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　.

　因式分解的“八个注意”事项及

　“课本未拓展的五个的方法”

　一、“八个注意”事项

　（一）首项有负常提负

　例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

　解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

　这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如－

　a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。

　（二）各项有公先提公

　例2因式分解8a4－2a2

　解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)

　这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如

　4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误

　.

　（三）某项提出莫漏

　1

　例3因式分解a3-2a2+a

　解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)

　2

　这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉

　1。防止学生出现诸如

　a3-2a2+a=a(a2-2a)

　的错误。

　（四）括号里面分到“底”。

　例4因式分解

　x4－3x2－4

　.

　.

　解：x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）＝（x2＋4）（x＋1）（x－1）

　这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到

　x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步

　分解的错误。

　因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。

　（五）各式之间必须是连乘积的形式

　例5分解因式x2－9+8x=

　2

　2

　－1)(x+9)

　解：x

　－9+8x=x+8x－9=(x

　这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。

　有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（

　x+3）(x－3)+8x。结果从形式上看右式不是乘积2

　形式，显然是错误的。正解应是：原式

　=

　x+8x－9=(x－1)(x+9)

　（六）数字因数在前，字母因数在后；

　例6因式分解3x3

　18x2

　27x

　解：3x3

　18x2

　27x=3x(x2-6x+9)=3x(x-3)2这里的“数字因数在前，字母因数在后”，指分解因式

　中不能写成3x3

　18x2

　27x=x3(x

　2-6x+9)=x3(x-3)

　2

　（七）单项式在前，多项式在后；

　例7因式分解x3y

　xy3

　.

　.

　解：x3y

　xy3=xy(x2-y2)=xy(x+y)(x-y)这里的“单项式在前，

　多项式在后”，指分解因式中不能把

　单项式写在后面，即不能写成

　x3y

　xy3=(x2-y2)xy=(x+y)(x-y)xy

　（八）相同因式写成幂的形式；

　例8因式分解x4y-x2y3

　解：x4y-x2y3

　=x2y(x2-y2)=x2y(x+y)(x-y)这里的“相同因式写成幂的形式”，

　指分解因式中不能相同

　的因式写成乘的形式，而应该写成幂的形式，即不能写成

　x4y-x2y3

　=x2y(x2-y2)=xxy(x+y)(x-y)；

　二、课本未拓展的五个的方法

　以下五个方法是因式分解中比较难的一些，需要大家熟练掌握因式分解基本方法：（1）提公因式；（2）公式法：平方差公式，完全平方公式及常用公式；（3）十字相乘。只有熟练掌握了以上三种方法，你才能更好的理解这五种拓展方法。

　（一）巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

　例1、因式分解

　a

　2

　b

　2

　4

　a

　2

　3

　b

　解析：根据多项式的特点，把

　3拆成4+（-1），

　则a2

　b2

　4a

　2b

　3=a2

　b2

　4a2b41(a2

　4a4)(b2

　2b1)

　=(a

　2)2

　(b

　1)

　2

　(a

　b

　1)(a

　b3)

　例2、因式分解

　x3

　6x2

　11x

　6

　解析：根据多项式的特点,把6x2拆成2x2

　4x2

　；把11x拆成8x3x

　则x3

　6x2

　11x

　6=(x3

　2x2)

　(4x2

　8x)

　(3x

　6)

　=x2(x

　2)4x(x

　2)3(x

　2)

　(x

　2)(x2

　4x

　3)(x1)(x2)(x3)

　（二）巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

　.

　.

　例3、因式分解x4

　4y4

　解析：根据多项式的特点

　,

　在x4

　4y4中添上4x2y2,4x2y2两项，

　则x4

　4y4

　=(x4

　4x2y2

　4y4)

　4x2y2

　(x2

　2y2)2

　(2xy)2

　=(x2

　2xy

　2y2)(x2

　2xy

　2y2)

　例4、因式分解

　x

　3

　3

　2

　4

　x

　解析：根据多项式的特点，将

　3x2拆成

　4x2

　x2，再添上4x,4x两项，则

　x3

　3x2

　4=x3

　4x2

　4xx2

　4x4

　=(

　2

　4

　x

　4)(

　x

　2

　4

　x

　4)(

　x

　2

　4

　x

　4)(

　x

　1)

　xx

　=(x

　1)(x

　2)2

　（三）巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

　例5、因式分解(

　x

　2

　3

　4)(

　x

　2

　x

　6)

　24

　x

　解析：(x2

　3x

　4)(x2

　x

　6)

　24=(x

　1)(x

　4)(x

　2)(x3)24

　=(x

　1)(x

　2)(x

　3)(x

　4)

　24

　(x2

　x

　2)(x2

　x

　12)

　24

　设y

　x2

　x2，则x2

　x12y10

　于是，原式=

　y(y

　10)

　24

　y2

　10y

　24

　(y4)(y

　6)

　(x2

　x

　2

　4)(x2

　x26)

　=(x2

　x

　6)(x2

　x

　8)

　(x

　2)(x3)(x2

　x

　8)

　例6、因式分解(x

　y

　2xy)(x

　y

　2)

　(xy

　1)2

　解析：设x

　ym,xy

　n，则

　(x

　y2xy)(x

　y

　2)

　(xy

　1)2

　=(m

　2n)(m

　2)

　(n

　1)2

　=m2

　2mnn2

　2m

　2n

　1(mn)2

　2(mn)1

　.

　.

　=(m

　n

　1)2

　(x

　y

　xy

　1)2

　(x

　1)(1

　y)2

　(x

　1)2(y

　1)2

　（四）展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

　例7、因式分解

　mn(x2

　y2)

　xy(m2

　n2)

　解析：将多项式展开再重新组合，分组分解

　mn(x2

　y2)

　xy(m2

　n2)=mnx

　2

　mny2

　xym2

　xyn2

　=(mnx2

　xym2)

　(mny2

　xyn2)

　mx(nx

　my)

　ny(nx

　my)

　(nxmy)(mxny)

　例8、因式分解

　(mx

　ny)2

　(nx

　my)2

　解析：(mx

　ny)2

　(nx

　my)2

　=m

　2x2

　2mnxy

　n2y2

　n2x2

　2mnxym2y2

　=(m2x2

　n2x2)(m2y2

　n2y2)

　x2(m2

　n2)

　y2(m2

　n2)

　=(m2

　n2)(x2

　y2)

　（五）巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

　例9、因式分解

　x4

　3x3

　x2y

　2x2

　2xy

　解析：将多项式以

　y为主元，进行整理

　x4

　3x3

　x2y2x2

　2xy=(x2

　2x)y(x4

　3x3

　2x2)

　=x(x2)yx2(x2)(x1)x(x

　2)(x2

　xy)

　例10、因式分解a2b

　ab2

　a2c

　ac

　2

　b2c

　bc2

　2abc

　解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以

　a为主元进行整理

　a2b

　ab2

　a2c

　ac2

　b2c

　bc2

　2abc

　=

　a

　2

　(

　b

　c

　)

　a

　(

　b

　2

　2

　c

　2)

　bc

　(

　b

　c

　)

　bc

　=a2

　(b

　c)

　a(b

　c)2

　bc(b

　c)

　.

　.

　=(b

　c)[a2

　a(b

　c)

　bc]

　(b

　c)(a2

　ab

　ac

　bc)

　=(b

　c)[a(a

　b)

　c(a

　b)]

　(a

　b)(a

　c)(b

　c)

　.