大学生数学竞赛训练一（极限）

　一、 计算 解：因为 原式 又因为

　 所以。

　二、 计算 解：因为

　所以。

　三、 计算 解：设，则

　因为，所以

　。

　四、 计算 解：因为

　 ，所以

　 五、 设数列定义如下

　证明：极限。

　证明：方法一、 考虑函数，因为，当时，。

　由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以

　 ……

　 ……

　 ……

　…… 由于，，所以数列是单调有界的，由单调有界准则可得存在。显然，。

　现证明，用反证法证明，设，且， 取，因为，所以存在整数，当时有

　由此可得正项级数收敛； 另一方面，由，级数发散，由比较判别法，正项级数发散，这是一个矛盾，所以。

　方法二、 考虑函数，因为，当时，。

　由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以

　 ……

　 ……

　 ……

　…… 由夹逼准则可得，，又因为

　所以数列是单调递增的，利用斯托尔茨定理 。

　六、 设函数在区间上有定义，且在每一个有限区间上是有界的，如果，证明：

　证明：对于任取的，因为，所以存在 当时，有 取，令，则有

　 因为

　 ……

　 ……

　所以 由于在每一个有限区间上是有界的，所以存在，当时有

　 取，当时有

　 由此可得。

　七、