合肥市2020届高三第一次教学质量检测 数学试题(理科) (考试时间：120分钟

　 满分：150分)

　第Ⅰ卷

　(60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则(

　 ).

　A.

　 B.

　C.

　 D. 2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则(　 　). A.

　 B.

　C.

　D. 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是(

　). A.这五年，2013年出口额最少 B.这五年，出口总额比进口总额多 C.这五年，出口增速前四年逐年下降 D.这五年，2017年进口增速最快 4.下列不等关系，正确的是(

　). A.

　B. C.

　D. 5.已知等差数列的前项和为，，，则的值等于(

　 ). A.21

　 B.1

　C.-42

　 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出的值等于(

　 ). A.2

　 B.3

　 C.4

　 D.5 7.函数的图象大致为(

　).

　8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是(

　). A.的图象关于对称

　B.在上有2个零点 C.在区间上单调递减

　 D.在上的值域为 9.已知双曲线()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于(

　). A.

　 B.2

　C.

　D. 10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(

　 ). (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001) A.

　B.

　C.

　D. 11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：

　①平面分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形一定是平行四边形； ③平面与平面不可能垂直； ④四边形的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为(

　 ). A.①④

　 B.②③

　C. ①②④

　 D. ①②③④

　 12.已知函数，则函数的零点个数为(

　) (是自然对数的底数). A.6

　B.5

　 C.4

　 D.3

　第Ⅱ卷

　(90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量(1，1)，，且∥，则的值等于

　 . 14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于

　 . 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有

　 种. 16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于

　，球的表面积等于

　.

　三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 在中，内角所对的边分别为，若，. (1)求； (2)若边的中线长为，求的面积.

　18.(本小题满分12分) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：

　研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游 学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：

　(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率； (2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.

　 19.(本小题满分12分) 如图，已知三棱柱中，平面平面，，. (1)证明：； (2)设，，求二面角的余弦值.

　 20.(本小题满分12分) 设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

　 21.(本小题满分12分) 已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程； (2)设方程()有两个实数根，，求证：.

　 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. (1)求曲线的直角坐标方程； (2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求.

　 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()，不等式的解集为. (1)求的值； (2)若，，，且，求的最大值.

　合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准

　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B

　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.-2

　 14.或

　 15.72

　16.，(第一空2分，第二空3分)

　三、解答题：大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)在中，，且， ∴，∴， 又∵，∴. ∵是三角形的内角， ∴.

　 ………………………………5分 (2)在中，， 由余弦定理得，∴， ∵，∴. 在中，，，， ∴的面积.

　 ………………………………12分

　18.(本小题满分12分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：.

　………………………………5分 (2)可能取值为0，1，2，3. 则，， ，， ∴的分布列为

　0 1 2 3

　∴. ……………………………12分 或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分

　19.(本小题满分12分) (1)连结. ∵，四边形为菱形，∴. ∵平面平面，平面平面， 平面，， ∴平面. 又∵，∴平面，∴. ∵， ∴平面，而平面， ∴.

　 …………………………5分 (2)取的中点为，连结. ∵，四边形为菱形，，∴，. 又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，，，， ∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，). 由(1)知，平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，∴. ∵，，∴. 令，得，即 . ∴， ∴二面角的余弦值为.

　 ……………………………12分

　20.(本小题满分12分) (1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，. 设圆的半径为，则， ∴，解得，∴， ∴椭圆的方程为.

　……………………………5分 (2)∵关于原点对称，，∴. 设，. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由直线和椭圆方程联立得，即， ∴. ∵，， ∴ ， ∴，， ∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切. 当直线的斜率不存在时，依题意得，. 由得，∴，结合得， ∴直线到原点O的距离都是， ∴直线与圆也相切. 同理可得，直线与圆也相切. ∴直线、与圆相切.

　 …………………………12分

　21.(本小题满分12分) (1)由，得，∴函数的零点. ，，. 曲线在处的切线方程为. ，， ∴曲线在处的切线方程为.………………………5分 (2). 当时，；当时，. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 由(1)知，当或时，；当时，. 下面证明：当时，. 当时， . 易知，在上单调递增， 而， ∴对恒成立， ∴当时，. 由得.记. 不妨设，则， ∴. 要证，只要证，即证. 又∵，∴只要证，即. ∵，即证. 令. 当时，，为单调递减函数； 当时，，为单调递增函数. ∴，∴， ∴.

　 …………………………12分

　22.(本小题满分10分) (1)曲线的方程，∴，∴， 即曲线的直角坐标方程为：.

　…………………………5分 (2)把直线代入曲线得， 整理得，. ∵，设为方程的两个实数根，则 ，，∴为异号， 又∵点(3，1)在直线上， ∴. …………………………10分

　23.(本小题满分10分) 解：(1)∵，∴的解集为， ∴，解得，即.

　…………………………5分 (2)∵，∴. 又∵，，， ∴ ， 当且仅当，结合解得，，时，等号成立， ∴的最大值为32.

　 …………………………10分