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中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
2020-12-29 10:33:27 ℃中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案 (1) 设是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为,且是一个周期为的函数,即,求方差函数。
解:由定义,有:
(2) 试证明:如果是一独立增量过程,且,那么它必是一个马尔可夫过程。
证明:我们要证明:
,有
形式上我们有:
因此,我们只要能证明在已知条件下,与相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知,当时,增量与相互独立,由于在条件和下,即有与相互独立。由此可知,在条件下,与相互独立,结果成立。
(3) 设随机过程为零初值()的、有平稳增量和独立增量的过程,且对每个,,问过程是否为正态过程,为什么? 解:任取,则有:
由平稳增量和独立增量性,可知并且独立 因此是联合正态分布的,由
可知是正态过程。
(4) 设为为零初值的标准布朗运动过程,问次过程的均方导数过程是否存在?并说明理由。
解:标准布朗运动的相关函数为:
如果标准布朗运动是均方可微的,则存在,但是:
故不存在,因此标准布朗运动不是均方可微的。
(5) 设,是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数,并问在均方意义下,是否存在,为什么? 解:泊松过程的转移率矩阵为:
其相关函数为:,由于在,连续,故均方积分存在。
(6) 在一计算系统中,每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关,以0表示误差状态,1表示无误差状态,设状态的一步转移矩阵为:
试说明相应齐次马氏链是遍历的,并求其极限分布(平稳分布)。
解:由遍历性定理可知此链是遍历的,极限分布为。
(7) 设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下:
(a)写出切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程); (b)求步转移概率矩阵;
(c)试问此马氏链是平稳序列吗? 为什么? 解:(a)略
(b) (c)此链不具遍历性 (8) 设,其中为强度为的Poission过程,随机变量与此Poission过程独立,且有如下分布:
问:随机过程是否为平稳过程?请说明理由。
由于:
故是平稳过程。
(9) 设,其中与独立,都服从 (a)此过程是否是正态过程?说明理由。
(b)求此过程的相关函数,并说明过程是否平稳。
证明:(a)任取 ,则有:
由于与独立,且都服从,因此可得服从正态分布,由上式可知随机向量 服从正态(高斯)分布,所以过程是正态(高斯)过程。
(b)由:
由于相关函数不是时间差的函数,因此此过程不是平稳过程。
(10) 设,是零初值、强度的泊松过程。
(a)求它的概率转移函数; (b)令,说明存在,并求它的二阶矩。
解:(a)
(b)先求相关函数:
对任意的,在处连续,故均方连续,因此均方可积,存在。
将代入计算积分即可。
由,得:
(11) 设一口袋中装有三种颜色(红、黄、白)的小球,其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球,有放回,且视摸出球地颜色计分:红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以表示第次取出球后的累计积分, (a),是否齐次马氏链?说明理由。
(b)如果不是马氏链,写出它的有穷维分布函数族;如果是,写出它的一步转移概率和两步转移概率。
(c)令,求。
解:(a)是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关,因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为:。
(b)
(c)即求首达概率,注意画状态转移图。
(12) 考察两个谐波随机信号和,其中:
式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。
(a)求的均值、方差和相关函数; (b)若与独立,求与的互相关函数。
解:(a) , (b)
(13) 令谐波随机信号:
式中为固定的实数;是内均匀分布的随机变量,考察两种情况:
(a)幅值为一固定的正实数; (b)幅值为一与独立,分布密度函数为的随机变量; 试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗? (a)如12题(b)略
(14) 设是一强度为的Poission过程,记,试求随机过程的均值和相关函数。
解:利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得:
(15) 研究下列随机过程的均方连续性,均方可导性和均方可积性。当均方可导时,试求均方导数过程的均值函数和相关函数。
(a),其中是相互独立的二阶矩随机变量,均值为,方差为; (b),其中是相互独立的二阶矩随机变量,均值为,方差为。
略 (16) 求下列随机过程的均值函数和相关函数,从而判定其均方连续性和均方可微性。
(a),其中是参数为1的Wienner过程。
(b),其中是参数为的Wienner过程。
解:(a)
连续,故均方连续,均方可积。
(b)
均方连续,均方可积。
(17) 讨论Wienner过程和Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。
解:略。
(18) 设有平稳随机过程,它的相关函数为,其中为常数,求(为常数)的自协方差函数和方差函数。
解:略。
(19) 设有实平稳随机过程,它的均值为零,相关函数为, 若,求的自协方差函数和方差函数。
解:
(20) 设和是参数分别为和的时齐Poission过程,证明在的任一到达时间间隔内,恰有个事件发生的概率为:
证明:令为的任一到达时间间隔并且,即的分布密度为:
由此可知:
(21) 设随机振幅、随机相位正弦波过程,其中随机变量和相互独立,且有分布:
令:
试求过程的均值函数。
解:由定义,随机过程的均值函数为:
而
由于当时,随机变量的分布密度为:
因此有:
即:
(22) 设有一泊松过程,固定两时刻,且,试证明
证明:由于,有
其中
所以
(23) 设为零均值的标准布朗运动,和为两个待定的正常数(),问在什么情况下仍为标准的布朗运动?说明理由。
解:由为标准布朗运动可知为正态过程,由正态分布的性质可知为正态过程,令,则有
因此,要使仍为标准的布朗运动,必须,即:
(24) 设有无穷多只袋子,各装有红球只,黑球只及白球只。今从第1个袋子随机取一球,放入第2个袋子,再从第2个袋子随机取一球,放入第3个袋子,如此继续。令
(a)试求的分布; (b)试证为马氏链,并求一步转移概率。
解:(a)的分布为:
(b)的一步转移概率为:
(25) 设有随机过程,与是相互独立的正态随机变量,期望均为0,方差分别为和。证明过程均方可导,并求导过程的相关函数。
证明:计算得:
由于相关函数的导数为:
它是一连续函数,因此过程均方可导,导过程的相关函数由上式给出。
(26) 设是初值为零标准布朗运动过程,试求它的概率转移密度函数。
解:由标准维纳过程的定理:设为标准维纳过程,则对任意,的联合分布密度为:
其中:
可知:当时,的联合分布密度为:
的分布密度为:
因此
(27) 设有微分方程,初值为常数,是标准维纳过程,求随机过程在时刻的一维概率密度。
解:方程的解:
由于为维纳过程,故为正态过程,因此有:
故的一维概率密度为:
(28) 设给定随机过程及实数,定义随机过程
试将的均值函数和自相关函数用过程的一维和二维分布函数来表示。
解:由均值函数的定义,有:
由自相关函数的定义,有:
(29) 设是一个零均值的平稳过程,而且不恒等于一个随机变量,问是否仍为平稳过程,为什么? 不是平稳过程 (30) 设为平稳过程,其自相关函数是以为周期的函数,证明:是周期为的平稳过程。
证明:由于
由切比雪夫不等式有:
由相关函数的周期性,可知:对于,有:
因此
即是周期为的平稳过程。
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