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关于区间值函数的Opial型不等式的进一步推广
2023-05-08 11:10:07 ℃连俊勤,赵大方
(湖北师范大学 数学与统计学院,湖北 黄石 435002)
1960年,波兰数学家Opial[1]建立了下面的积分不等式:
假设f∈C1[0,h]满足f(0)=f(h)=0,且f(x)>0对任意的x∈(0,h)都成立,则
此后,Beesack、华罗庚、Agarwal、赵长健等对Opial不等式进行了不同形式的推广[2~5]。由于Opial不等式在微积分和微分方程等领域的重要应用,至今仍是不等式研究领域的热点。国内外学者对Opial不等式及其应用进行了广泛的研究,在右端系数的精确估计、连续型推广以及离散化推广等方面取得了丰硕的成果[5-10]。最近几十年,区间分析作为一种新的解决不确定性问题的方法被广泛应用,而且区间值函数的积分理论是区间分析的重要组成部分。近年来,一些经典的积分不等式被推广到区间值函数的形式中,诸如Ostrowski不等式[11]、Beckenbach不等式[12]、Chebyshev不等式[13]等。2019年,Costa等人[14]建立了区间值函数的Opial型不等式,获得了一些富有意义的结果,但其主要结论中不等式的右端系数并不是最优的。2022年,Zhao等人[10]进一步推广了文献[14]中区间值函数的Opial型不等式。在文献[10]和[14]的研究基础上,我们对区间值函数的Opial型不等式的右端系数进行了进一步的优化,得到了一些新的结论,所得结论也可作为进一步解决区间微分方程、区间差分方程以及模糊区间值函数不等式等相关问题的研究工具。
令Kc()是上全体有界闭区间的集合,Kc()={[r,对任意的A=[a,b,(),λ∈,区间运算规定如下:
A⊖B=C⟺A=B+C
即对∀A∈Kc(),有A⊖A=[0,0].但对于Kc()中任意两个不同的区间,其H-差不一定存在。为解决这个问题,2009年,Stefanini和Bede[16]引入了gH-差:
即gH-差对Kc()中任意A,B都成立,有
显然,(Kc(),d)是完备的度量空间,其中d为Kc()上的Hausdorff度量,对∀A,B∈Kc(),有
此外,易知(Kc(),+,·)为拟线性空间,其中拟范数为:
定义1 (Stefanini和Bede[16])
定义2 (Stefanini和Bede[16])
设x0∈(s,t),p在x0处是gH-可导。
若x0在的任意邻域U内,存在x1 定理1 假设P,Q∶[s,t]→是[s,t]上的实值绝对连续函数,μ1,μ2≥2. 1) 如果P(s)=Q(s)=0,则 |(P(x))μ1(Q′(x))μ2|+|(Q(x))μ1((P′(x))μ2| )dx (1) 2) 如果P(s)=P(t)=Q(s)=Q(t)=0,则 |(P(x))μ1(Q′(x))μ2|+|(Q(x))μ1(P′(x))μ2| )dx (2) 证明 若P(s)=Q(s)=0,则 从而有 因此,我们有 同理可得 从而即证(1)式。 从而即证(2)式。 例1 若P(x)=x,Q(x)=x(cosx-1)为[0,1]上的实值绝对连续函数,μ1=8,μ2=8. (x)8·(cosx-xsinx-1)8+(x(cosx-1))8·18 )dx ≈0.36 ≈0.84. (3) 证明:根据范数的定义,有 由文献[10]中的引理3.1,我们有 再根据定理1的(1),我们有 结合上面的三个式子,我们有 从而即证(3)式。 (4) 证明 定理3的证明与定理2的证明类似,故省略。 (5) 从而即证不等式(5). 本文主要研究了关于区间值函数的Opial型不等式,推广并改进了一些单变量的关于区间值函数的Opial型不等式,为今后研究多变量的关于区间值函数的 Opial型不等式做了一些基础工作。 Further generalization of the Opial type inequalities for interval-valued functions LIAN Jun-qin,ZHAO Da-fang
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