2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅰ）

　 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 考生注意：

　 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

　2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

　3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：

　 如果事件互斥，那么

　球的表面积公式

　 如果事件相互独立，那么

　 其中表示球的半径

　球的体积公式

　如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

　次独立重复试验中恰好发生次的概率

　 其中表示球的半径

　一、选择题 1．函数的定义域为（

　） A．

　B． C．

　 D． 2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（

　） s t O A． s t O s t O s t O B． C． D．

　3．在中，，．若点满足，则（

　） A．

　 B．

　 C．

　 D． 4．设，且为正实数，则（

　） A．2

　B．1

　C．0

　D． 5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（

　） A．138

　B．135

　C．95

　D．23 6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（

　） A．

　B．

　C．

　D． 7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（

　） A．2

　B．

　C．

　D． 8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（

　） A．向左平移个长度单位

　 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位

　D．向右平移个长度单位 9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（

　） A．

　 B． C．

　D． 10．若直线通过点，则（

　） A．

　B．

　C．

　D． 11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（

　） A．

　B．

　 C．

　D． 12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（

　） D B C A A．96

　B．84

　C．60

　D．48

　 2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修选修Ⅰ） 第Ⅱ卷

　注意事项：

　1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 3．本卷共10小题，共90分．

　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效） 13．若满足约束条件则的最大值为

　 ． 14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为

　． 15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率

　 ． 16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于

　． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） 设的内角所对的边长分别为，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值．

　 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．

　C D E A B

　19．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

　 20．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

　方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

　 21．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

　 22．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 设函数．数列满足，． （Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）设，整数．证明：．

　2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案

　1. C.

　由 2. A． 根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图像可知； 3. A. 由，，； 4. D.

　； 5. C.

　由； 6. B.

　由； 7.D.

　由； 8.A.

　只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像. 9.D．由奇函数可知，而，则，当时，；当时，，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，. 10.D．由题意知直线与圆有交点，则. 另解：设向量，由题意知 由可得 11.C．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为. 另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为 长度均为，平面的法向量为,

　则与底面所成角的正弦值为. 12.B.分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；种四种花有种种法.共有.

　 13题图 另解：按顺序种花，可分同色与不同色有 13.答案：9．如图，作出可行域， 作出直线，将平移至过点处 时，函数有最大值9. 14. 答案：2.由抛物线的焦点坐标为 为坐标原点得，，则 与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为 15.答案：.设，则

　16题图（1） ，. 16.答案：.设，作 ，则，为二面角的平面角 ，结合等边三角形 与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则 , 故所成角的余弦值

　16题图（2） 另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点, , 则, 故所成角的余弦值. 17.解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理及 可得 即，则； （Ⅱ）由得

　当且仅当时，等号成立，

　 18题图 故当时，的最大值为. 18．解：（1）取中点，连接交于点， ，， 又面面，面， ． ， ，，即， 面，． （2）在面内过点作的垂线，垂足为． ，，面，， 则即为所求二面角的平面角． ，，， ，则， ，即二面角的大小． 19. 解：（1）求导：

　当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减， 递增 （2），且解得：

　 20．解：（Ⅰ）对于甲：

　次数 1 2 3 4 5 概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 对于乙：

　次数 2 3 4 概率 0.4 0.4 0.2 ． （Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为． 21. 解：（Ⅰ）设，， 由勾股定理可得：

　得：，， 由倍角公式，解得,则离心率． （Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立 将，代入，化简有

　将数值代入，有,解得 故所求的双曲线方程为。

　22. 解析：

　（Ⅰ）证明：， 故函数在区间(0,1)上是增函数； （Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

　由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立； （ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 .而，则， ，也就是说当时，也成立； 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.

　（Ⅲ）证明：由．可得

　1， 若存在某满足，则由⑵知：

　2， 若对任意都有，则

　，即成立.