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高考卷,08,普通高等学校招生全国统一考试数学(福建卷·理科)(附答案,完全word版)
2020-12-05 20:18:39 ℃2008年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)(福建卷) 第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为 A.1 B.2 C.1或2 D.-1 (2)设集合A={x|},B={x|0<x<3,那么“mA”是“mB”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)设{an}是公比为正数的等比数列,若n1=7,a5=16,则数列{an}前7项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128 (4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. B. C. D. (6)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 A. B. C. D. (7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 (8)若实数x、y满足,则的取值范围是 A.(0,1) B. C.(1,+) D. (9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数y=-f′(x)的图象,则m的值可以为 A. B. C.- D.- (10)在△ABC中,角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为 A. B. C.或 D. 或 (11)又曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. C.(3,+) D. (12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (13)若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答) x=1+cos (14)若直线3x+4y+m=0与圆 y=-2+sin (为参数)没有公共点,则实数m的取值范围是 . (15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 . (16)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈R,都有a+b、a-b, ab、 ∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;
数集也是数域。
有下列命题:
①整数集是数域;
②若有理数集,则数集M必为数域;
③数域必为无限集;
④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号填填上) 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分) 已知向量m=(sinA,cosA),n=,m·n=1,且A为锐角. (Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求函数的值域. (18)(本小题满分12分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小;
(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出 的值;
若不存在,请说明理由. (19)(本小题满分12分)已知函数. (Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在y=f′(x)的图象上;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值. (20)(本小题满分12分) 某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科 目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为,科目B每次考试 成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率;
(Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求的数学期望E. (21)(本小题满分12分) 如图、椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点. (Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有,求a的取值范围. (22)(本小题满分14分) 已知函数f(x)=ln(1+x)-x1 (Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)记f(x)在区间(n∈N*)上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx. (Ⅲ)如果对一切n,不等式恒成立,求实数c的取值范围;
(Ⅳ)求证:
数学试题(理工农医类)参考答案 一、选择题:本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分,满分60分. (1)B (2)A (3)C (4)B (5)B (6)D (7)A (8)C (9)A (10)D (11)B (12)D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分16分. (13)31 (14) (15)9 (16)③④ 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识,考查运算能力.满分12分. 解:(Ⅰ)由题意得 由A为锐角得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 所以 因为x∈R,所以,因此,当时,f(x)有最大值. 当sinx=-1时,f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是. (18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解法一:
(Ⅰ)证明:在△PAD中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD. (Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中、BC∥AD,AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形, 所以OB∥DC. 由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO为锐角, 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1, 所以OB=, 在Rt△POA中,因为AP=,AO=1,所以OP=1, 在Rt△PBO中,tan∠PBO= 所以异面直线PB与CD所成的角是. (Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为. 设QD=x,则,由(Ⅱ)得CD=OB=, 在Rt△POC中, 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2,所以存在点Q满足题意,此时. 解法二:
(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,依题意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以 所以异面直线PB与CD所成的角是arccos, (Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为, 由(Ⅱ)知 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则所以即, 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设由,得解y=-或y=(舍去), 此时,所以存在点Q满足题意,此时. (19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)证明:因为所以′(x)=x2+2x, 由点在函数y=f′(x)的图象上, 又所以 所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:, 由得. 当x变化时,﹑的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 注意到,从而 ①当,此时无极小值;
②当的极小值为,此时无极大值;
③当既无极大值又无极小值. (20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分. 解:设“科目A第一次考试合格”为事件A,“科目A补考合格”为事件A2;
“科目B第一次考试合格”为事件B,“科目B补考合格”为事件B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立, 则. 答:该考生不需要补考就获得证书的概率为. (Ⅱ)由已知得,=2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得 故 答:该考生参加考试次数的数学期望为. (21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点, 因为△MNF为正三角形, 所以, 即1= 因此,椭圆方程为 (Ⅱ)设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时, (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时, 设直线AB的方程为:
整理得 所以 因为恒有,所以AOB恒为钝角. 即恒成立. 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立, 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立. 当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4, 因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0, 解得a>或a<(舍去),即a>, 综合(i)(ii),a的取值范围为(,+). 解法二:
(Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)解:(i)当直线l垂直于x轴时, x=1代入=1. 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1,即>1, 解得a>或a<(舍去),即a>. (ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1), B(x2,y2). 设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, 故x1+x2= 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得x1x2+ y1y2<0恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2). 由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b2<0对kR恒成立. ①当a2- a2 b2+b2>0时,不合题意;
②当a2- a2 b2+b2=0时,a=; ③当a2- a2 b2+b2<0时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0, 解得a2>或a2>(舍去),a>,因此a. 综合(i)(ii),a的取值范围为(,+). (22)本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分析问题和解决问题的能力,满分14分. 解法一:
(I)因为f(x)=ln(1+x)-x,所以函数定义域为(-1,+),且f〃(x)=-1=. 由f〃(x)>0得-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0);
由f〃(x)<0得x>0,f(x)的单调递增区间为(0,+). (II)因为f(x)在[0,n]上是减函数,所以bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i) > 又lim, 因此c<1,即实数c的取值范围是(-,1). (II)由(i)知 因为[]2 = 所以<(nN*), 则< N*) 解法二:
(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为f(x)在上是减函数,所以 则 (i)因为对n∈N*恒成立.所以对n∈N*恒成立. 则对n∈N*恒成立. 设 n∈N*,则c<g(n)对n∈N*恒成立. 考虑 因为=0, 所以内是减函数;
则当n∈N*时,g(n)随n的增大而减小, 又因为=1. 所以对一切因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞,1]. (ⅱ) 由(ⅰ)知 下面用数学归纳法证明不等式 ①当n=1时,左边=,右边=,左边<右边.不等式成立. ②假设当n=k时,不等式成立.即 当n=k+1时, = 即n=k+1时,不等式成立 综合①、②得,不等式成立. 所以 即.
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