟滞特性，率相关特性扩展输入用于描述动态率相关迟滞特性，将以上两者结合构成神经网络输入，构建BPNN迟滞模型。

图2 率相关迟滞模型结构

1.1 静态aubacklash算子迟滞模型

PI迟滞模型通过线性叠加多个不同权值和阈值的backlash算子来预测压电叠堆作动器迟滞响应(见图1)。backlash算子(见图3)表达式为

图3 backlash算子

(1)

式中：ub(t)为t时刻backlash算子输入；
Hr[ub](t)为backlash算子输出；
r为backlash算子阈值；
T为采样周期。

由图3可知，backlash算子输入-输出图像呈严格中心对称，当输入为0时，算子输出取决于算子权值与阈值。实际压电叠堆作动器升降压迟滞回线非对称，且输入激励电压为0时，输出位移响应为0。因此,用backlash算子描述压电叠堆作动器迟滞非线性存在精度不足的问题。

为增强算子灵活性，改进backlash算子在原点处的残余位移与算子图像中心对称性的问题，提出了非对称单边aubacklash算子(见图4)，其表达式为

图4 不同非对称系数m取值的aubacklash算子

(2)

式中：ua(t)为t时刻的aubacklash算子输入；
Hr,m[ua](t)为aubacklash算子输出；
r为aubacklash算子的阈值;m为非对称修正系数;T为采样周期。

改进后aubacklash算子依然具有原backlash算子结构简单的优点，更符合压电叠堆作动器实际输出时的特性。将以上n个不同权值w、非对称修正系数m和阈值r的算子叠加可得到aubacklash算子模型输出yAPI(t)：

(3)

算子阈值向量r=(r1,…,rn)T为一组由算子输入决定的等差数列[12]：

(4)

式中：n为aubacklash算子个数；
umax(t)为最大输入电压。

1.2 动态率相关BPNN迟滞模型

BPNN通常由一个输入层、一个非线性隐含层和一个线性输出层构成，采取输入信息前向传播、预测误差反向传播的方式进行模型学习和训练，使其输出不断逼近待辨识的复杂非线性模型[13]。与迟滞现象的多值映射特性不同，BPNN描述的是一对一的映射关系，因此需引入能代表迟滞率相关记忆性的特征输入作为神经网络的扩展输入层节点，通过扩展BPNN输入向量维度，使其能准确描述压电作动器多对一的迟滞特性。

针对压电叠堆作动器的率相关迟滞特性，通过当前时刻和上一时刻的输入电压作为神经网络的扩展特征输入，以此表征输入信号频率对当前时刻输出位移的影响；
针对其局部记忆特性，引入上一时刻的输出位移作为神经网络的扩展特征输入。因此，将上一时刻输入激励电压u(t-1)、当前时刻输入激励电压u(t)、上一时刻输出位移y(t-1)作为BPNN扩展输入，与aubacklash算子模型预测输出yAPI(t-1)一起作为迟滞模型输入层，形成由4个输入层节点、j个隐含层节点、1个输出层节点构成的三层BP神经网络，该迟滞模型拓扑结构如图5所示。

图5 BPNN迟滞模型结构示意图

BPNN隐含层节点数将对神经网络模型预测精度产生较大的影响，隐含层最优节点数的范围为

(5)

式中：i为输入层节点数；
j为隐含层节点数；
k为输出层节点数；
a为0～10的常数。

由图5可知，i=4，k=1，再根据式(5)可得，BPNN迟滞模型中隐含层节点数为2～12。

2．1 迟滞建模精度评估系统

搭建的迟滞建模精度评估系统如图6所示。数据采集记录仪器使用美国NI公司嵌入式实时控制器，增设了采样率250 kS/s的16位控制信号输出(D/A)模块及采样率102.4 kS/s的24位应变信号采集(A/D)模块作为驱动型号输出及位移采集系统。压电叠堆作动器为德国PI公司的定制高压压电陶瓷P-016.20，其谐振频率为64 kHz，压电陶瓷内部封装的应变片可用于实时应变监测，在驱动电压0～1 000 V下，作动器标称行程范围为0～30 μm。D/A模块可输出电压信号为0～10 V。在驱动电压0～10 V下无法获取压电叠堆作动器迟滞特性曲线，因此，在D/A模块与压电作动器之间增加信号放大环节，选用PI公司功率放大器将D/A模块输出控制信号放大100倍。在功率放大器输出驱动信号作用下，压电作动器产生的应变可通过应变采集模块构成应变全桥电路测量作动器实时应变，并由控制器实现实时应变-位移的转换，进而将位移信号传输至上位机显示与保存，信号传输流程如图6所示。

图6 迟滞建模实验系统图

本实验的数据采集控制算法基于LabVIEW软件，为实现不同频率激励电压信号下压电叠堆作动器输出位移信号的精确还原，设置输入输出模块采样频率均为10 kHz，对压电作动器施加幅值和直流偏置为A、频率为f的偏置正弦激励电压。u(t)=A+Asin(2πft-0.5π)，采集的激励电压信号及输出位移信号通过LabVIEW在上位机实时显示与存储。

2.2 aubacklash模型参数辨识

要辨识率相关记忆BPNN迟滞模型参数，首先需要确定BPNN输入层aubacklash算子模型预测输出yAPI(t)。在Matlab/Simulink中搭建算子个数n=9的aubacklash算子模型，使用模型参数辨识工具箱对模型未知参数(权值w、非对称修正系数m)进行辨识。参数辨识方法采用L-M算法，设置参数辨识终止条件：ε=0.001，阻尼系数初值λ1=0.000 1，最大迭代次数kmax=100，导入峰-峰值为8 V、直流偏置电压为4 V、混合频率为1 Hz/5 Hz/10 Hz/ 30 Hz/50 Hz/80 Hz正弦激励下，输入激励电压-输出位移数据辨识参数(w、m)如表1所示。

表1 aubacklash算子模型参数

2.3 BPNN模型结构参数

采用与上述aubacklash算子模型参数辨识相同的实验数据对BPNN进行训练，设置BPNN学习速率为0.01，训练目标最小误差为0.000 01，将单一频率4 Hz下的实验数据作为模型精度测试数据，不同隐含层节点数神经网络模型计算的建模均方根误差(ERMSE)为

(6)

式中：y(t)为压电叠堆作动器实际输出；
ym(t)为模型拟合输出。根据式(6)计算结果如表2所示。

表2 不同隐含层节点数建模误差

由表1可知，当隐含层节点数为6时建模均方根误差值最小，因此可确定该率相关记忆BPNN模型各层神经元节点数分别为4-6-1。

为了验证本文所提出模型在描述压电叠堆作动器率相关迟滞特性时的优势，分别用2Hz、60 Hz、100 Hz的单一正弦激励信号及混合正弦激励信号3 Hz/8 Hz/20 Hz/40 Hz/70 Hz下的数据建立BPNN迟滞模型与PI迟滞模型，对比了两模型在相同输入信号下的建模结果。PI模型由一系列不同权值w和阈值r的backlash算子线性叠加而得，同样搭建backlash算子个数n=9的PI模型，在Simulink中采用L-M算法对模型参数进行辨识。

图7、8为单一频率2 Hz与混合频率3 Hz/8 Hz/20 Hz/40 Hz/70 Hz输入电压信号下，实验数据与BPNN模型、PI模型建模对比及建模误差图。

图7 单一频率2 Hz时模型实验结果

图8 混合频率3 Hz /8 Hz /20 Hz /40 Hz /70 Hz时模型实验结果

由图7可知，单一频率输入信号下，在输入信号峰值和谷值时，PI模型建模误差较大，且在周期正弦输入信号作用下，模型输入-输出迟滞环与实验数据迟滞环重合度较低。与PI模型相比，在整个周期内，BPNN模型建模误差均低于PI模型，模型预测输出更稳定。由图8可知，混合频率输入信号下，PI模型随着输入信号频率升高，建模误差明显增大。而BPNN模型对混合频率信号有较好的适应能力，即BPNN模型对变频率信号预测输出更接近真实值。

采用均方根误差ERMSE、相对误差ERE验证BPNN模型与PI模型精度，计算式为

(7)

表3为不同频率下BPNN模型与PI模型建模误差对比。

表3 BPNN模型与PI模型建模误差对比

由表3可知，在输入信号频率为2Hz时,BPNN模型ERMSE较PI模型ERMSE提高89.98%，ERE较PI模型ERE提高89.84%；
输入信号频率为60 Hz时，BPNN模型ERMSE较PI模型ERMSE提高78.82%，BPNN模型ERE较PI模型ERE提高78.83%；
输入信号频率为100 Hz时，BPNN模型ERMSE较PI模型ERMSE提高70.90%，BPNN模型ERE较PI模型ERE提高70.69%；
输入混合频率信号时，BPNN模型ERMSE较PI模型ERMSE提高88.14%，BPNN模型ERE较PI模型ERE提高88.28%。因此，低频、高频及混合频率下，本文提出的率相关BPNN迟滞模型较PI唯象模型均表现出较大优势，模型具有良好的频率适应性。

本文针对压电叠堆作动器的非线性、率相关迟滞特性，对PI模型的backlash算子做出了改进，提出了非对称aubacklash算子。在此基础上，将aubaklash算子输出作为BPNN扩展输入，提出了率相关记忆BPNN迟滞模型。通过本文搭建的基于NI实时控制器的实验平台，对所提出的率相关迟滞模型进行实验验证。实验结果显示，与PI模型相比，在高、低单一频率及混合频率输入信号下，本文提出的BPNN迟滞模型精度均明显比PI模型优，均方误差提高较PI模型降低了70.90%～89.98%，相对误差较PI模型降低了70.69%～89.84%，对不同频率信号均有良好的适应性。该建模方法求逆过程简单，模型精度高且频率适应性好，为叠堆压电作动器的线性化补偿与高精度控制奠定了基础。

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