2018年1月22日数学期末考试试卷 一、选择题（共30小题；
共150分） 1. 若正方形的周长为 ，则其对角线长为 A. B. C. D. 2. 如图，字母 所代表的正方形的面积是 A. B. C. D. 3. 如图，池塘边有两点 ，，点 是与 方向成直角的 方向上一点，测得 ，，则 ， 两点间的距离是 A. B. C. D. 4. 如图所示：某商场有一段楼梯，高 ，斜边 是 ，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是 A. B. C. D. 5. 如图所示， 中， 于 ，若 ，，，则 的长为 A. B. C. D. 6. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的 倍，这个三角形有一个锐角是 A. B. C. D. 7. 如图，将一个边长分别为 ， 的矩形纸片 折叠，使点 和点 重合，则折痕 的长是 A. B. C. D. 8. 如图，每个小正方形的边长为 ，则 的三边长 ，， 的大小关系是 A. B. C. D. 9. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 米，当他把绳子的下端水平拉开 米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 下列数据中是勾股数的有 （ ） ，， （ ） ，， （ ） ，， （ ） ，， （ ） ，，． A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 12. 满足下列条件的 ，不是直角三角形的是 A. B. C. D. 13. 如图，每个小正方形的边长为 ，，， 是小正方形的顶点，则 的度数为 A. B. C. D. 14. 一根竹子高 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端 尺处，则折断处离地面的高度为 （这是我国古代数学著作 《 九章算术 》 中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位， 丈 尺） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 15. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ，．现将直角边 沿直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 等于 A. B. C. D. 16. 下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 17. 适合下列条件的 中，直角三角形有 ① ，， ② ③ ， ④ ，， ⑤ ，， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 18. 满足下列条件的 中，直角三角形的个数为 ① ，，；

② ，；

③ ，；

④ ，，． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 19. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若 ，，将四个直角三角形中边长为 的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 A. B. C. D. 20. 一轮船以 海里/时的速度从港口 出发向东北方向航行，另一轮船以 海里/时的速度同时从港口 出发向东南方向航行，离开港口 小时后，两船相距 A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 21. 下列条件中，不能判断 为直角三角形的是 A. B. C. D. ，， 22. 如图，在 中，，，，将 折叠，使 点与 的中点 重合，折痕为 ，则线段 的长为 A. B. C. D. 23. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 米，顶端距离地面 米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 米，则小巷的宽度为 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 24. 菱形 的边长为 ，有一个内角为 ，则较长的对角线的长为 A. B. C. D. 25. 如图， 是等边三角形 内的一点，且 ，，，以 为边在 外作 ，连接 ，则以下结论错误的是 A. 是等边三角形 B. 是直角三角形 C. D. 26. 如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点 ，，垂足为 ，，，，则 的长为 A. B. C. D. 27. 如图，正 的边长为 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿 的方向运动，到达点 时停止，设运动时间为 （秒），，则 关于 的函数的图象大致为 A. B. C. D. 28. 如图，将 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为 ），点 ，， 恰好在网格图中的格点上，那么 中 边上的高是 A. B. C. D. 29. 若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则底边上的高为 A. B. 或 C. D. 或 30. 如图：已知 是线段 上的动点（ 不与 ， 重合），，分别以 ， 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，连接 ，设 的中点为 ；
连接 ，当动点 从点 运动到点 时，设 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共30小题；
共150分） 31. 如果一个三角形三边的长分别为 ，，，那么这个三角形的面积为  ． 32. 如图，分别以三角形三边为直径向外作 个半圆，如果较小的两个半圆的面积之和等于较大半圆的面积，这个三角形为   三角形． 33. 在 中，若 ，则   度． 34. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 尺，底面周长为 尺，有葛藤自点 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是   尺． 35. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是 ，高是 的长方体纸箱的 点沿纸箱表面爬到 点，那么它所行的最短路线的长是  ． 36. 测得一个三角形花坛的三边长分别为 ，，，则这个花坛的面积是   ；
其最短边上的高为   ． 37. 若等边三角形的边长为 ，则它的面积是  ． 38. 若在 中，，， 边上的中线 ，则 的度数是   度． 39. 如图，菱形 的周长为 ，， 、 分别为 、 的中点．则 的长为   . 40. 一个三角形的三条中位线的长分别为 ，，，则三角形的面积为  ． 41. 有两棵树，一棵高 米，另一棵高 米，两树相距 米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了   米． 42. 若三角形的三边 ，， 满足 ，则该三角形的三个内角的度数分别为  ． 43. 如图，在钝角 中，已知 为钝角，边 ， 的垂直平分线分别交 于点 ，，若 ，则 的度数为   ． 44. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为 、 ，那么这个直角三角形斜边上的高为   ． 45. 中，，，，则  ；

的三边长为 ，，，且满足 ，，则 是   三角形． 46. 中，，， 边上的中线 ，则  ． 47. 如果梯子的底端离建筑物 米， 米长的梯子可以到达该建筑物的高度是  ． 48. 如图，在正方形 中，，点 、 是正方形 外的两点，且 ，，则 的长为  ． 49. 如图，在 中，，点 在 上．若点 为 的中点，则 的值为  ；
若 边上有 个不同的点 ，，，，且 ，则 的值为  ． 50. 在 中，，，，以斜边 为一边，作等边 ，则线段 的长为  ． 51. 如图，在 中，，按以下步骤作图：
①以点 为圆心，以小于 的长为半径画弧，分别交 ， 于点 ，；

②分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ；

③作射线 ，交 边于点 ． 则 为 的平分线，这样作图的依据是  ；

若 ，，则  ． 52. 如图， 中，，，，分别以 、 、 为边作正方形 、 、 ，再作 ，使 ，点 在边 上，点 、 在边 上，点 、 在边 上，则 的长为  ． 53. 如图，，，，点 是线段 上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点 落在点 处，连接 ．当 为直角三角形时， 的长为  ． 54. 如图， 与 都是等腰直角三角形，． 为 的中点，若 ，则四边形 的面积为  ． 55. 在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用 平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为 米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为  ． 56. 如图，每个小正方形的边长为 ，在 中，点 为 的中点，则线段 的长为  ． 57. 如图，在 中，，，， 为边 上一动点， 于 ， 于 ， 为 中点，则 的最小值为  ． 58. 如图，在 中，，，， 是 边上的一个动点（点 不与点 ， 重合），连接 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ．当 为等腰三角形时， 的长度为  ． 59. 如图，在梯形 中，，，，，，则梯形 的面积为  ． 60. 已知：如图，等腰直角 ，，，点 为 外一点，，连接 ，，，则四边形 的面积为  ． 三、解答题（共40小题；
共520分） 61. 一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做 ，，，，，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗? 62. 如图，在平行四边形 中，，， 于点 ，． （1）求 的长；

（2） 的面积为  ． 63. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 ，点 和点 在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出 （点 在小正方形的顶点上），使 为直角三角形（画一个即可）；

（2）在图2中画出 （点 在小正方形的顶点上），使 为等腰三角形（画一个即可）． 64. 如图，四边形 中，，，，已知四边形的周长为 ，求 ． 65. 如图，在四边形 中，，，，． （1）求 的度数；

（2）求四边形 的面积． 66. 已知：如图，矩形 中，，，， 于 点．求 的长． 67. 方格纸中小正方形的顶点叫格点．点 和点 是格点，位置如图． （1）在图1中确定格点 使 为直角三角形，画出一个这样的 ；

（2）在图2中确定格点 使 为等腰三角形，画出一个这样的 ；

（3）在图2中满足题（2）条件的格点 有   个． 68. 如图，， 是 中点，，． （1）求证：四边形 是矩形． （2）若 ，， 是 上一点，且 ，求 长． 69. 一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得 ，，，，，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗? 70. 如图，，，，，． （1）求 长． （2）求 的面积． 71. 如图，四边形 是平行四边形，对角线 ， 相交于点 ，且 ，，．求证：四边形 是菱形． 72. 如图，在四边形 中，，，，，求 的长． 73. 如图，已知点 在正方形 中，，，，求图中阴影部分的面积 ． 74. 图 1，图 2 分别是 的网格，网格中每个小正方形的边长均为 ，线段 的端点在小正方形的顶点上，请在图 1，图 2 中各画一个图形，所画图形各顶点必须在小正方形的顶点上，并且分别满足以下要求：
（1）在图 1 中画一个以线段 为一边的直角三角形 ，且三角形 的面积为 ；

（2）在图 2 中画一个以线段 为一边的平行四边形 ，且平行四边形 的面积为 ．连接 ，请直接写出 的长． 75. 已知 三边长都是整数且互不相等，它的周长为 ，当 为最大边时，求 的度数． 76. 已知：在 中， 为 边上一点，， 两点到直线 的距离相等． （1）如图，若 是等腰三角形，，则点 的位置在  ；

（2）如图，若 是任意一个锐角三角形，猜想点 的位置是否发生变化，请补全图形并加以证明；

（3）如图，当 是直角三角形，，并且点 满足（2）的位置条件，用等式表示线段 ，， 之间的数量关系并加以证明． 77. 如图，在四边形 中，，，，．求 的度数． 78. 在 中，，以 为斜边作等腰直角三角形 ，且点 与点 在直线 的两侧，连接 ． （1）如图 ，若 ，则 的度数为  ． （2）已知 ，． ①依题意将图 补全；

②求 的长；

小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求 长的几种想法：
想法 ：延长 ，在 延长线上截取 ，连接 ．要求 的长，需证明 ， 为等腰直角三角形． 想法 ：过点 作 于点 ，，交 的延长线于点 ，要求 的长，需证明 ， 为等腰直角三角形． 请参考上面的想法，帮助小聪求出 的长（一种方法即可）． （3）用等式表示线段 ，， 之间的数量关系（直接写出即可）． 79. 如图， 的三个顶点在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都是 ． （1）画出 关于直线 对称的 ；

（2）判断 的形状：
  直角三角形（填“是”或“不是”）；

（3） 的面积是  ． 80. 在平面直角坐标系 中，对于两点 与 的“比例距离”，给出如下定义：若 ，则线段 的长为点 与点 的“比例距离”． 例如：点 ，，因为 ，所以点 与点 的“比例距离”为 ，也就是图 中线段 的长． （1）若点 与点 之间存在“比例距离”，且 ，则  ，点 与点 的“比例距离”为  ；

（2）点 是直线 上的一个动点， ①求点 与点 的“比例距离”及相应的点 的坐标；

②如图 ， 是以原点 为圆心， 为半径的圆上的一个动点，求点 与点 的“比例距离”的最小值及相应的点 的坐标． 81. 如图，在矩形 中，，，点 ， 分别在 ， 上，将矩形 沿 折叠，设点 的对应点是点 ． （1）若点 在 边上，，求 的长；

（2）若点 在对角线 上，请直接写出 的取值范围：
 ． 82. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 且 ，连接 ，，连接 交 于点 ． （1）求证：；

（2）若菱形 的边长为 ，，求 的长． 83. 已知：如图， 中，，， 边上的中线 ． （1）判断 是何种特殊三角形? （2）对 中你所给的结论进行证明． 84. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，，，连接 ，．若 ，，求 的长． 85. 如图，在四边形 中，， 是 上一点，且 ，，，，，则 和 互相垂直吗?请说明理由． 86. 如图，已知正方形 ， 是 延长线上一点，连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ． （1）依题意补全图形；

（2）求证：；

（3）写出 ，， 之间的等量关系，并证明． 87. 如图，在每个小正方形的边长均为 的方格纸中，有线段 ，点 ， 均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以 为一边的直角三角形 ，点 在小正方形的顶点上，且三角形 的面积为 ；

（2）在方格纸中画出以 为一边的菱形 ，点 ， 均在小正方形的顶点上，且菱形 的面积为 ．连接 ，请直接写出线段 的长． 88. 与 是共顶点的等边三角形．直线 与直线 交于点 ，点 ， 不在 的边上． （1）当点 在 外部时（如图1），写出 与 的数量关系． （2）若 ，将 绕着点 逆时针旋转，使得点 由 的外部运动到 的内部（如图2）．在这个运动过程中， 的大小是否发生变化?若不变，在图2的情况下求出 的度数，若变化，说明理由． （3）如图3，当 ，， 三点在同一条直线上，且 时，写出 ， 与 之间的数量关系． 89. 在直线上顺次取 ，， 三点，分别以 ， 为边长在直线的同侧作等边三角形，作得两个等边三角形的另一顶点分别为 ，．连接 ． （1）如图①，连接 ，，求证：；

（2）如图②，若 ，，求 的长；

（3）如图③，将图②中的正三角形 绕 点作适当的旋转，连接 ，若有 ，试求 的度数． 90. 右图中，，，求四边形 的面积为  ． 91. 已知：如图， 的网格中（每个小正方形的边长为 ）有一个格点 ． （1）利用网格线，画 的平分线 ，画 的垂直平分线，交 于点 ，交直线 于点 ；

（2）连接 ，，判断 的形状，并说明理由：
92. 如图，在 中，， 是 的中点，，．若 ，，求四边形 的周长． 93. 已知，如图， 中， 是 的中点，，，，求：
的长及 的面积． 94. 如图，在平行四边形 中， 于点 ，延长 至 点使 ，连接 ，，． （1）求证：四边形 是矩形；

（2）若 ，，，求 的长． 95. 在 中，，，，动点 从点 出发，沿着 运动，速度为每秒 个单位，到达点 时运动停止，设运动时间为 秒，请解答下列问题：
（1）求 上的高；

（2）当 为何值时， 为等腰三角形? 96. 已知：正方形 的边长为 ，点 为 的中点，点 在 边上，． 画出 ，猜想 的度数并写出计算过程． 97. 如图，在四边形 中，，，，． 求 的度数． 98. 如图，正方形 中， 为 上一动点，过点 作 交 边于点 ． （1）求证：；

（2）用等式表示 ，， 之间的数量关系，并证明；

（3）点 从点 出发，沿 方向移动，若移动的路径长为 ，则 的中点 移动的路径长为  （直接写出答案）． 99. 数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果 ，，，连接 ，那么 、 、 之间会有怎样的等量关系呢? 经过思考后，部分同学进行了如下的交流：
小蕾：我将图形进行了特殊化，让点 在 延长线上（如图1），得到了一个猜想：． 小东：我假设点 在 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转 后得到 ，并且可推出 ， 分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法． 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：
（1）如图2，点 在 的内部， ① ，，  ；

②用等式表示 、 、 之间的数量关系，并证明． （2）对于点 的其他位置，是否始终具有（2）中的结论?若是，请证明；
若不是，请举例说明． 100. 阅读：
如图 ，在 中，，求 的长． 小明的思路：
如图 ，作 于点 ，在 的延长线上取点 ，使得 ，连接 ，易得 为等腰三角形．由 和 ，易得 为等腰三角形．依据已知条件可得 和 的长． 解决下列问题：
（1）图 中，  ，  ；

（2）在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ． 如图 ，当 时，用含 、 的式子表示 ；
（要求写解答过程） 当 时，可得  ． 答案 第一部分 1. C 2. C 3. C 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 【解析】根据勾股定理得 ，，， 故 ． 9. A 10. C 11. B 【解析】（ ） ，， 不是勾股数，因为 ；

（ ） ，， 不是勾股数，因为 ；

（ ） ，， 不是勾股数，因为 ，， 不是正整数；

（ ） ，， 是勾股数，因为 ，且 ，， 是正整数；

（ ） ，， 是勾股数，因为 ，且 ，， 是正整数． 12. D 13. C 【解析】提示：如图． 14. C 15. B 【解析】由 ，， 得 ． ， ． 设 ，则 ． ． ． ． 16. A 17. A 18. A 19. A 20. D 21. A 22. C 【解析】设 ，由折叠的性质可得 ，根据中点的定义可得 ．在 中，根据勾股定理可得关于 的方程：，解得 ． 23. C 24. A 25. D 26. D 27. D 【解析】提示：①当 点在线段 上时， 过点 作 ． ． 当点 与点 重合时， 值最小． ②当 点在线段 上时， ， 28. A 【解析】提示：利用勾股定理可知 是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形斜边的高线等于斜边的一半即可求出． 29. B 30. A 【解析】 将 ， 延长交于点 ，连接 ， 是等边三角形． 四边形 是平行四边形． ，． ． 第二部分 31. 32. 直角 33. 34. 【解析】 如图，一条直角边（即枯木的高）长 尺，另一条直角边长 （尺）， 因此葛藤长为 尺． 35. 36. ， 37. 38. 39. 【解析】提示：
菱形 的周长为 ， . 又 ，可求得 . 由题知 ． 40. 41. 42. ，， 43. 44. 45. ，直角 46. 47. 米 48. 【解析】延长 和 交于点 . ，，， . ， . ， ， ， . ， . ，， . ， . . 49. ， 【解析】当 为 的中点时， ， 为 的中点， ，， ， ， 当 ，，，， 为 上不同的点时， 过 作 ，垂足为 ，则有 ， 根据勾股定理，得 ， 又 ， ， ． 50. 或 【解析】提示：
为等边三角形． ． 为等边三角形． ． 51. 三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等， 【解析】提示：由角平分线的性质得点 到 和 边的距离相等. . 又 ，，， . . 52. 【解析】过 作 于点 ． 在 中，，，则 ，． ，，， ． ， ． ， 为等边三角形． ． 在 中，． 又 ， ． 又 ， ． 53. 或 【解析】当 为直角三角形时，有两种情况：
①当 时，点 、 、 共线，如图所示． 连接 ． 在 中，，， ， 沿 折叠，使点 落在点 处， . 当 为直角三角形时，只能得到 ， 点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处. ，， ， 设 ，则 ， . 在 中， ， ，解得 ， ；

②当 时，如图所示． 此时 为正方形， ． 综上所述， 的长为 或 ． 54. 55. 米， 米或 米， 米或 米， 米 【解析】①如图，当底边 米时，作 垂足为 . ， . ，， ， ． ②如图当 时， （i）当 为钝角时，作 ，垂足为 . ， ， ，． （ii）当 为锐角时，作 ，垂足为 . ， ， ，． 综上：这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 米， 米或 米， 米或 米， 米 56. 57. 【解析】 在 中，，，， . 即 ． 又 于 ， 于 ， 四边形 是矩形. . 是 的中点， ． 因为 的最小值即为直角三角形 斜边上的高，即 . 的最小值是 ． 58. 或 【解析】当 时， ， . . . 当 时， ， . . 59. 60. 第三部分 61. ，， 即 ，故 ， 同理 ． = = = ． 62. （1） 四边形 是平行四边形， ． ， ． 中，，， ． ． 中， ．       （2） 【解析】． 63. （1） 如图1，①、②，画一个即可．       （2） 如图2，①、②，画一个即可． 64. 连接 ，过 点作 ，垂足为 ． 则 为等边三角形，， ， ， ． 在 中，设 ， 根据勾股定理，得 ， 解得 ， ． 65. （1） 连接 ， ， 是等边三角形， ，， 在 中，，，， ， 是直角三角形， ， ．       （2） ． 66. 连接 ． ，， ． ，， ． ， ． ． 67. （1） 如图 即为所求（画出一个即可）．       （2） 如图 即为所求（画出一个即可）．       （3） 68. （1） 因为 ， 所以 是等腰三角形． 因为 是 中点， 所以 ，． 因为 ， 所以 ． 因为 ， 所以四边形 是平行四边形． 又因为 ， 所以四边形 是矩形．       （2） 在 中，，，， 所以 ． 因为 于 ， 所以 ， 解得 ． 69. ，， 即 ，故 ， 同理，， 70. （1） 设 ，， ， ， ， ．       （2） ，， 是等边三角形． ， 过 作 ，垂足为 ． ， ， ． 71. ，，， ． 是直角三角形， ． 又 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形． 72. 分别延长 ， 交于点 ． 在 中，，， ，． ， ． ， ． ． 73. 在 中， ，，，， 是直角三角形， 答：阴影部分的面积 是 ． 74. （1） 如图 3，三角形 即为所求．       （2） 如图 4，平行四边形 即为所求． ． 75. 根据题意，设 ，， 边的长度分别是 ，，， 则 ；

为最大边， 最大， 又 ， ， 三边长都是整数， ， 又 三边长互不相等， 其他两边分别为 ，， ， 是直角三角形， ， 即 的度数是 ． 76. （1） 边的中点．       （2） 点 的位置没有发生变化． 证明：
过 作 于点 ，过 作 于点 . ． ，， ． ；
即点 是 边的中点 ．       （3） ，， 之间的数量关系为 ． 证明：
延长 到点 使 ，连接 ． 点 是 边的中点， ． 又 ，， ． ， ． ， ． ． ． ． ， ． ． 77. 连接 ， ，， 是等边三角形， ，， ，， 则 ，， ， ， ． 78. （1）       （2） ①补全图形，如图 所示， ②想法 ：
如图 ， ， ． ， ． 在 和 中， ． ，． ． 为等腰直角三角形． ，， ． ．       （3） ． 79. （1） 如图 即为所求；

      （2） 不是       （3） 80. （1） ；

      （2） ①设 点坐标为 ，由题意可知：
解得：
或 ． 当 时，点 的坐标为 ，点 与点 的“比例距离”为 ；

当 时，点 的坐标为 ，点 与点 的“比例距离”为 ． ②设直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，此时点 与点 的“比例距离”最小． 的半径为 ，点 在 上，由勾股定理得：． 设点 的坐标为 ， ，解得 或 ． 经检验，当 时，点 与点 的“比例距离”有最小值 ． 81. （1） 由题意， 沿 折叠得到 ， ， ． 过点 作 交 于点 ，则四边形 为矩形，，． 中，， ．       （2） 【解析】由勾股定理得，． 点 在 处时，，所以 ；

点 在 处时，． 82. （1） 在菱形 中，． ， ， 四边形 是平行四边形． ， 平行四边形 是矩形． ．       （2） 在菱形 中，， ． 在矩形 中，． 在 中，． 83. （1） 是等腰三角形．       （2） 为 边上的中线， ． 在 中， （或写成 ）， ， 为直角三角形， 为直角边， ． 又 垂直并平分 ， 即 是以 ， 为腰的等腰三角形． 84. 四边形 为菱形， ，，，． ． ，， ，． 四边形 为矩形． ，． ，， 为等边三角形． ． ，． 中，． 85. 和 互相垂直． 理由：过点 作 ，，分别交 于点 ，． 因为 ， 所以 ，， 所以四边形 ，四边形 都是平行四边形． 所以 ，，，． 所以 ． 在 中，，， 所以 ． 所以 为直角三角形，且 ， 即 ， 因为 ，， 所以 ． 86. （1） 补全图形，如图．       （2） 四边形 是正方形， ． ． ， ． 于点 ， ． ．       （3） ． 证明：在 上截取 ，连接 ， 四边形 是正方形， ，． （已证）． ． ，． ． ． ． ． 87. （1） 如图．       （2） ． 88. （1） 【解析】 与 是共顶点的等边三角形， ，， . ，即 . . .       （2） 不变， 由（1）可证：， ． ， ， ．       （3） （或 ） 【解析】， . . ，， 三点在同一条直线上， ， . . ， . . 在 中， ，即 . ， ， . 89. （1） 和 都是等边三角形， ，，， ， 在 和 中， ， ．       （2） 如图，取 的中点 ，连接 ． ，，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ．       （3） 如图，连接 ， 和 都是等边三角形， ，，， ， 在 和 中， ， ． ，， ， ， ， ． 90. 【解析】延长 交 于点 ，延长 交 于点 ． 设 ，， ， ，， ，， ， ， 在 中，， ． 91. （1） 如图所示， ， 即为所求．       （2） 等腰直角三角形． 理由如下． ，，， ， 为等腰直角三角形． 92. ，， ． ． ， 四边形 为平行四边形． ． ， 是 的中点， ． ． ． ， ． 四边形 的周长为 ． 93. 延长 至 使得 ，连接 ． 在 与 中 ，， 在 中， ，，， 而 ， 即 ， ；

在 中， ， ， ；

． 94. （1） ， ． 即 ． 在平行四边形 中， 且 ， 且 ． 四边形 是平行四边形． ， ． 平行四边形 是矩形．       （2） 平行四边形 是矩形，， ． ，， ． ． ， ． ． 95. （1） 过点 作 于点 ，如图 ， ，， ， ，即 为直角三角形， ， ．       （2） 当 时， ， ， 秒；

当 时，过点 作 于点 ，如图 ， ，， ， 秒， 当 时，， ， ， ， ， ， ， ， 秒． 综上所述，． 96. 所画 如图所示． 的度数为 ． 如图，连接 ，作 于点 ． 正方形 的边长为 ， ，． 点 为 的中点， ． 点 在 边上，， ，． 在 中，， ． 在 ， 中， 同理有 ， ． 在 和 中， 有 ． 设 ，则 ． 整理，得 ． 解得 ，即 ． ． ． ， ． 97. 连接 ， 在 中，，， 所以 ， 所以 ． 所以 ． 因为 ，， 所以 ． 在 中，． 所以 是直角三角形，即 ． 因为 ， 所以 ． 98. （1） 过点 作 于点 ， 于点 ． ． 四边形 是正方形， ． ． 四边形 是正方形． ． ． ， ． ． ． ．       （2） 延长 交 于点 ． 四边形 是正方形， ，． ． 是等腰直角三角形． 由勾股定理得，． 同理 ． 由 得 ，． 是等腰直角三角形． 由勾股定理得，． ， 四边形 为矩形． ． ， ．       （3） ． 【解析】当点 在 点处时，点 与点 重合， 的中点即为点 ， 则 的中点 移动的路径长为 的长；

连接 ，如图 所示：
由正方形的对称性得：， 由（）得：
是等腰直角三角形， ， 由（）得：， ， ， ， ， 是 的中点， 是 的中点， . 99. （1） ① ；

② ． 证明：作 ，且使 ，连接 、 ． ． ， ． ，． 在四边形ABCP中， ，， ． ． ． 是等边三角形． ． 在 中，． ．       （2） 点 在其他位置时，不是始终具有 中猜想的结论，举例：
如图，当点 在 的延长线上时，结论为 ． （说明：答案不惟一） 100. （1） ；

【解析】． 在 中根据勾股定理即可求出 ．       （2） 作 交 延长线于点 ，在 延长线上取点 ，使得 ，连接 ． 为 的中垂线． ． ． ， ． ， ． ， ． ． ． 在 中，， ． 在 中，， ． ． ． ． ② ． 【解析】作 交 延长线于点 ，在 延长线上取点 ，使得 ，连接 ，在 上取点 ，连接 ，使 ，在 上截取一点 使 ． 设 ， 由 可知，． 在 中， ， ． ． 在 中， ． ． 由已知易证：．． ． ． ． ． ． ， 设 ， 在 中，， ， 在 中，． ． 在 中，． ． 综上可得：．