李衡金，汤 卿

(四川大学机械工程学院，成都 610065)

随着机器人的发展，人们对机器人在更加广泛的任务中提出了更高的要求，如人机交互中的安全性、舒适性、灵活性等。然而现有刚体机器人和操作手难以应对复杂环境的动态需求，需要一种新型机器人来弥补其不足，因此软体机器人应运而成，成为目前研究的热点。

机器人工作空间的大小是衡量其性能优越性的一个重要指标。刚体机器人工作空间的大小决定了其末端参考点的可达范围，而且计算方法具有通用性[1]。但对于软体机器人而言，其工作空间的定义和计算方式有较大的不同。对于软体机器人，不同的驱动方式(气动[2]、线驱动[3]、燃爆驱动[4]、流体驱动[5]、记忆合金[6]等)、不同的结构(条形[6]、环形[7]、球形[8]、异形[9]等)、不同的材料参数(密度、杨氏模量、泊松比等)等都会对其运动学模型产生影响。因此难以总结出一套通用的理论对软体机器人进行建模。同时由于软体机器人可变形的特性，通常采用有限元分析的方法对其进行仿真。而商业有限元仿真软件[10]是离线非实时计算，仅获得单一工况下的软体机器人状态就需要花费大量时间，因此难以对大量的形变状态进行仿真。

机器人的最大可承受负载也是衡量机器人优越性的一大指标。由于获得最大可承受负载的实验对于机器人有一定的破坏性，当负载过重时可能导致机器人关节和固定链接处的损坏。因此采用有限元方法对机器人进行动力学分析是获得机器人理论最大可承受负载的有效方法。CHUNG等[11]设计了重型工业机器人机械手，通过有限元分析软件对机器人进行仿真，实现了对机器人的整体结构的评估。多数的机器人负载仿真都是针对刚体机器人，而对于软体机器人的负载理论分析较少。

针对以上存在的问题，本文首先提出了一种线驱动的连续型软体机器人，通过电机旋转控制线缆长度进而实现驱动；
然后基于SOFA有限元实时仿真框架，通过Monte Carlo算法快速得到软体机器人工作空间中大量的离散点。通过α-shape算法计算工作空间的边界曲面，调整参数α大小得到了较高的重建精度。并计算了边界曲面的体积大小，对工作空间进行了量化分析；
最后对软体机器人的最大可承受负载能力进行了理论分析。

1.1 软体机器人描述

软体机器人由4根线缆驱动，各线缆沿本体纵向呈90°均匀布置，可以在多个方向上运动。线缆贯穿本体内部，头部固定在本体顶端。在本体内部沿线缆路径方向放置管道，使线缆在管道内部滑动，避免线缆和本体之间的摩擦。主要几何参数：全长L=200 mm，最大半径15 mm，最小半径5 mm，其余所有件(顶部与末端之间)半径由15 mm逐渐减小到5 mm。在仿真中，使用管道所产生的附加刚度采用刚性弹簧进行建模。由于通过电机转动改变线缆长度实现对机器人的驱动，因此相较于SMA、气动、流体驱动变形速度更快，同时可以在机器人轴为布置更多长度不同的线缆以实现更高自由度的控制。软体机器人的主视图和左视图如图1所示。

图1 软体机器人结构示意图

1.2 软体动力学模型

软体机械臂的动力学方程可以定义为：

(1)

1.3 线缆驱动约束

线缆驱动是通过在软体机器人内部放置线缆，在拉动线缆时使其内部某些点产生移位移，并带动相邻点移动，从而使机器人整体发生形变。假设线缆不可延伸，则可将线缆长度与执行器运动直接联系起来。对于每根线缆，给定牵引点位置ppull，可以定义函数δa(x):R3n→R表示线缆的长度，并限制其最大值和最小值为δa(x)[δmin,δmax]。通常线缆仅连接到软体机器人上的一个位置，并产生指向连接方向的力，此时线缆长度可以定义为：

(2)

式中，xs为软体机器人上连接线缆的位置。当软体机器人内部的线缆使用更加复杂的路径通过多个点连接时，线缆长度为：

(3)

式中，xi为线缆穿过模型的每个位置(如图2所示)；
λa为线缆施加在结构上的力。

图2 线缆拉伸示意图

在每一点xi，i∈{0,1,…,N}上，沿着线缆在db之前和da之后的方向(见图2)。为了获得应用于该点约束的方向，使用dp=da-db作为方向向量。对于末端点xs，由于未定义db，其方向等于da。每个点的约束方向存储在矩阵H(其大小与节点数相同)的相应位置：

(4)

2.1 动力学微分方程求解

通过SOFA基于场景图的模拟架构对动力学微分方程求解。场景包含机器人及其环境，可通过XML或Python脚本描述。式(1)中的惯性矩阵M(q)、力场F(q,v)、线缆驱动约束和接触约束H(q)Tλ分别通过SOFA仿真框架获得。将获得的动力学方程通过EulerImplicit或QuasiStatic微分方程求解器计算得到各网格点的速度与位置，如图3所示。

图3 SOFA计算框架

2.2 线驱动软体机器人工作空间

刚体机械臂工作空间是指其末端参考点所能达到的空间点集合，工作空间的大小代表了机器末端执行器参考点的活动范围，是衡量机器人工作能力的重要运动学指标。而对于软体机器人，由于实现方式多种多样，对于任务的完成方式相较于刚体机械臂有较大不同，因此需要针对性的对软体机器人工作空间进行定义。对于本文所使用的软体机器人，并不单独使用末端进行物体的操作，在抓取物体时通过环抱卷曲方式实现抓取(如图4所示)，因此在末端可达范围内均可定义为工作空间。

图4 通过环抱进行物体抓取

2.3 工作空间算法

Monte Carlo方法是一种基于随机抽样的数值求解方法，可用于机器人工作空间的求解。通过Monte Carlo方法随机选择大量不同关节变量的组合，并代入到正向运动学模型中，计算机器人末端执行器参考点的坐标值。这些坐标值包围的空间就表示机器人的工作空间。随机选择的变量组合越多，则计算得到的机器人工作空间就越接近实际工作空间。

由于软体机器人在驱动方式、整体结构、材料属性等特性上的不同，导致难以获得软体机器人统一的正运动学模型，对其运动学建模较为困难。因此与传统刚体机器人计算工作空间的方式相比，在具体算法实现上有所差异。本文所用的软体机器人为线驱动，通过电机转动改变线缆的拉伸量，使线缆产生拉力，带动机器人本体产生形变。具有旋转关节的刚体机器人以关节角度为变量，而线驱动的软体机器人以线缆的拉伸量作为变量。通过对线缆的拉伸量进行随机采样，生成大量的线缆拉伸量组合。由于无法直接对软体机器人进行运动学建模，因此通过SOFA仿真框架获得软体机器人的末端参考点坐标。算法实现的伪代码如表1所示。

表1 软体机器人工作空间算法

2.4 工作空间边界曲面与体积计算

通过对工作空间的体积进行分析，可以对工作空间进行量化，评估机器人的性能。由于软体机器人末端可达范围内均可定义为工作空间，对得到的大量离散点P(j),j=1,…,N取边界曲面，并对曲面进行体积计算得到工作空间的体积。

对于三维空间离散点的边界计算可以通过α-shape算法获得。α-shape算法由EDELSBRUNNER等[12]首次提出，算法原理图如图5所示。具体实现原理：设有m个随机点的点集S，假设半径为α的圆在点集S外侧无滑动地滚动，当取得较为合适的半径α，圆恰好不会陷入点集S中，此时圆所经过的轨迹即为S的边界线。上述为二维平面内的α-shape算法，对于三维空间，则是将圆转换为球体。由3个点确定一个半径为α的球体，并在计算所得边界点周围构建三角面片，由此得到边界曲面。

图5 α-shape算法原理图

通过α-shape算法重构得到的边界曲面受半径α的影响较大。当α较大时重构得到的边界曲面会保留更多的离散点，可获得离散点所构成的凸包。当α较小时重构得到的边界曲面会舍去更多的离散点，得到的边界曲面会有更多的空洞。而当α=0时，则边界曲面会退化为原始的点集。因此选择合适的半径α对于构建离散点的边界曲面至关重要。对于任意的机器人，其工作空间内的离散点集S都有唯一的封闭最小边界曲面。当边界曲面确定，则体积也同时确定。因此可以将边界曲面的体积作为参考，衡量不同半径α的重构效果。依次递增半径αi，i=1,…,N，并计算对应的边界曲面的体积Vi，i=1,…,N，得到体积V随参数α变化的趋势，从而确定半径α的大小。

2.5 最大可承受负载理论分析

机器人的最大可承受负载通常通过有限元分析理论计算得出。对于刚体机器人，在仿真过程中对机器人末端依次施加不同质量的负载，得到机器人整体的形变量。设置变形量阈值，评估得到最大可承受负载。不同于刚体机器人，软体机器人自身刚性低、具有一定的柔性，对负载具有自适应性，在弹性变形后仍可恢复原来的形状。因此需要提出针对本文软体机器人最大可承受负载的衡量标准：软体机器人抓取不同质量的物体(当脱离地面时认为抓取成功)，并记录相应的线缆拉伸量，当超出线缆拉伸量范围仍无法抓取时，此时的质量为最大可承受负载。

3.1 工作空间分析

3.1.1 软体机器人网格划分

在进行软体机器人有限元仿真时，首先需要对机器人的几何体进行网格的划分，网格划分的质量将会直接影响求解的精度和速度。进行网格划分时要求在面上生成三角形或四边形网格，在体上生成四面体网格，从而保证有限元计算精度。图6给出了不同精度的有限元网格的划分，相应的节点数与网格数如表2所示。其中226、396、664个节点的网格不够精确，最前端的手指关节没有被体现，因此无法准确地描述软体机器人的几何特性。而7567个节点的网格虽然可以对软体机器人的几何结构准确描述，但其网格数量较高，在进行仿真时会降低计算速度，同时相较于1516个节点的网格并不能在大范围内提高仿真精度。因此1516个节点的网格相较于其他网格划分能够更好地平衡仿真的精度与速度要求，在后续实验中将采取此网格划分结果。

图6 软体机器人四面体网格

表2 不同网格划分的节点数和网格数

3.1.2 工作空间离散点计算

在SOFA仿真脚本中设置软体机器人的材料参数(杨氏弹性模量、泊松比、质量)为：

E=18×105Pa，v=0.45，m=0.05 kg

将机器人脚本导入到SOFA仿真框架中，设置总线缆数n=4，随机采样点数量N=10 000，线缆拉伸量范围为0～30 mm，通过前文所设计的Monte Carlo算法计算软体机器人的工作空间内的离散点。将得到的离散点进行可视化，三维图、主视图、左视图、俯视图如图7所示。

图7 软体机器人末端可达点

实验结果表明：机器人工作空间并非完全对称，这是由于重力的影响导致软体机器人在重力方向上有所偏移。同时可以得出软体机器人末端参考点的可达空间为曲面，内部没有包含点，表明所设计的软体机器人为欠驱动。通过前文关于软体机器人工作空间的定义，可以得出虽然末端点的可达空间为曲面，但由于通过环抱物体实现对物体的操作，因此曲面内部均为工作空间。而且软体机器人相较于常见的刚体机器人(如图8所示)在工作空间上分布更加均匀，不会出现在某一区域出现空洞或尖峰导致操作能力下降的问题，尤其是在X-Z和Y-Z平面上。

(a) KUKA KR120 (b) KUKA KR6

3.1.3 参数α的确定与工作空间体积计算

通过α-shape算法计算离散点的边界曲面时，需要确定合适的半径α。首先以步长为1在区间α∈(0,200]选取200个数据计算工作空间内离散点的边界曲面，并计算相应边界曲面的体积，如图8所示。当半径α取值较小时，边界曲面的体积几乎为0。这是因为当半径α过小时，导致计算得到的边界曲面上有较多的空洞，仅有一些离散的三角形面片，如图9中半径α为20 mm时的边界曲面。当半径α继续增加至40 mm时，迎来第一个“拐点”，此时边界曲面的体积随着半径α发生明显变化。当半径α为80 mm时，经过第二个“拐点”，此后边界曲面的体积没有明显变化。而且此时边界曲面没有空洞较为平滑，如图9中半径α为80 mm的边界曲面。因此可以选定第二个“拐点”所对应的半径α为最佳值，此时α为80 mm，所对应边界曲面的三视图如图10所示。并计算相应边界曲面的体积大小为5.77×106mm3。

图9 不同半径对应边界曲面的体积

图10 不同半径α对应的边界曲面形状 图11 末端可达点构成的边界曲面

3.2 最大可承受负载理论分析

在SOFA实时仿真框架中进行最大可承受负载的理论分析。首先设计了如图12所示的负载。

(a) 负载三维模型 (b) 软体机器人抓取负载图12 负载三维模型与抓取

改变线缆的拉伸量使机器人发生形变，从而实现对物体的抓取与提升。然后依次增加负载的质量，并重复上述的步骤。直到拉伸量超过限制范围仍然无法提升负载时，认为此时重量为理论最大可承受负载。通过多次实验得出不同质量所对应的线缆拉伸量，如表3所示。当质量超过140 g时，在拉伸量允许的范围内无法将其提升，因此此时的负载质量为理论最大负载。

表3 负载质量与拉伸量

本文首先设计了一种线驱动的连续型软体机器人，相较于气动和流体驱动整体质量较低；
相较于SMA驱动，形变速度更快，缓冲时间更短；
而且可以在机器人周围布置多根线缆，以实现更高自由度的控制。然后提出了针对软体机器人的Monte Carlo工作空间计算方法，该算法能够快速得到机器人工作空间内大量的离散点。其次通过α-shape算法计算离散点的边界曲面，确定了机器人工作空间大小，所提出的软体机器人相较于刚体机器人工作空间分布更加均匀。最后在SOFA仿真框架下，进行最大可承受负载的理论分析，得到了在拉伸量允许的范围内的最大负载重量。

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