刘威，郭直清，姜丰，刘光伟，靳宝，王东

1.辽宁工程技术大学 理学院，辽宁 阜新123000

2.辽宁工程技术大学 数学与系统科学研究所，辽宁 阜新123000

3.辽宁工程技术大学 智能科学与数学研究院，辽宁 阜新123000

4.辽宁工程技术大学 矿业学院，辽宁 阜新123000

+通信作者E-mail:lv8218218@126.com

最优化问题是指在一定约束条件下，利用数学优化算法从可行方案中选出最优方案从而提高整个系统收益的问题。但随着工程技术、经济管理等领域中出现越来越多的大规模高维度非线性问题及人们对实际问题解集的正确性和精度要求增高，这使得传统优化算法不再适用[1]，而基于群体启发的智能优化算法却有较好的求解结果。因此近半世纪以来，许多基于群体启发的智能优化算法相继被提出，例如粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）[2]、蝴蝶优化算法（butterfly optimization algorithm，BOA）[3]、飞蛾扑火算法（moth-flame optimization，MFO）[4]、原子搜索算法（atom search optimization，ASO）[5]、多元宇宙优化算法（multi-verse optimizer，MVO）[6]和鲸鱼优化算法（whale optimization algorithm，WOA）[7]等。

灰狼优化算法（grey wolf optimizer，GWO）是Mirjalili等[8]于2014 年受灰狼群体行为启发而提出的一种新型元启发式算法。由于其在解决某些优化问题时具有收敛速度快、参数少等特点被广泛应用于工程理论实践中，但随着优化问题的复杂度增大，GWO 仍存在全局搜索能力差、易陷入局部最优等缺陷。针对于此，研究学者提出了许多较好的GWO 改进算法，其主要分为四类：

（1）初始种群多样性改进策略。在元启发式算法中，增强初始种群多样性对算法收敛性有极大影响，其中以混沌映射策略和反向学习策略改进为主。在混沌映射中，二维混沌映射[9]、Tent 映射[10]、Kent 映射[11]、Cubic 映射[12-13]等已被广泛用于GWO 初始化种群中并成功提高了算法收敛性；
在反向学习中，龙文等[14]、顾清华等[15]、张新明等[16]、张兴辉等[17]、周蓉等[18]将反向学习策略用于GWO 种群初始化中并成功增强了初始种群多样性，而且还平衡了算法全局勘探和局部开采能力。

（2）控制参数的非线性改进策略。在GWO 中，控制参数A和C几乎决定了算法勘探和开采能力。其中，参数A主要由收敛因子a决定且对其的研究改进较多。为了增强算法的优化性能，对收敛因子a的修正几乎都是将其修改为非参数收敛因子，例如：指数衰减函数[19]、对数衰减函数[20]、正弦与余弦函数及二次函数[21]等。

（3）灰狼位置更新改进策略。灰狼个体位置的更新对算法收敛性和全局探索性有较大影响，因此，不同的位置更新方式可提高GWO 的优化性能。龙文等[14]受差分进化思想启发对灰狼位置进行改进以平衡算法的全局勘探和局部开采能力；
张铸等[22]引入正态云模型更新灰狼位置，提高了算法跳出局部最优解的能力，增强了算法优化性能。

（4）多算法交叉融合改进策略。不同优化算法处理同一复杂问题时有不同的搜索策略，故算法间的交叉融合也是GWO 算法的一种改进方向。例如：张新明等[23]将灰狼和郊狼算法混合提出了一种灰狼与郊狼混合优化算法（hybrid COAwith GWO，HCOAG）；
顾清华等[15]将遗传算法与灰狼算法混合提出了遗传-灰狼混合算法（hybrid genetic grey wolf algorithm，HGGWA）；
黄晨晨等[24]将蛙跳算法和灰狼算法混合提出了混合蛙跳-灰狼优化算法（shuffled frog leaping GWO，SFL-GWO）等。这些改进的混合算法结合不同算法的搜索优势，均增强了原始算法的优化性能。

以上研究各有所长，都在不同时期不同领域对GWO 算法进行了较好的改进，但根据无免费午餐定理[25]可知，没有任何一种算法可以解决所有类型的优化问题。因此本文针对GWO 算法早熟收敛、勘探和开采能力不平衡的问题，提出了一种基于Chebyshev融合狼群协同围攻策略的改进GWO 算法（Chebyshev and wolf swarm cooperative attack strategy of grey wolf optimizer，CCA-GWO）。为了验证CCA-GWO处理复杂优化问题的能力，利用8 个基准测试函数测试其在不同维度下（10 维、30 维和100 维）的优化性能并将其应用于PID（proportion integration differen-tiation）参数优化。实验结果表明，与GWO 及其他优化算法对比，CCA-GWO 不仅在各维度下能取得较好的效果，而且在处理PID参数优化问题时有较好性能。

GWO 是Mirjalili等[8,14,26]受灰狼群体行为启发，模拟灰狼群等级制度和捕食狩猎行为而提出的一种元启发式算法。灰狼群通常由α、β、δ和ω四个等级灰狼构成，其中α狼为狼群中等级最高的灰狼，主要负责领导、捕食和食物分配等主要决策；
β狼为α狼下属灰狼，主要负责协助α狼进行决策；
δ狼是α和β狼的下属灰狼，主要负责放哨和侦察等工作；
ω狼是等级最低的灰狼，主要负责维持灰狼群内部平衡。灰狼群捕食狩猎行为可分为三个阶段：追踪并接近猎物；
包围并迫使猎物停止移动；
攻击并捕获猎物。

假设灰狼种群数为N，第i只灰狼的位置为Xi，α狼所在位置为群体最优解，β狼所在位置为第二最优解，δ狼所在位置为第三最优解。则灰狼捕食狩猎行为的数学模型可描述如下。

（1）追踪、包围行为的数学模型为：

其中，t为当前迭代次数，D表示灰狼与猎物两者之间的位置距离，P代表猎物，XP(t)为第t次迭代时猎物所在的位置，X(t)为灰狼个体所在位置，A和C为参数，可表示为：

其中，r1、r2为[0，1]之间的随机数，a为算法收敛因子，可定义为：

其中，tmax为最大迭代次数。

（2）迫使猎物停止移动并进行攻击从而捕获猎物的数学模型为：

其中，式（6）～（8）分别表示α狼、β狼、δ狼与ω狼间的距离；
Xα、Xβ和Xδ分别表示α狼、β狼和δ狼的位置向量；
式（12）为ω狼的位置更新方式。

2.1 Chebyshev 种群初始化

在灰狼算法中，灰狼群体所处初始位置对求解最优值有极大约束作用。初始群体在解空间中分布越均匀，算法寻到最优值概率越大。与随机搜索策略相比，混沌搜索由于其随机性、遍历性和非重复性等特点被广泛应用于初始群体的生成中。因此，为更好地让灰狼初始群体覆盖整个解空间，本文引用混沌映射对灰狼群体进行初始化。然而不同的混沌映射对算法初始种群效果不同，故本文通过对Gauss、Tent 和Chebyshev 映射分析对比，选择适用于灰狼优化算法的混沌映射，三种混沌映射生成的初始种群及原始初始种群如图1 所示。

图1（a）～图1（d）分别表示原始初始灰狼种群，由Tent 映射生成的初始灰狼种群，由Gauss 映射生成的初始灰狼种群以及由Chebyshev 生成的初始灰狼种群。由图1 可知，从初始灰狼种群的生成来看，使用Gauss 映射和随机生成的灰狼群在空间中分布更为均匀，甚至Tent 映射的效果也优于Chebyshev 映射，但本文最终还是选择使用Chebyshev 作为最终的混沌映射初始种群生成方法，这是为了权衡灰狼群在狩猎过程中，处于边界群体对整个算法整体的效率影响，以便于增强算法处理极端问题的能力，同时由于Chebyshev 映射自身生成随机数范围在[-1，1]之间，为兼顾空间分布遍历性和种群反向抑制特点，最终将Chebyshev 映射引入GWO 算法，其数学模型为：

其中，x（t）为第t次迭代时种群个体且x∈[-1,1]，t为当前迭代次数。

2.2 头狼引导的狼群协同围攻策略

在GWO 算法中，A和C是控制灰狼群体包围和狩猎动物的重要参数，在平衡算法勘探和开采中有重要作用。其中参数A的取值由收敛因子a决定。图2 给出了GWO 原始参数a和参数C在1 000 次迭代场景下的变化规律，从图2 可知参数a呈线性下降趋势，表明了灰狼与猎物间的距离呈线性关系；
而参数C是0～2 间的均匀分布随机数，表明灰狼与猎物间的距离随机改变，对全局勘探和局部开采无明显作用，两者皆与实际自然界中的狼群狩猎规则不符。

图2 参数a 与参数C 在1 000 次迭代下的函数值Fig.2 Function value of parameter a and C in 1000 iterations

在自然界中，狼群狩猎时首先会自动排成一字长蛇阵，在头狼的带领下对猎物群展开试探性骚扰和冲锋，迫使猎物群将体弱个体凸显出来。当锁定目标后，头狼就会带领狼群发起总攻，若在短时间内追上猎物就直接展开围攻；
倘若出现第一波追赶没有成功且头狼体能消耗较大情况，则次头狼就会绕到头狼之前继续带领狼群展开第二波追击直到捕获猎物群中的体弱个体。

（1）收敛因子a的修正

为模拟自然界中的狼群狩猎行为，本文对参数a进行修正，修正后为：

其中，a∈[0,2]，t=1,2,…,tmax2 代表当前迭代次数，tmax代表最大迭代次数。式（14）含义为：参数a在前期迭代寻优过程中（t∈[1,tmax/2]），灰狼群与猎物群中的个体体力充足，两者距离呈线性关系，而在后期迭代寻优过程中，狼群头狼（α狼）体力有所下降，其与次头狼（β狼）进行交换，此时头狼速度下降，狼群速度下降，与猎物群间的距离增大，但当交替后，次头狼引导狼群速度提高，而此时猎物群速度下降，两者间距离逐渐拉进，最终灰狼捕获猎物（见图3）。

图3 参数a 修正后在1 000 次迭代下的变化曲线Fig.3 Variation curve under 1000 iterations after parameter a is modified

根据图3 收敛因子a的变化曲线可知，经修正后的算法迭代过程主要分三部分：（1）迭代中前期，收敛因子呈线性递减趋势，此时灰狼群和猎物群体力充足，两者间距保持某个阈值逐渐逼近，收敛因子线性递减，模拟灰狼追踪猎物两者位置接近过程；
（2）迭代中期，算法呈平缓非线性递减趋势，此时头狼和次头狼交换位置，灰狼群速度减慢，故与猎物间间距变大，收敛因子平缓降低，模拟头狼交换带来的能量损失；
（3）迭代后期，算法呈先快速递减再逐渐平缓递减趋势，此时头狼与次头狼位置交替完毕，而猎物群因体力不支速度下降，灰狼群速度上升，故此时两者间距急剧减小，直至包围猎物群时速度又突然降低，收敛因子变平缓。

（2）控制参数C的修正

由文献[12]可知，GWO 算法的全局勘探能力主要取决于控制参数C且其取值是为了能随机增加(C>1)或减轻(C<1)灰狼群体靠近猎物的难易程度。为增加控制参数C对算法全局勘探和局部探索性的能力，本文对参数C进行修正。但为了模拟自然界中的头狼与次头狼的相互交替结果，主要对α和β狼参数进行修正，修正后为：

其中，C1,C2∈[0,2]，A1=A2=A，C1和A1为α狼的控制参数，代表头狼体力下降速度降低过程；
C2和A2为β狼的控制参数，代表次头狼转化为头狼后速度增加过程。由图4 可知，修正后的参数C在前期全局勘探能力和局部开采能力逐渐较低，这是由于头狼体力下降速度减少所致；
当头狼和次头狼交替时，灰狼群全局勘探和局部开采能力保持交换时的能力（群体适应过程），直至头狼和次头狼交替位置后，次头狼速度逐渐上升，灰狼群全局勘探能力和局部开采能力增强，直至捕获猎物。

图4 参数C 修正后在1 000 次迭代下生成的随机数Fig.4 Random number generated under 1000 iterations after parameter C is modified

（3）权值位置更新策略

控制参数A和C被修正后，位置公式修正为：

由于在灰狼等级制度中，α、β和δ狼等级制度不一致且为模拟头狼和次头狼的相互交替过程及灰狼体力消耗过程，本文对位置更新方程式（12）进行修正，表达式为：

其中，μ1、μ2、μ3分别为α、β和δ狼的距离权重，其表达式为：

2.3 CCA-GWO 算法实现及时间复杂度分析

（1）改进的CCA-GWO 算法求解最优化问题的寻优过程执行伪码如算法1 所示。

算法1CCA-GWO 算法执行伪码

在CCA-GWO 算法中，种群初始化过程需要时间为O(n×Dim)，由于每次计算适应度时需额外计算一次a的值，CCA-GWO 个体适应度计算更新过程需要时间为O(Maxiterations×n×Dim+Maxiterations)，其中Maxiterations为算法最大迭代次数，n为种群数量，Dim为搜索空间维度。故改进算法CCA-GWO 的总时间复杂度为O(Maxiterations(1+n×Dim))。

综上所述，CCA-GWO 的时间复杂度虽然比BOA、WOA、ASO、GWO 时间复杂度多O(Maxiterations)，但其优于MFO 和MVO，并且由于GWO 参数少，所有算法的最终时间复杂度排序应为：GWO≈CCAGWO≈WOA≈BOA≤ASO＜MFO＜MVO。

为验证改进算法（CCA-GWO）具有更好的优化和收敛性能，本文选取8 组基准测试函数在不同维度下（10 维、30 维和100 维）进行仿真实验并与6 种元启发式算法进行对比。

3.1 实验环境及参数设置

（1）实验环境

操作系统为64位的Windows 10，CPU 为Intel®CoreTMi7-5557U，主频3.10 GHz，内存为8 GB，实验平台为MATLAB2020b。

（2）参数设置

为保证实验客观公平性，本文初始化参数设置为：种群规模50；
最大迭代次数1 000；
实验次数50；
统计评价指标为均值（Mean）、标准差（Std）及最优值（Best）；
对比算法 为BOA[3]、MFO[4]、ASO[5]、MVO[6]、WOA[7]和GWO[8]。

（3）基准测试函数

本文选取8 组基准测试函数（每组测试函数最优值均为0）验证改进算法优化性能，其中F1～F5为单峰函数，用于测试算法局部开采能力，F6～F8为多峰函数，用于测试算法平衡全局勘探和局部开采的能力。其中基准测试函数为：F1Sphere，F2Schwefel 2.22，F3Schwefel 1.2，F4Schwefel 2.21，F5Quartic，F6Rastrigin，F7Ackley，F8Griewank。

3.2 多维度基准函数优化结果分析与对比

为验证CCA-GWO 相对于对比算法具有更好的优化性能，分别对8 个基准测试函数在10 维度、30 维度和100 维度情况下进行仿真数值实验。表1 给出了7 种元启发式算法BOA、MFO、ASO、MVO、WOA、GWO 及CCA-GWO 在50 次独立实验的运行结果的平均值、标准差及最优值对比分析。

通过对表1、表2 及表3 实验结果分析可知，从总体来说，CCA-GWO 相较于其余6 种元启发式算法具有更好的收敛精度和稳定性，且随着基准测试函数维度不断增加，其余对比算法收敛精度均有所下降，但CCA-GWO 寻优结果明显优于其他算法。

（1）无论是在低维度（10 和30），还是在高维度（100）上，CCA-GWO在F1、F3、F6、F8上的寻优结果均达到了理论最优值0，并且除F7外，CCA-GWO 在其余测试函数上的实验结果在与其他算法的对比中表现出更好的寻优性能。

（2）由测试函数在3 个维度下的实验结果可知，CCA-GWO 在测试函数上的实验结果的各项评价指标值除F7外均比其余算法高数个甚至数百个数量级且由图5 收敛曲线可知，CCA-GWO 收敛速度更快且精度最高。

（3）由表1、表2 及表3在F7上的实验结果可知，随着维度的不断增加，除BOA 外其余对比算法在F7上的实验结果均未发生显著性变化，表明大部分元启发式算法在F7函数上的寻优不适用性，同时也可得知CCA-GWO在F7上的寻优不适用性是由于GWO 算法的自身限制所致。

表1 7 种算法在8 组测试函数上的对比结果(Dim=10)Table 1 Comparison results of 7 algorithms on 8 groups of benchmark functions（Dim=10）

表2 7 种算法在8 组测试函数上的对比结果(Dim=30)Table 2 Comparison results of 7 algorithms on 8 groups of benchmark functions (Dim=30)

表3 7 种算法在8 组测试函数上的对比结果(Dim=100)Table 3 Comparison results of 7 algorithms on 8 groups of benchmark functions (Dim=100)

（4）由单峰测试函数（F1～F4）的实验结果可知，CCA-GWO 在3 个维度下的寻优结果均高于其余对比算法，表明了改进算法的局部搜索能力更强。

（5）由多峰测试函数（F6、F8、F9）的实验结果可知，CCA-GWO 在3 个维度下的各个评价指标均高于其余6 种对比算法，不仅体现了CCA-GWO 具有更强的全局收敛能力，而且还具有更强的收敛速度。

综上所述，CCA-GWO 相较于其余6 种算法不仅具有更好的局部收敛性和全局探索能力，而且通过测试函数实验结果显示，CCA-GWO 在求解多维度复杂函数具有更好的可靠性和鲁棒性。

为更好地对比7 种算法的收敛性，选取两个单峰函数（F2和F4）和两个多峰函数（F6和F8）的适应度进化曲线图进行分析对比（图5）。

图5 不同维度下不同算法收敛曲线Fig.5 Convergence curves of different algorithms under different dimensions

由图5 可知：

（1）在维度相同时，CCA-GWO 相较于其余6 种元启发式算法，无论是在求解单峰还是多峰函数上都具有更好的收敛性能；

（2）在维度不同时，相较于其余6 种元启发式算法，CCA-GWO 能保证更好的收敛速度和收敛精度。

3.3 Wilcoxon 秩和检验与算法排名

50 次独立实验的结果的均值和标准差可反馈出算法整体稳定性，但并不能衡量算法每次运行结果。因此，为更好评估改进算法的优化性能，本文采用Wilcoxon 秩和检验[27-28]给出在5%显著性水平下8组基准测试函数中的CCA-GWO 与对比算法的p值。例如，若最佳算法为CCA-GWO，则在CCAGWO vs.GWO 等之间进行比较。表4 给出了10 维、30 维和100 维下，CCA-GWO 与其余6 种元启发式算法的秩和检验的p值。

由表4 可知，在10 维度和30 维度的仿真实验结果下，CCA-GWO 与其他6 种元启发算法相比具有更好的优化性能，而在100 维度时，CCA-GWO 实验结果也仅次于BOA在F7函数上的实验结果。因此从整体上来看，CCA-GWO 具有更好的统计显著性。

为更好对所有算法进行分析，本文采用MAE 指标对算法进行排序[29]。MAE 表达式为：

其中，Meani为算法最优值的均值，oi为对应基准函数的理论最优值，Nf为基准函数个数。为方便记录数据，表5 中MAE 所在列中的值代表各维度下值的均值，即MAE=(MAE10+MAE30+MAE100)/3。

表5 不同维度下的算法排名Table 5 Algorithm ranking under different dimensions

为更清晰地显示CCA-GWO 的优越性，再次选取F2、F4、F6和F8进行可视化对比分析。图6 展示了4个基准测试函数在不同维度下的箱式收敛图。由图6 对比分析可知，无论是在单峰还是多峰函数，无论是在10 维、30 维还是100 维，CCA-GWO 的收敛性能和稳定性能对比其余6 种算法效果均最佳，进一步表明了CCA-GWO 算法的有效性。

图6 不同算法收敛箱式图Fig.6 Convergence box diagrams of different algorithms

3.4 时间对比分析

为验证CCA-GWO 算法的运行速度，对7 个优化算法在8 个基准测试函数上进行了50 次独立测试并记录了3 个维度下各算法平均运行时间。图7 表示7个算法在F2、F4、F6及F8函数上的运行时间柱状图。图7（a）、图7（b）、图7（c）分别代表7 种算法在10、30和100 维下的平均运行时间，图7（d）为各维度下不同算法在8 个测试函数上的平均运行时间之和。

由图7（a）、图7（b）、图7（c）可知，在给出的4 个测试函数中，CCA-GWO 在30 维下的平均运行时间均优于其余对比算法，在10 维下的平均运行时间仅次于WOA，虽然在100 维时其耗时仅好于ASO和MVO，但是由图7（d）可知，CCA-GWO 在8 个测试函数上的总平均运行时间均好于对比算法。总体而言，改进算法相较于对比算法耗时更少，优化性能更强。

图7 各维度下7 种算法运行时间对比Fig.7 Running time comparison of 7 algorithms under different dimensions

3.5 收敛性证明

命题1若GWO 收敛，则CCA-GWO 也收敛。

证明由文献[30]可知，GWO 是收敛的，也即当t→∞时，X(t+1)→Xp(t)，故要证改进收敛，只须证t→∞时，X(t+1)→Xp(t)，也即当t→∞时，

即当t→∞时，

因为A=2ar1-a且由式（14）可知，当t→∞时，a→0，所以A→0 ⇒式（22）成立⇒式（21）成立。

因此，当t→∞时，CCA-GWO 收敛。

4.1 PID 控制理论

PID 控制器因其结构清晰、鲁棒性好、参数调节方便等特点被广泛应用于控制系统中[31]。近年来，无人驾驶的兴起引导了控制理论的变革，PID 作为控制理论中的重要组成部分也将再次成为研究热点之一。

PID 控制器由比例单元P、积分单元I 和微分单元D 构成，其精髓是根据被控对象实际值与期望值间的偏差来形成控制策略，然后通过参数优化使闭环控制系统稳定来实现控制目标[32]。假设给定控制对象M，则PID 控制器执行原理如图8 所示。

图8 PID 控制器执行原理Fig.8 Execution principle of PID controller

图8 中，rin(t)为系统输入信号，yout(t)为系统输出信号，e(t)为系统误差。由图8 可知，PID 控制器的传递函数为：

式中，Kp是比例因子，Ki是积分系数，Kd是导数系数，e(t)为系统误差。Kp、Ki、Kd是PID 控制器中关键参数，其数值变化直接影响PID 控制器性能，故对PID 参数进行优化十分重要。

4.2 PID 参数优化仿真实验

为验证改进算法CCA-GWO 的PID 参数优化性能，本文选取二阶延迟系统作为仿真算例并进行数值实验。为更好地观测改进算法的优越性能，对文献[33]中的传递函数进行简单变换得：

式中，G(s)为传递函数，s代表系统为连续系统。

仿真实验的目标函数为：

其中，e(t)<0 为系统误差，表示系统输入与输出间的误差；
u(t)表示系统输出信号，ω3|e(t)|为超调项；
ω1、ω2、ω3为权重，取值范围为[0，1]且ω3≫ω1。

设算法初始种群规模为50，最大迭代次数为100次，输入信号为单位阶跃信号，采样时间为0.001 s，Kp、Ki、Kd的搜索范围为[0,50]，仿真时间为100 s。利用6 种对比算法及改进算法进行数值实验，得到优化适应度函数收敛曲线和阶跃响应信号输出曲线，如图9 和图10 所示。

图9 7 种算法的收敛曲线Fig.9 Convergence curves of 7 algorithms

从图9 不同算法的收敛曲线可以看出，改进的GWO 算法（CCA-GWO）相较于6 种对比算法具有更快的收敛速度，表明CCA-GWO 算法具有更好的收敛性能；
从图10 的阶跃响应信号输出曲线可以得知，CCA-GWO 算法的超调量及调整时间相较于对比算法更小，说明CCA-GWO 算法相较于对比算法具有更好的系统稳定性。综上所述，在PID 参数优化中，CCA-GWO 相较于对比算法具有更好的优化性能。

图10 不同算法的阶跃响应信号输出曲线Fig.10 yout curves of step response signal of different algorithms

针对灰狼优化算法在求解多维度复杂函数时收敛速度慢、易陷入局部最优等问题，本文通过Chebyshev 映射初始化灰狼种群并受狼群狩猎时头狼与次头狼的相互交替行为启发，修正了控制参数A、C以及灰狼的位置更新方程，不仅平衡了算法的全局勘探和局部开采能力，而且提高了算法收敛性能。8 个基准测试函数在10 维、30 维和100 维下的仿真实验，以及与6 种元启发式算法BOA、MFO、ASO、MVO、WOA 和GWO的实验结果对比显示，CCA-GWO 在多个维度的优化结果上具有更高的收敛精度和更好的稳定性；
最后将改进算法应用于PID 参数优化中，数值实验结果表明CCA-GWO 比其余6 种元启发式算法具有更大的求解优势和更好的全局收敛性能。

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