2020届市高级中学高三1月调研考试数学（理）试题 一、单选题 1．已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由共轭复数的概念可以得到，解方程即可得到，进而可以求出. 【详解】 由题意得，，解得，，则，. 故答案为D. 【点睛】 本题考查了共轭复数的知识，考查了复数的模，属于基础题． 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出直线与的交点，即可得到答案。

【详解】 由题意，解得，，故. 故答案为A. 【点睛】 本题考查了集合的交集，两直线的交点，属于基础题。

3．已知单位向量的夹角为，且，若向量，则（ ） A．9 B．10 C．3 D． 【答案】C 【解析】先由夹角正切值得余弦值，然后利用数量积公式得到，再利用向量模的公式计算即可得到答案. 【详解】 向量夹角，由可得， 向量为单位向量即,可得， 则， 故选：C. 【点睛】 本题考查向量的模的计算方法，属于基础题. 4．下列说法正确的是( ) A．若命题均为真命题，则命题为真命题 B．“若，则”的否命题是“若” C．在，“”是“”的充要条件 D．命题“”的否定为“” 【答案】D 【解析】利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可． 【详解】 对于A：若命题p，￢q均为真命题，则q是假命题，所以命题p∧q为假命题，所以A不正确；

对于B：“若，则”的否命题是“若，则”，所以B不正确；

对于C：在△ABC中， “”⇔“A+B=”⇔“A=-B”⇒sinA=cosB， 反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立， ∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，所以C不正确；

对于D：命题p：“∃x0∈R，x02-x0-5＞0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2-x-5≤0”，所以D正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查． 5．已知正项等比数列的前项和为，若，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用正项等比数列的前项和公式、通项公式，列出方程组，求出，，由此能求出的值。

【详解】 正项等比数列的前项和为， ，，易知时不成立，所以. ， 解得，， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查等比数列的前项和公式的运用，考查了等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题。

6．已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对进行变形，得到，令，，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案 【详解】 ，即 设， 其中时， 时， 即符合要求 ，所以时，，单调递减 ，，单调递增，为极小值. 有三个整数解，则还有一个整数解为或者是 ①当解集包含时，时， 所以需要满足即，解得 ②当解集包含时，需要满足即 整理得，而，所以无解集，即该情况不成立. 综上所述，由①②得，的范围为 故选D项. 【点睛】 利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题. 7．已知程序框图如图，则输出i的值为　　 A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】 当时，不满足退出循环的条件，故， 当时，不满足退出循环的条件，故， 当时，不满足退出循环的条件，故， 当时，不满足退出循环的条件，故， 当时，不满足退出循环的条件，故， 当时，不满足退出循环的条件，故， 当时，满足退出循环的条件， 故输出 故选 【点睛】 本题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答。

8．曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线l与曲线的切点坐标为（），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y＝x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值． 【详解】 设直线l与曲线的切点坐标为（）， 函数的导数为． 则直线l方程为，即， 可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为， 在△OAB中，， 当且仅当2＝2时取等号． 由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为， 则△OAB外接圆面积， 故选：C． 【点睛】 本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，同时考查正弦定理的运用，基本不等式的运用：求最值，以及化简整理的运算能力，属于中档题． 9．已知为实数，，若，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对函数求导，由求出a,然后解不等式即可得到答案. 【详解】 ，则 又则，解得a=-2, 解得, 则函数的单调递增区间为 故选：B. 【点睛】 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是基础题． 10．定义在上的函数，且，则方程在区间上的所有实数根之和最接近下列哪个数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数， ∵g（x）=，∴g（x）关于直线x=2对称． 分别作出函数f（x），g（x）在[﹣5，9]上的图象， 由图象可知两个函数的交点个数为8个，设8个交点的横坐标从小到大为x1，x2，x3，x4，x5，x6， 且这8个交点接近点（2，0）对称， 则（x1+x8）=2，x1+x8=4， 所以若x1+x2+x3+x4+x5+x6 =4（x1+x8）=4×4=16，但是不都是对称的， 由图象可知，x1+ x8＞4，x2+x7＞4，， 第五个交点为空心的，跟等于3∴x1+x2+x4+x5+x6 最接近14． 故选A． 点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用；
对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；
在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。注意函数的图像画的要准确一些。

11．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：设该扇形的半径为r米，连接CO． 由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°， 在△CDO中，， 即，， 解得（米）． 【考点】1．扇形面积公式；
2．余弦定理求三角形边长 12．是定义在上的奇函数，对，均有，已知当时， ，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于对称 B．有最大值1 C．在上有5个零点 D．当时， 【答案】C 【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R，均有f（x+2）=f（x），故函数的周期为2，则f（x）的图象关于（1，0）点对称，故A错误；
f（x）∈（-1，1），无最大值，故B错误；
整数均为函数的零点，故f（x）在[-1，3]上有5个零点，故C正确；
当x∈[2，3）时，x-2∈[0，1），则f（x）=f（x-2）=2x-2-1，当x=3时，f（x）=0，故D错误；

故选C. 点睛:本题是函数性质的综合应用,已知对称中心,周期能推出另一个对称中心,根据某区间上的解析式,结合周期性,对称性可以得到一个周期中的函数图象,从而关于最值,零点等问题都可以解决. 二、填空题 13．在中，已知，若，则周长的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题中条件先求出，然后由余弦定理可得，利用基本不等式可得到，再由三角形中两边之和大于第三边可得，从而可得到的取值范围，即周长的范围。

【详解】 由题意，，即， 可化为，即， 因为，所以，即， 设的内角的对边分别为， 由余弦定理得，， 因为，（当且仅当时取“=”）， 所以，即， 又因为，所以， 故，则， 又因为，所以， 即. 故周长的取值范围为. 【点睛】 本题考查了三角函数的恒等变换，余弦定理在解三角形中的运用，利用基本不等式求最值，三角形的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，及计算能力，属于中档题。

14．曲线在点（0,0）处的切线方程为______________；

【答案】 【解析】通过求导得切线斜率，再由点斜式可得切线方程. 【详解】 ，则，故． 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题. 15．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则______. 【答案】10 【解析】根据等比数列和项性质列方程解得结果. 【详解】 由题意得，成等比数列，则，所以,或90，因为各项均为正数，所以>，因此. 【点睛】 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 16．已知且,则______。

【答案】1 【解析】整理得：
由此得到，问题得解。

【详解】 因为， 所以，整理得：
，又， 所以，所以， 所以 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦公式及两角差的余弦公式，考查计算能力，还考查了三角恒等式，属于基础题。

三、解答题 17．在中，内角的对边分别为，已知． 求；

若，且面积，求的值． 【答案】（1）；
（2） 【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值． （2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b的值，根据余弦定理可得a的值． 【详解】 （1）∵， ∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC， 由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC， 可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC， 可得：cosA=sinA，可得：tanA=， ∵A∈（0，π）， ∴A= （2）∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×， ∴解得：c=2，b=4， ∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．在中，. (1) 求角的大小；

(2)若，垂足为，且，求面积的最小值. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）由，两边平方，整理可得，即，从而可得；
（2）在直角与直角中中， ， ，从而可得，根据三角函数的有界性可得面积的最小值. 试题解析：（1）由，两边平方， 即，得到，即。

所以 . （2）在直角中， ， 在直角中， ， 又，所以， 所以 ， 由得，，故， 当且仅当时，，从而 . 19．在中，内角的对边分别为，，三边成等比数列，且面积为1，在等差数列中，，公差为. （1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，设为数列的前项和，求的取值范围. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）由，，解得从而得到数列的通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法得到前项和，从而得到的取值范围. 【详解】 解：（1）∵，，， ∴，. （2）∵， ∴ ∵是关于n的增函数， ∴. 【点睛】 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)；
（2） ；

（3）；
（4） ；
此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 20．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为的扇形，中心角．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元． （1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；

（2）试问：当为多少时，年总收入最大？ 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由，，，所以与全等. 可得，根据面积公式，可求得观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，解不等式即可求出结果. （2）由题意可得种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则 ，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果. 【详解】 （1）∵，，，所以与全等. 所以，观赏区的面积为 ，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为. （2）种植区的面积为， 正方形面积为， 设年总收入为万元，则 ， 其中，求导可得. 当时，，递增；
当时，，递增. 所以当时，取得最大值，此时年总收入最大. 【点睛】 题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，以及导数在求最值的应用. 21．已知函数. (1)当时求函数的最小值；

(2)若函数在上恒成立求实数的取值范围. 【答案】(1)4. (2) . 【解析】试题分析：
（Ⅰ）结合题意利用基本不等式求解即可．（Ⅱ）由题意得在上恒成立，转化为在上恒成立．构造函数，求得函数的最值后可得结论． 试题解析：
（Ⅰ）当时， ，当且仅当，即时等号成立， 所以． （Ⅱ）由题意得在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则在上单调递减，在上单调递增， ∴， 又， ， 解得， 所以实数的取值范围是． 22．已知函数. （1）若，求函数的极值；

（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）求导数得，又，所以，由此可得函数的单调性，进而可求得极值；

（2）由，得。因此分和两种情况判断函数的单调性，然后根据零点存在定理判断函数零点的个数。

试题解析：
（1）∵， ∴， 因为，所以， 当x变化时，的变化情况如下表：
1 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得当时，有极大值，且极大值为， 当时，有极小值，且极小值为. （2）由（1）得。

∵ ，∴. ① 当时，在上单调递增，在上递减 又因为 所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零点， 所以上有两个零点。

② 当，即时，在上单调递增，在上递减，在上递增， 又因为 所以在上有且只有一个零点，在上没有零点， 所以在上有且只有只有一个零点. 综上：
当时，在上有两个零点；

当时，在上有且只有一个零点。

点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法 研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。