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国开(中央电大)本科《复变函数》网上形考(任务1至3)试题及答案
2020-12-14 20:42:02 ℃国开(中央电大)本科《复变函数》网上形考(任务1至3)试题及答案 形考任务1 试题及答案 一、选择题 1.若z1=(a,b),z2=(c,d),则z1·z2=( )。
[答案](ac-bd,bd+ad) 2.若R>0,则N(∞,R)={z:( )}。
[答案]丨z丨>R 3.若z=x+iy,则y=( )。
[答案] 4.若,则丨A丨=( )。
[答案]1 二、填空题 5.若z=x+iy,w=z2=u+iv,则v=_______. [答案]2xy 6.复平面上满足 Rez=4 的点集为_______. [答案]{x:x=4,x∈R} 7._______称为区域。
[答案]连通的开集 8.设z0=x0+iy0,zn=xn+iyn(n=1,2,…),则{zn}以z0为极限的充分必要条件是=_______且=_______。
[答案]x0,y0 三、计算题 9.求复数 -1-i 的实部、虚部、模与主辐角. [答案] 解:Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|= 10.写出复数 -i 的三角式. [答案] 11.写出复数的代数式. [答案] 解:
12.求根式的值. [答案] 四、证明题 13.证明:若,则a2+b2=1. 证明:
14.证明:
证明:
形考任务2 试题及答案 一、选择题 1.若f(z)=x2-y2+2xyi,则=( )。
[答案] 2x+2yi 2.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则柯西—黎曼条件为( )。
[答案] 3.若f(z)=z+1,则f(z)在复平面上( )。
[答案]处处解析 4.若f(z)在复平面解析,g(z)在复平面上连续,则f(z)+g(z)在复平面上( )。
[答案]连续 二、填空题 5.若f(z)在点a_______,则称a为f(z)的奇点. [答案]不解析 6.若f(z)在点z=1_______,则f(z)在点z=1解析. [答案]不解析 7.若f(z)=z2+2z+1,则f'(z)= _______. [答案] 2z+2 8.若,则f'(1)= _______. [答案] - 三、计算题 9.设f(z)=zRe(z),求。
解:
= 10.设f(z)=excos y + iexsin y,求f'(z)。
解:f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iy u=excosy v=exsiny f(z)=u+iv ∴f(z)在复平面解析,且 =excosy+iexsiny 11.设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数,且满足u=x3-3xy2,f(i)=0,试求f(z)。
解:依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2 则V(x1y)=3x2y-y3+c(c为常数) 故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic =z3+ic,为使f(i)=0, 当x=0,y=1时, f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0 ∴c=1 ∴f(z)=Z3+i 12.设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数,且满足u=2(x-1)y,f(2)=-i,试求f(z)。
解:依C-R条件有Vy=ux=2y ∴V= =y2+(x) ∴Vx= ∴(x)= V=y2-x2+2x+c(c为常数) ∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c) 为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i ∴c=-1 ∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1) =-(z-1)2i 四、证明题 13.试在复平面讨论的解析性。
解:令f(z)=u+iv z=x+iy 则iz=i(x+iy)=-y+ix ∴u=-y v=x 于是ux=0 uy=-1 Vx=1 Vy=0 ∵ux、uy、vx在复平面内处处连接 又Ux=Vy Uy=-Vx。
∴f(z)=iz在复平面解析。
14.试证:若函数f(z)在区域G内为解析函数,且满足条件f'(z)=0,z∈G,则f(z)在G内为常数。
证:设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G ∵f(z)在G内解析, Ux=Vy, Uy=-Vx 又 (z)=0, (z)=Ux+iVx Ux=0 Vx=0 Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0 U为实常数C1,V也为实常数C2, f(z)=C1+iC2=Z0 f(z)在G内为常数。
形考任务3 试题及答案 一、选择题 1.z=( )是根式函数的支点。
[答案]0 2.z=( )是函数的支点 [答案]0 3.ei=( )。
[答案]cos1+isin1 4.sin1=( )。
[答案] 二、填空题 5.cosi=_______。
[答案] 6.=_______。
[答案]e(cos1+isin1) 7.=_______。
[答案] 8.=_______。
[答案] k为整数 三、计算题 9.设z=x+iy,计算 解: ∴ ∴ = = 10.设z=x+iy,计算 解: ∵ z = x+iy ∴ ∴ ∴ 11.求方程2 Inz = πi的解。
解: ∵ lnz = ∴ 由对数函数的定义有: Z= ∴ 所给方程的解为z = i 12.求方程的解。
解: ∵ = 根据指数函数的定义有: z=Ln(1+) 四、证明 13.试证:sin 2z = 2 sin z·cos z。
证明:根据正弦函数及余弦正数定义有:
∴ sin2z=2sinz·cosz 14.证明:
证明: 令A= B=sinx+sin2x+…sinnx ∴ = ∴
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