16.2二次根式的乘除第二课时

　一、教学目标

　1.核心素养：

　 通过对最简二次根式和二次根式除法法则的学习，培养学生逻辑推理和运算能力．

　2.学习目标

　（1）理解和，并能利用它们进行计算；

　（2）理解最简二次根式的定义，知道二次根式运算的结果必须是最简二次根式．

　3.学习重点

　理解和，并能利用它们进行计算和化简.

　4.学习难点

　利用和进行计算和化简．

　二、教学设计

　（一）课前设计

　1.预习任务

　任务1

　二次根式的除法法则是怎样的？

　任务2

　什么叫最简二次根式？

　2.预习自测

　1．式子成立的条件是（

　 ）

　A．

　 B．

　C．

　D．

　2. 下列根式中不是最简二次根式的是（

　 ）

　A.

　B.

　C.

　 D.

　3. 计算的值为（

　）

　A.

　B.

　 C.

　D.

　 预习自测

　1.B

　 2. B

　3.B

　（二）课堂设计

　1.知识回顾

　（1）二次根式的乘法法则：；

　（2）积的算数平方根的性质：.

　2.问题探究

　问题探究一

　 二次根式的除法法则是怎样的？▲

　活动一

　 从特殊到一般探究法则

　计算下列各式：

　 （1）

　 ，

　；

　（2）

　 ，

　；

　（3）

　 ，

　；

　观察上面的计算结果，你的发现的规律是

　（文字表达）；

　总结二次根式的除法法则：

　 （用字母表达）.

　活动二

　 反思法则

　 巩固提升

　为什么中要对的取值进行限制？与二次根式的乘法法则进行比较，的取值有什么变化？

　（因为既要考虑二次根式本身有意义，还得考虑整个式子是否有意义，因此，与二次根式的乘法法则比较，的取值变化是这里的，所以）

　活动三

　逆向思维

　 类比迁移

　 如何对二次根式的化简？

　类比积的算术平方根的性质我们可以得到商的算术平方根的性质论：

　.

　结论：商的算术平方根的性质

　例1

　 计算：

　 （1）；

　（2）

　【知识点：二次根式的除法】

　详解：（1）；

　（2）

　【点拨】按照二次根式的除法法则运算即可.

　例2

　 化简：

　 （1）

　；

　 （2）

　=

　；

　（3）

　=

　 .

　（4）

　=

　 .

　【知识点：二次根式的除法】

　详解：（1）； （2）；（3）；（4）.

　【点拨】如果被开方数是带分数，则先将带分数化为假分数，再利用商的算术平方根的性质进行计算，如果被开方数是小数，则可先将小数化为分数，再直接利用商的算术平方根的性质计算即可.

　问题探究二

　 什么样的式子是最简二次根式？▲

　观察与思考

　下列各式中的被开方数有何共同特点？

　，，，

　特点：（1）被开方数不含

　 ；

　（2）被开方数不含

　 ；

　结论：我们把满足以上两个条件的二次根式叫做最简二次根式.

　温馨提示：在二次根式的运算中，一般要把二次根式化为最简二次根式.

　例3

　 化简（1） ；（2）.

　【知识点：二次根式的除法】

　详解：（1） ；

　（2）.

　【点拨】被开方数是带分数的要先化成假分数后，再进行乘除，计算的结果含有分母时，要乘以分母的有理化因式，使其被开方数不含分母和开得尽方的因数或因式，达到最后结果是最简二次根式的目的.

　3.课堂小结

　【知识梳理】

　（1）二次根式的除法法则：

　 （2）最简二次根式的条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

　【重难点突破】

　（1）在运用二次根式除法法则时，注意被开方数的取值范围，即

　0，

　0，要特别注意，因为当时，分式没有意义；当被开方数是带分数时，应先化成假分数，如必须先化成，避免出现

　=这样的错误.

　（2）只有当

　0，

　0时，才能成立．

　（3）二次根式的运算结果都必须是最简二次根式，把二次根式化成最简二次根式需满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

　（4）当二次根式的被开方数是不能再约分的分数（包括小数）或分式时，化简方法一，利用商的算术平方根的性质化简：①“化”，将根号下的数化成分数形式，如果是带分数，则将其化为假分数的形式；②“写”，利用商的算术平方根的性质将写成的形式；③“乘”，分子、分母都同时乘以一个适当的数，化去分母中的根号；④“约”，即约去分子、分母中的公因式,如：.方法二，先直接去分母再化简：①将根号下的数化成分数形式，如果是带分数，则将其化为假分数的形式；②将分子、分母都同时乘以一个适当的数或式，使分母变成一个数的平方数；③将分母进行开方，直接作为化简后的分母，再对分子利用积的算术平方根的性质进行化简.如：.

　4.随堂检测

　1. 设一个长方形的面积为，一边长为，则另一边长为（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　 【知识点：二次根式的除法】

　【答案】B

　【思路点拨】长方形的面积除以其中一边长就等于另一边长.

　2.下列二次根式中，是最简二次根式的是 (

　)

　A．

　B．

　 C．

　D．

　 【知识点：最简二次根式】

　【答案】C

　【思路点拨】

　3. 等式成立的条件是 (

　)

　A.

　B.

　 C.

　D. 且

　【知识点：二次根式的除法】

　【答案】C

　【思路点拨】由题意可得，所以.

　4. 化简：= _________.

　【知识点：二次根式除法】

　【答案】

　【思路点拨】中，被开方数的分子、分母同时乘以就可实现分母有理化.

　《二次根式的除法法则》预习导学

　学习目标

　1． 经历探究二次根式除法法则的过程，能熟练地进行二次根式除法运算．

　2． 知道最简二次根式的概念，能将二次根式进行化简．

　3． 能运用二次根式乘、除法则解决实际问题.

　l 重点：二次根式的除法法则．

　l 难点：容易忽略二次根式化简过程中变量的取值范围.

　预习导学

　问题导入

　之前，我们学习过整式、分式的乘除运算，上一课，我们又学习了二次根式的乘法运算，这节课，我们来看看二次根式的除法运算.你想不想知道二次根式的除法与整式、分式的除法有什么相同点和不同点呢？

　知识点一

　二次根式的除法法则

　阅读课本本课时“例6”之前的内容，回答下列问题．

　1．比较大小：

　；

　 ；

　 ．

　2．猜想：与(a≥0，b>0)相等吗？与相等吗？

　归纳总结

　二次根式的除法法则：=

　 (a≥0，b>0).

　3.讨论：在“例5”中，化简二次根式，将化为什么形式？为什么？

　知识点二

　最简二次根式

　阅读课本本课时“例6”至“练习”之间的内容，思考下列问题．

　1． 讨论：(1)在“例4、5、6”中的二次根式，分母是否为有理数？是否可以将分母变成有理数？

　(2)=是否可以化简？=是否可以化简？

　2． 思考：将二次根式化简，应注意哪些方面？怎样的形式才是最后结果？

　3．揭示概念：符合①被开方数不含

　；②被开方数中不含能开得尽方的

　 的二次根式叫

　.